【初阶数据结构】二叉树全面知识总结

铁汁们，今天给大家分享一篇二叉树全面知识总结，来吧，开造⛳️

树的概念及其结构

树的概念

树的概念：是一种非线性的数据结构，它由n个有限的节点组成的一个具有层次关系的集合。树的结构类似于真实世界中的树，它看起来就像一颗倒挂着的树，即：它的根是朝上的，而叶子是朝下的。

说明：

1.有一个特殊的节点，根节点，该节点没有父节点（前驱节点）；

2.根节点除外，其他节点被分成了M个互不相交的集合{a1, a2, a3…},每个集合又是一颗结构类似的子树（每个子树又可以被分成根节点、左子树、右子树）——》递归思想，把大事化小，树是递归定义的；

3.其他节点都有一个父节点（前驱节点），并且可以有零个或多个子节点（后继节点）。一个节点可以有一个或多个子节点，但每个节点最多只能有一个父节点 ——》说明子树是不相交的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

树的相关概念

树的表示方法

树形结构的线性表：树在进行存储时，既要保存值域，也要保存各个节点之间的关系。

树的表示方法：双亲表示法、孩纸兄弟表示法、孩纸表示法、孩纸双亲表示法等（多叉树）。

孩纸兄弟表示法

孩纸兄弟表示法：让根节点指向第一个节点，让第一个节点指向靠的最近的兄弟节点，依次往后，直到无兄弟节点和兄弟节点无第一个节点。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>typedef int DataType;typedef struct Node  //孩纸兄弟表示法
{struct Node* firstchild; struct Node* secondchild;DataType val;  //值域
}Node;int main()  
{Node* parent;  //从根节点开始Node* child = parent->firstchild;  //让根节点指向第一个节点while (child)  {printf("%d ", child->val);child = child->secondchild;  //第一个节点指向靠的最近的兄弟节点}return 0;
}

双亲表示法（并查集）

//c++实现代码：#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<iostream> //合并查集（最基本版：用来1.合并两个集合， 2.查找两个数是否在一个集合内）using namespace std;const int N = 1e5 + 10;
//每个集合都用一个树来表示，树的编号就是整个集合的编号，每个数都有个树根。每个节点用来存储其父节点，p[x]表示节点x的父节点
//判断每个集合的树根，p[x] == x
//求x的集合编号，while(p[x] != x) x = p[x];
//将两个集合编号合并，因px是x的集合编号，py是y的集合编号，p[x] = y(让x所在的集合变为y所在集合的儿子）或者p[y] = x（让y所在的集合变为x所在集合的儿子)
int p[N];int find(int x) //查找每个数的树根（集合编号）+路径压缩（因每个节点均向上找树根，当一个节点找到了树根，则该节点所在的路径上所有的点父节点直接等于树根）
{if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);return p[x];
}int main()
{int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i; //因每个数都在不同的集合中，让集合的编号的本身（p[x] == x,树根）while (m--){char op[2];int a, b;cin >> op >> a >> b;if (*op == 'I') p[find(a)] = find(b); //两个集合的合并else  //判断两数所在的集合是否相同，即：判断树根值是否向他{if (find(a) == find(b)) printf("YES\n"); //相同else  printf("NO\n"); //不相同}}return 0;
}

树的实际应用

树的应用：用于表示文件系统的目录,表示方法为孩子兄弟法。

二叉树

二叉树的概念

二叉树定义：是由有限节点组成的集合，该集合可能为空（空树），或不为空（由一个根节点加上左子树和右子树组成）。

注意：
1.二叉树度小于等于2。
2.二叉树不存在度大于2的节点。
3.二叉树有左、右子树之分，次序不能颠倒，所以二叉树也为有序树。

二叉树都是由以下几种情况的树复合而成的：

二叉树的种类

特殊的二叉树：满二叉树、完全二叉树。

1.满二叉树：
一个二叉树，每一层节点达到了最大值（度等于2），则这个二叉树为满二叉树。

注意：满二叉树高度为h，满二叉树总结点树为2^n-1个。

现实生活中的满二叉树：

2.完全二叉树：
二叉树深度为n,1.我是文本 红色red前n-1层结点数都要达到最大值（度为2），最后一层结点数不一定达到最大值，但最后一层节点一定是从左到右排布的。完全二叉树是一种特殊的满二叉树。

注意：完全二叉树的总结点个数范围为[ 2^(n-1), 2^n-1]。

二叉树的性质

题目：

二叉树的存储结构

二叉树一般可分为两种结构存储,一种为顺序存储，一种为链式存储。

1.顺序存储
顺序结构存储数据实质就是用数组来存储，一般数组只适用于存储满二叉树、完全二叉树，若存储普通的二叉树则会造成空间浪费，堆、栈、顺序表均为顺序存储结构，均用数组来存储数据。二叉树顺序存储在逻辑结构上是一颗二叉树（想象出来的结构），在 color = red>物理结构上是一个数组（实际存在的)。

