高斯公式证明

高斯公式：

若空间闭区域 $\Omega$ 由光滑的闭曲面 $\Sigma$ 围成，则
$$\int \int {\int }_{\Omega }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv=\oint {\oint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$

证明：
空间光滑的闭区域一定可以被分割，设$x_1(y,z)和x_2(y,z)是\Omega$的左右边界，根据三重积分可得：
$$\begin{gathered} \int \int {\int }_{\Omega }\frac{\partial P}{\partial x}dv=\int {\int }_{D_{yz}}{\int }_{x_1(y,z)}^{x_2(y,z)}\frac{\partial P(x,y,z)}{\partial x}dxdydz= \\ \int {\int }_{D_{yz}}P(x_2(y,z),y,z)dydz-\int {\int }_{D_{yz}}P(x_1(y,z),y,z)dydz \end{gathered}$$

同理，根据闭区域曲面积分，闭区域可以被分为左右两部分(设左边部分为${\Sigma }_1$右边部分为${\Sigma }_2$)分别计算曲面积分：

$$\begin{gathered} {\oint }_{\Sigma }\oint Pdydz={\oint }_{{\Sigma }_2}\oint Pdydz-{\oint }_{{\Sigma }_1}\oint Pdydz= \\ \int {\int }_{D_{yz}}P(x_2(y,z),y,z)dydz-\int {\int }_{D_{yz}}P(x_1(y,z),y,z)dydz \end{gathered}$$

高斯公式得证。