2.链式存储

二叉树链式存储：
用链表来表示二叉树节点之间的逻辑关系，通常链表中每个节点由三个域组成，数据域和左、右指针域，左、右指针域分别存储该节点的左、右孩子的地址，根节点通过其左右子节点指针连接到左右子树，子节点可以依次连接到它们的子树。链式结构又可以分为二叉链、三叉链。

二叉链：
每个节点包含数据元素和指向左右子节点的指针。通过这个指针，可以实现从子节点到父节点的访问。二叉链结构使得在树中的任意节点上，能够直接访问其父节点，方便进行反向操作。但要注意，根节点的父节点指针为空。

三叉链：
每个节点除了包含数据元素和指向左右子节点的指针之外，还包含一个指向父节点的指针。三叉链结构使得在树中的任意节点上，能够同时访问其父节点和子节点，方便进行各种树的操作。

二叉树顺序结构的实现

堆的概念及结构

堆：堆中所有的元素按完全二叉树的顺序全部存储到一维数组中，当根节点的值<=左、右子树的根节点的值，任意父亲节点值<=左、右孩纸节点的值，则该堆为小堆；当根节点的值>=左、右子树的根节点的值，任意父亲节点值>=左、右孩纸节点的值，则该堆为大堆。

注意：堆的性质：
1.任意父亲节点值<=(或者>=)左、右孩纸节点的值。
2.堆的逻辑结构为完全二叉树（堆是一颗完全二叉树），物理结构为数组。

堆向上、向下调整法

给出一个数组，就可以画出其对应得完全二叉树，通过向上或向下调整法可以将其调整为一个小堆。

向上、向下调整法使用前提：左、右子树必须都为堆。

向上调整法：从根节点的左结点开始，从左到右依次调整每一层的所有节点形成堆。

void AdjustUp(HPDataType* a, int child) //（使用前提：左、右子树均为堆）向上调整，从根节点的左结点开始，数据从上往下依次向上调整形成堆
{int parent = (child - 1) / 2;  //父亲节点（找父亲节点）while (child > 0) //{if (a[child] < a[parent])  //该节点与父节点值进行比较swap(&a[child], &a[parent]); //交换，形成小堆child = parent;  //递归parent = (child - 1) / 2;}
}

向下调整法：从最后一个非叶子节点开始，数据从下往上依次向下调整每个节点形成堆。

void AdjustDown(int* a, int n, int parent)  //（使用前提：根的左、右子树均为堆）向下调整，从最后一个非叶子节点开始，数据从下往上依次向下调整形成堆
{int child = parent * 2 + 1;  //孩纸节点，初始化左孩子值比右孩纸值小（找孩纸节点）while (child < n) //{if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1]) //左、右孩纸值进行比较，确保右孩纸存在，且左孩子值比右孩纸值大swap(&a[child], &a[child + 1]);  //交换，此时child节点中的值为孩纸节点的最小值if (a[child] < a[parent])  //左孩子值与父节点值进行比较swap(&a[child], &a[parent]);  //交换，形成小堆parent = child;  //递归child = parent * 2 + 1;}
}

堆的插入

思路：将数据直接插入到最后一个位置，新插入的元素在向上调整。

void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)  //向堆中插入一个元素
{assert(hp); //断言，不能对空指针进行加、减、解引用操作if (hp->size == hp->capacity) //空间满了，不能进行插入数据，如需插入数据，需要realloc进行扩容{int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2; //新容量HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity); if (tmp == NULL) //realloc开辟失败{perror("realloc failed");exit(-1);}hp->a = tmp;  //realloc开辟成功hp->capacity = newcapacity;  //容量进行更新为新容量}hp->a[hp->size] = x; //在末尾插入一个元素hp->size++;AdjustUp(hp->a, hp->size - 1); //在将新插入的元素进行向上调整形成堆
}

堆的删除

思路：将堆中最后一个元素覆盖堆顶元素，堆顶元素在向下调整。

void HeapPop(Heap* hp)  //删除堆顶元素
{assert(hp); //断言，不能对空指针进行加、减、解引用操作hp->a[0] = hp->a[hp->size-1]; //将最后一个元素覆盖堆顶元素hp->size--; AdjustDown(hp->a, hp->size, 0); //在将堆顶元素进行向下调整形成堆
}

堆的创建

void HeapCreat(Heap* hp, int* b, int n) //建堆（堆的创建）
{assert(hp && b); //断言，不能对空指针进行加、减、解引用操作hp->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);  //malloc动态开辟数组空间 if (hp->a == NULL)  //malloc动态开辟失败{perror("malloc failed");exit(-1);  //异常退出，终止程序，（非0值表示不正常退出，0表示正常退出）}memcpy(hp->a, b, sizeof(HPDataType) * n);  //此处需要将已知的数组建成堆，将数组中所有值拷贝给动态开辟的数组hp->size = hp->capacity = n;  for (int i = (n-2)/2; i >= 0; i--) //向下调整法建堆，从倒数第一个非叶子节点开始调整，层数依次向上，每层从右到左遍历每个节点，每个节点都向下调整AdjustDown(hp->a, n, i);
}

堆实现总代码

Heap.h

#pragma once  //用数组来模拟实现堆（顺序表实现）#include<stdio.h>  
#include<stdlib.h>    //malloc
#include<assert.h>   //assert
#include<string.h>  //memcpytypedef int HPDataType;  typedef struct HeapNode  //动态版
{HPDataType* a; //malloc动态开辟数组空间，存储每个节点的值int size;  //表示堆中实际有效节点的总个数int capacity;  //容量
}Heap;//传址调用，此处只需要改变结构体中的成员变量，只需要传结构体的地址，形参为一级指针（顺序表），若需要改变结构体的地址，则形参为二级指针（单链表）。void HeapCreat(Heap* hp, int* b, int n);  //建堆（堆的创建）void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);  //向堆中插入一个元素void HeapDestory(Heap* hp); //销毁void HeapPop(Heap* hp);  //删除堆顶元素HPDataType HeapTop(Heap* hp);  //获取堆顶元素int HeapSize(Heap* hp);  //获取堆中有效节点的总个数int HeapEmpty(Heap* hp);  //判断堆是否为空void HeapPrint(Heap* hp);  //打印堆中节点的值

Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include"Heap.h"void swap(int* p1, int* p2)  //交换两元素的值，传址调用，传值调用（形参的改变不会影响实参的改变）
{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}void AdjustDown(int* a, int n, int parent)  //（使用前提：根的左、右子树均为堆）向下调整，从最后一个非叶子节点开始，数据从下往上依次向下调整形成堆
{int child = parent * 2 + 1;  //孩纸节点，初始化左孩子值比右孩纸值小while (child < n) //{if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1]) //左、右孩纸值进行比较，确保右孩纸存在，且左孩子值比右孩纸值大swap(&a[child], &a[child + 1]);  //交换，此时child节点中的值为孩纸节点的最小值if (a[child] < a[parent])  //左孩子值与父节点值进行比较swap(&a[child], &a[parent]);  //交换，形成小堆parent = child;  //递归child = parent * 2 + 1;}
}void AdjustUp(HPDataType* a, int child) //（使用前提：左、右子树均为堆）向上调整，从根节点的左结点开始，数据从上往下依次向上调整形成堆
{int parent = (child - 1) / 2;  //父亲节点while (child > 0) //{if (a[child] < a[parent])  //该节点与父节点值进行比较swap(&a[child], &a[parent]); //交换，形成小堆child = parent;  //递归parent = (child - 1) / 2;}
}void HeapCreat(Heap* hp, int* b, int n) //建堆（堆的创建）
{assert(hp && b); //断言，不能对空指针进行加、减、解引用操作hp->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);  //malloc动态开辟数组空间 if (hp->a == NULL)  //malloc动态开辟失败{perror("malloc failed");exit(-1);  //异常退出，终止程序，（非0值表示不正常退出，0表示正常退出）}memcpy(hp->a, b, sizeof(HPDataType) * n);  //此处需要将已知的数组建成堆，将数组中所有值拷贝给动态开辟的数组hp->size = hp->capacity = n;  for (int i = (n-2)/2; i >= 0; i--) //向下调整法建堆，从倒数第一个非叶子节点开始调整，层数依次向上，每层从右到左遍历每个节点，每个节点都向下调整AdjustDown(hp->a, n, i);
}void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)  //向堆中插入一个元素
{assert(hp); //断言，不能对空指针进行加、减、解引用操作if (hp->size == hp->capacity) //空间满了，不能进行插入数据，如需插入数据，需要realloc进行扩容{int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2; //新容量HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity); if (tmp == NULL) //realloc开辟失败{perror("realloc failed");exit(-1);}hp->a = tmp;  //realloc开辟成功hp->capacity = newcapacity;  //容量进行更新为新容量}hp->a[hp->size] = x; //在末尾插入一个元素hp->size++;AdjustUp(hp->a, hp->size - 1); //在将新插入的元素进行向上调整形成堆
}void HeapDestory(Heap* hp)  //销毁
{assert(hp);//断言，不能对空指针进行加、减、解引用操作free(hp->a); //释放malloc动态开辟的空间hp->a = NULL; //防止该空间被其他变量存储了该地址，通过该地址访问此空间，不能访问已经释放的空间，会造成野指针hp->size = hp->capacity = 0;
}void HeapPop(Heap* hp)  //删除堆顶元素
{assert(hp); //断言，不能对空指针进行加、减、解引用操作hp->a[0] = hp->a[hp->size-1]; //将最后一个元素覆盖堆顶元素hp->size--; AdjustDown(hp->a, hp->size, 0); //在将堆顶元素进行向下调整形成堆
}HPDataType HeapTop(Heap* hp) //获取堆顶元素
{return hp->a[0];  
}int HeapSize(Heap* hp)  //获取堆中有效节点的总个数
{return hp->size;
}int HeapEmpty(Heap* hp)  //判断堆是否为空，为空，则为true,不为空，则为false
{if (hp->size > 0)  return 0;else return 1;
}void HeapPrint(Heap* hp) //打印堆中节点的值
{assert(hp);for (int i = 0; i < hp->size; i++)  //遍历堆中元素（通过数组的下标来遍历完全二叉树中的每个节点）printf("%d ", hp->a[i]);printf("\n");
}

Test.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#pragma once#include"Heap.h"int main()
{Heap hp;int b[4] = { 3, 2, 1 ,4};int n = sizeof(b) / sizeof(int);HeapCreat(&hp, b, n);HeapPrint(&hp);for (int i = 0; i < 5; i++){int x;scanf("%d", &x);HeapPush(&hp, x);}HeapPrint(&hp);HeapPop(&hp);HeapPrint(&hp);printf("%d\n", HeapTop(&hp));printf("%d\n", HeapSize(&hp));if (HeapEmpty(&hp))printf("YES\n");elseprintf("NO\n");HeapDestory(&hp);return 0;
}

建堆时间复杂度的证明

堆排序

注意：在进行堆排序建堆时：升序，建大堆、 降序，建小堆。

原因：堆排序是为了对数组进行排序，不是进行打印数组，便于进行其他一系列操作。

排升序，如果建小堆，只可以第一次获得最小的数，若要将剩余的元素进行排升序，只能将剩余的元素看成个堆，但各个元素对应的节点之间的关系已全部打乱，需要将剩余的元素重新建成堆，代价太大，时间复杂度为O(n*longn)。

排升序，建大堆，将第一个最大的数与最后一个元素进行交换，个数减1，在从剩余的n-1个找出次大的数，在与最后一个元素交换，个数减1，如此反复，时间复杂度为O(nlong)。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>void swap(int* p1, int* p2) //传址调用，形参的改变会影响实参的改变
{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}void down(int* a, int n, int parent) //向下调整法建堆，建大堆
{int child = parent * 2 + 1; //左孩纸节点while (child < n) //边界{if (child + 1 < n && a[child] < a[child + 1])//找到左孩纸与右孩纸节点中的最大值swap(&a[child], &a[child + 1]);if(a[parent] < a[child]) //建大堆swap(&a[child], &a[parent]);parent = child; //循环处理child = parent * 2 + 1;}
}void Heapsort(int* a, int n) //堆排序，对数组进行排序，升序，建大堆
{for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--) //向下调整法建堆，从下标为（i-1-1)/2的节点开始down(a, n, i);int end = n - 1; //最后一个元素所对应的下标值while (end > 0){swap(&a[0], &a[end]); //堆中最大的树与最后一个树进行交换down(a, end, 0); //将剩余的n-1个元素建大堆end--;}for (int i = 0; i < 6; i++) printf("%d ", a[i]);}int main()
{int a[6];for (int i = 0; i < 6; i++)scanf("%d", &a[i]);Heapsort(a, sizeof(a) / sizeof(int)); //堆排序return 0;
}

TopK问题

TopK问题：

求数据中的前k个大的数或者前k个小的数，该数据个数的范围非常的大，一般情况是建个堆，但在内存中不能一次性将所有数据全部加载到内存中，此时考虑将数据存入文件中，即：在文件中找TopK问题，实际应用场景：世界前500名富豪，游戏中前100名活跃的玩家等。

在文件中找前K个大的数：
1.将所有数据先存入文件中去，在从文件中读取，建成前K个数小堆。
2.在依次将文件中剩余的数据读取，每读取一个数，分别与堆中第一个树进行比较，比它大，两数据值进行交换，该数往下沉建成小堆，如此反复，最终堆中的K个数为文件中最大的前K个数。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>  //malloc, srand
#include<time.h>  //time(时间戳）void swap(int* p1, int* p2)  //传址调用
{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}void AdjustDown(int* a, int n, int parent)  //（使用前提：根的左、右子树均为堆）向下调整，从最后一个非叶子节点开始，数据从下往上依次向下调整形成堆
{int child = parent * 2 + 1;  //孩纸节点，初始化左孩子值比右孩纸值小while (child < n) //{if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1]) //左、右孩纸值进行比较，确保右孩纸存在，且左孩子值比右孩纸值大swap(&a[child], &a[child + 1]);  //交换，此时child节点中的值为孩纸节点的最小值if (a[child] < a[parent])  //左孩子值与父节点值进行比较swap(&a[child], &a[parent]);  ///交换，形成小堆parent = child;  //递归child = parent * 2 + 1;}
}void CreatNData()  //在文件中创造数据
{int n = 100000;const char* file = "data.txt";  FILE* fin = fopen(file, "w");  //以写的方式将文件打开if (fin == NULL)  //文件打开失败{perror("fopen failed");exit(-1); //异常退出，终止程序（负数）}for (int i = 0; i < n; i++) //创造n个随机数{int x = rand() % 10000; //数据值得范围为0~9999fprintf(fin, "%d\n", x); //将n个树写到文件中（"%d\n",每个数据占一行）}fclose(fin);  //关闭文件
}/*思路：一、从文件中读出k个数据放在数组中（fscanf，有格式），将k个数建成小堆（不可以是大堆，最大的数据会堵在堆顶不下去）
*       二、依次将文件中剩余的n-k个数据读取过来，与堆顶进行比较，大于，则往下沉
*       此时堆中剩余的k个数为最大的前k个数（且为升序）
*/
void HeapTopK(int k)  //topk
{const char* file = "data.txt";FILE* fout = fopen(file, "r"); //以读的方式将文件打开if (file == NULL) //文件打开失败{perror("fopen failed");exit(-1);  //异常退出，终止程序（负数）}//一、从文件中读出k个数据放在数组中（fscanf，有格式），将k个数建成小堆（不可以是大堆，最大的数据会堵在堆顶不下去）int* mink = (int*)malloc(sizeof(int) * k); //malloc创造一个动态数组用来存储文件中的前k个数if (mink == NULL)  //malloc开辟失败{perror("malloc failed");exit(-1);//异常退出，终止程序（负数）}for (int i = 0; i < k; i++)  //从文件中读出k个数据fscanf(fout, "%d", &mink[i]); for (int i = (k-2)/2; i >= 0; i--)//将k个数建成小堆AdjustDown(mink, k, i);// 二、依次将文件中剩余的n - k个数据读取过来，与堆顶进行比较，大于，则往下沉int x = 0;while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF)//将文件中剩余的n - k个数据读取{ //fscanf返回值为读取的个数，读取失败或者读取为NULL,则返回EOF（~EOF(-1）== 0)if (x > mink[0]) //与堆顶进行比较，大于，则往下沉mink[0] = x;AdjustDown(mink, k, 0);}for (int i = 0; i < k; i++)printf("%d ", mink[i]);free(mink); //释放malloc动态开辟的空间mink = NULL;fclose(fout); //关闭文件
}int main()
{srand((unsigned int)time(NULL)); //生成随机数srand~time~rand//CreatNData(); //创造数据int k;scanf("%d", &k);  //topkHeapTopK(k);return 0;
}

二叉树链式结构的实现

创建二叉树

BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* i) //由前序遍历将数组中的值创建二叉树
{ if (a[*i] == '#') // '#'代表空节点{(*i)++; //数组向后走一位，构建下一个节点return NULL; }BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode)); //malloc动态开辟内存，创建新节点if (root == NULL) //malloc动态开辟失败{perror("malloc failed"); exit(-1); //终止程序，异常退出，0表示正常退出，非0表示异常退出}root->val = a[*i]; //数组中值不为空，将该值赋给新节点(*i)++; //数组向后走一位，构建下一个节点//该节点的左、右节点均创建完成，该节点在其左、右节点进行链接root->left = BinaryTreeCreate(a, n, i); //递归处理创建左节点，左节点遇到空，递归结束root->right = BinaryTreeCreate(a, n, i); //递归处理创建右节点，右节点遇到空，递归结束return root; //返回树的根节点
}

前序遍历及其实现

void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)  //前序遍历，根、左、右
{if (root == NULL) //空树return ;printf("%c ", root->val); //根BinaryTreePrevOrder(root->left);  //递归处理左BinaryTreePrevOrder(root->right); //递归处理右
}

中序遍历及其实现

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) //中序遍历，左、根、右
{if (root == NULL)  //空树return;BinaryTreeInOrder(root->left);  //递归处理左printf("%c ", root->val);  //根BinaryTreeInOrder(root->right);  //递归处理右
}

后序遍历及其实现

void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) //后序遍历，左、右、根
{if (root == NULL)   //空树return;BinaryTreePostOrder(root->left);  //递归处理左BinaryTreePostOrder(root->right);   //递归处理右printf("%c ", root->val);   //根
}

销毁二叉树

/*采用后序遍历，不可采用前序遍历，原因：销毁根节点之前需要存储左子树的根，便于可以找到左子树，也需要存储右子树的根，便于可以找到右子树*/
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)  //销毁，后序遍历
{if (root == NULL) //空树,未动态开辟任何节点return;BinaryTreeDestory(root->left); //递归处理左BinaryTreeDestory(root->right); //递归处理右free(root);  //销毁根
}

求二叉树的高度

int BinaryTreeHeight(BTNode* root) //树的高度
{if (root == NULL)  //空树return 0;int leftheight = BinaryTreeHeight(root->left); //左子树的高度int rightheight = BinaryTreeHeight(root->right);   //右子树的高度return leftheight > rightheight ? leftheight + 1 : rightheight + 1; //找出左、右子树高度大的树+根（+1）
}

求二叉树总节点个数

int BinaryTreeSize(BTNode* root) //树的总节点个数，分治法、递归法（将其分为根、左子树、右子树，对应的子树又可以分成根、左、右子树）
{if (root == NULL) //空树return 0;return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1; //左子树的节点+右子树的节点+根节点（+1）
}

求二叉树叶子节点个数

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) //树中叶子节点的个数，分治法、递归法（将其分为根、左子树、右子树，对应的子树又可以分成根、左、右子树）
{if (root == NULL) //空树return 0;if (root->left == NULL && root->right == NULL) //叶子节点的特征，该左、右节点均为空，则该节点为叶子节点return 1;return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right); //左子树叶子节点个数+右子树叶子节点个数
}

求二叉树第k层节点个数

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) //树中第k层节点的总个数，将第k层转换为1层，将k-1层转换为第2层..直到k==1，则为第k层
{if (root == NULL)  //空树return 0;if (k == 1) //第k层return 1; return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1); 
}

二叉树查找值为x的节点

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) //在树中查找是否存在值为x的节点
{if (root == NULL)  //空树return 0;if (root->val == x) //找到了return root;BTNode* ret = NULL; ret = BinaryTreeFind(root->left, x); //递归左子树if (ret)   //若左子树找到了直接返回return ret;ret = BinaryTreeFind(root->right, x); //左子树找不到，在找右子树if (ret)  //右子树找到了直接返回return ret;return NULL;  //找不到
}

二叉树总代码实现

BinaryTree.h

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include<stdio.h>
#include<stdlib.h> //malloc
#include<string.h> //strlentypedef char BTDataType;  //二叉树节点值的类型，适用于任意数据类型typedef struct BinaryTreeNode //树中的节点
{struct BinaryTreeNode* left; //指针域：左孩纸struct BinaryTreeNode* right;        //右孩纸BTDataType val;  //数据域
}BTNode;BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* i); //由前序遍历将数组中的值创建二叉树void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);//前序遍历，根、左、右void BinaryTreeInOrder(BTNode* root); //中序遍历，左、根、右void BinaryTreePostOrder(BTNode* root); //后序遍历，左、右、根void BinaryTreeDestory(BTNode *root); //销毁int BinaryTreeHeight(BTNode* root); //树的高度int BinaryTreeSize(BTNode* root); //树的总节点个数int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root); //树中叶子节点的个数int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k); //树中第k层节点的总个数BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x); //在树中查找是否存在值为x的节点

BinaryTree.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include"BinaryTree.h"BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* i) //由前序遍历将数组中的值创建二叉树
{ if (a[*i] == '#') // '#'代表空节点{(*i)++; //数组向后走一位，构建下一个节点return NULL; }BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode)); //malloc动态开辟内存，创建新节点if (root == NULL) //malloc动态开辟失败{perror("malloc failed"); exit(-1); //终止程序，异常退出，0表示正常退出，非0表示异常退出}root->val = a[*i]; //数组中值不为空，将该值赋给新节点(*i)++; //数组向后走一位，构建下一个节点//该节点的左、右节点均创建完成，该节点在其左、右节点进行链接root->left = BinaryTreeCreate(a, n, i); //递归处理创建左节点，左节点遇到空，递归结束root->right = BinaryTreeCreate(a, n, i); //递归处理创建右节点，右节点遇到空，递归结束return root; //返回树的根节点
}void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)  //前序遍历，根、左、右
{if (root == NULL) //空树return ;printf("%c ", root->val); //根BinaryTreePrevOrder(root->left);  //递归处理左BinaryTreePrevOrder(root->right); //递归处理右
}void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) //中序遍历，左、根、右
{if (root == NULL)  //空树return;BinaryTreeInOrder(root->left);  //递归处理左printf("%c ", root->val);  //根BinaryTreeInOrder(root->right);  //递归处理右
}void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) //后序遍历，左、右、根
{if (root == NULL)   //空树return;BinaryTreePostOrder(root->left);  //递归处理左BinaryTreePostOrder(root->right);   //递归处理右printf("%c ", root->val);   //根
}
/*采用后序遍历，不可采用前序遍历，原因：销毁根节点之前需要存储左子树的根，便于可以找到左子树，也需要存储右子树的根，便于可以找到右子树*/
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)  //销毁，后序遍历
{if (root == NULL) //空树,未动态开辟任何节点return;BinaryTreeDestory(root->left); //递归处理左BinaryTreeDestory(root->right); //递归处理右free(root);  //销毁根
}int BinaryTreeSize(BTNode* root) //树的总节点个数，分治法、递归法（将其分为根、左子树、右子树，对应的子树又可以分成根、左、右子树）
{if (root == NULL) //空树return 0;return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1; //左子树的节点+右子树的节点+根节点（+1）
}int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) //树中叶子节点的个数，分治法、递归法（将其分为根、左子树、右子树，对应的子树又可以分成根、左、右子树）
{if (root == NULL) //空树return 0;if (root->left == NULL && root->right == NULL) //叶子节点的特征，该左、右节点均为空，则该节点为叶子节点return 1;return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right); //左子树叶子节点个数+右子树叶子节点个数
}int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) //树中第k层节点的总个数，将第k层转换为1层，将k-1层转换为第2层..直到k==1，则为第k层
{if (root == NULL)  //空树return 0;if (k == 1) //第k层return 1; return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1); 
}BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) //在树中查找是否存在值为x的节点
{if (root == NULL)  //空树return 0;if (root->val == x) //找到了return root;BTNode* ret = NULL; ret = BinaryTreeFind(root->left, x); //递归左子树if (ret)   //若左子树找到了直接返回return ret;ret = BinaryTreeFind(root->right, x); //左子树找不到，在找右子树if (ret)  //右子树找到了直接返回return ret;return NULL;  //找不到
}int BinaryTreeHeight(BTNode* root) //树的高度
{if (root == NULL)  //空树return 0;int leftheight = BinaryTreeHeight(root->left); //左子树的高度int rightheight = BinaryTreeHeight(root->right);   //右子树的高度return leftheight > rightheight ? leftheight + 1 : rightheight + 1; //找出左、右子树高度大的树+根（+1）
}

Test.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include"BinaryTree.h"int main()
{BTDataType arr[] = "ABD##E#H##CF##G##"; int n = strlen(arr);int j = 0;BTNode* root = BinaryTreeCreate(arr, n, &j);  //由前序遍历将数组中的值创建二叉树BinaryTreePrevOrder(root); //前序遍历printf("\n");BinaryTreeInOrder(root); //中序遍历printf("\n");BinaryTreePostOrder(root); //后序遍历printf("\n");printf("%d\n", BinaryTreeHeight(root));  //树的高度printf("%d\n",BinaryTreeSize(root)); //树的总节点个数printf("%d\n", BinaryTreeLeafSize(root)); //树中叶子节点的个数printf("%d\n", BinaryTreeLevelKSize(root, 3)); //树中第k层节点的总个数BTNode* ret = BinaryTreeFind(root, 'F');   //在树中查找是否存在值为x的节点if (ret != NULL)  printf("找到了\n"); elseprintf("找不到\n");BinaryTreeDestory(root);  //销毁return 0;
} 

层序遍历

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)  //层次遍历，用队列实现，上一层带下一层，当上一层节点全部出队，则下一层所有节点均入队了
{Queue plist;QueueInit(&plist); //初始化队列，队列中用于存储树中的节点if (root == NULL) //空树return;QueuePush(&plist, root);  //将根插入队列中while (!QueueEmpty(&plist))  //{BTNode* front = QueueFront(&plist); //获取队头元素printf("%d ", front->val); //打印树中节点的值if (front->left)  //左孩纸不为空，空节点不能入队QueuePush(&plist, front->left);   //将该节点的左孩子入队if (front->right)  //右孩纸不为空，空节点不能入队QueuePush(&plist, front->right);  //将该节点的右孩子入队QueuePop(&plist);  //删除队头元素}printf("\n");QueueDestroy(&plist); //二叉树的销毁
}

判断是否为二叉树

int BinaryTreeComplete(BTNode* root)  //判断其是否为二叉树，最后一层非空节点从左到右连续分布
{Queue plist;QueueInit(&plist); //初始化队列，队列中用于存储树中的节点if (root == NULL) //空树return;QueuePush(&plist, root);  //将根插入队列中while (!QueueEmpty(&plist)) //{BTNode* front = QueueFront(&plist);  //获取队头元素if (front == NULL) //队头为空节点break;QueuePush(&plist, front->left);  //左孩纸入队，空节点也需入队QueuePush(&plist, front->right);  //右孩纸入队，空节点也需入队QueuePop(&plist); //删除非空节点}while (!QueueEmpty(&plist))  //{BTNode* front = QueueFront(&plist);  //获取队头元素QueuePop(&plist); //删除队头节点if (front != NULL)  //队头为非空节点{QueueDestroy(&plist); return false; //不是完全二叉树}QueuePop(&plist); //删除队头节点}QueueDestroy(&plist); //销毁return true; //是完全二叉树printf("\n");
}

总代码

Tset.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include"Queue.h"/*void test()
{Queue plist;QueueInit(&plist);QueuePush(&plist, 1);QueuePush(&plist, 2);QueuePush(&plist, 3);QueuePush(&plist, 4);QueuePush(&plist, 5);QueuePush(&plist, 6);while (!QueueEmpty(&plist)){printf("%d ", QueueFront(&plist));QueuePop(&plist);}printf("\n");QueueDestroy(&plist);
}int main()
{test();  //测试队列，先进先出return 0;
}
*/
BTNode* BuyNode(int x)
{BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));root->left = NULL;root->right = NULL;root->val = x;return root;
}void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{Queue plist;QueueInit(&plist);if (root == NULL)return;QueuePush(&plist, root);while (!QueueEmpty(&plist)){BTNode* front = QueueFront(&plist);printf("%d ", front->val);if (front->left)QueuePush(&plist, front->left);if (front->right)QueuePush(&plist, front->right);QueuePop(&plist);}printf("\n");QueueDestroy(&plist);
}int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{Queue plist;QueueInit(&plist);if (root == NULL)return;QueuePush(&plist, root);while (!QueueEmpty(&plist)){BTNode* front = QueueFront(&plist);if (front == NULL)break;QueuePush(&plist, front->left);QueuePush(&plist, front->right);QueuePop(&plist);}while (!QueueEmpty(&plist)){BTNode* front = QueueFront(&plist);QueuePop(&plist); //if (front != NULL){QueueDestroy(&plist);return false;}QueuePop(&plist);}QueueDestroy(&plist);return true;printf("\n");
}int main()
{BTNode* n1 = BuyNode(1);BTNode* n2 = BuyNode(6);BTNode* n3 = BuyNode(7);BTNode* n4 = BuyNode(2);BTNode* n5 = BuyNode(3);BTNode* n6 = BuyNode(4);BTNode* n7 = BuyNode(5);n1->left = n2;n1->right = n3;n2->left = n4;n2->right = n5;n3->left = n6;n3->right = n7;BinaryTreeLevelOrder(n1);if (BinaryTreeComplete(n1))printf("是完全二叉树\n");elseprintf("不是完全二叉树\n");return 0;
}

Queue.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include"Queue.h"void QueueInit(Queue* p)   //初始化
{assert(p);  //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作p->front = NULL;p->rear = NULL;p->size = 0;  
}void QueuePush(Queue* p, QDataType x)   //入队
{assert(p);   //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作QNode* newnode=(QNode*)malloc(sizeof(QNode));  //malloc动态开辟新的节点if (newnode == NULL)  //开辟空间失败{perror("malloc");  //报错原因exit(-1);   //终止程序，异常结束}newnode->data = x; newnode->next = NULL;if (p->rear == NULL)  //注意：头插（特殊处理），链表为空{p->front = p->rear = newnode;}else  //尾插 ，需要找尾节点{p->rear->next = newnode;  p->rear=p->rear->next;}p->size++;  //链表中有效元素个数加+
}bool QueueEmpty(Queue* p)   //判断队列是否为空 
{assert(p);   //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作return p->front == NULL;  //为空，则为真，返回非0值，若不为空，为假，则返回0
}void QueuePop(Queue* p)   //出队
{assert(p);   //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作assert(!QueueEmpty(p));  //断言，链表为空，则不能进行删除 if (p->front->next == NULL)  //注意：当链表中只剩一个元素，因为尾指针、头指针同时指向该节点，释放该节点，需要将尾指针、头指针都置成NULL,否则会造成野指针（指向已经被释放的空间）{free(p->front);p->front = p->rear = NULL;}else  //链表中剩余至少有1个元素{QNode* next = p->front->next;free(p->front);p->front = next;}p->size--;  //链表中有效元素个数加-
}QDataType QueueFront(Queue* p)   //获取队头元素
{assert(p);  //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作assert(!QueueEmpty(p));   //断言，链表为空，则不能获取到队头的元素return p->front->data;  
}QDataType QueueBack(Queue* p)   //获取队尾元素
{assert(p);   //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作assert(!QueueEmpty(p));    //断言，链表为空，则不能获取到队尾的元素return p->rear->data;
}int QueueSize(Queue* p)   //获取队列中有效元素的个数
{assert(p);  //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作assert(!QueueEmpty(p));   //断言，链表为空，则不能获取到有效元素的总个数return p->size;
}void QueueDestroy(Queue* p)   //销毁
{assert(p);   //断言，检查指针的有效性，防止对空指针进行解引用，加减操作while (p->front)  //遍历链表{QNode* next = p->front->next;free(p->front);p->front = next;}p->front = p->rear = NULL;p->size = 0;
}

Queue.h

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>   //malloc
#include<assert.h>   //assert
#include<stdbool.h>  //bool类型typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;typedef int BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;BTDataType val;
}BTNode;typedef struct QueueNode  //链式结构：表示队列
{QDataType data;   struct QueueNode* next;  
}QNode;typedef struct Queue  //队列结构
{QNode* front;  //队头QNode* rear;   //队尾int size;  //有效元素个数
}Queue;void QueueInit(Queue* p);  //初始化
void QueuePush(Queue* p, QDataType x);  //入队
void QueuePop(Queue* p);   //出队
QDataType QueueFront(Queue* p);  //获取队头元素
QDataType QueueBack(Queue* p);  //获取队尾元素
int QueueSize(Queue* p);   //获取队列中有效元素的个数
bool QueueEmpty(Queue* p);  //判断队列是否为空
void QueueDestroy(Queue* p);  //销毁

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