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《视觉 SLAM 十四讲》V2 第 4 讲 李群与李代数 【什么样的相机位姿 最符合 当前观测数据】

P71

文章目录

    • 4.1 李群与李代数基础
      • 4.1.3 李代数的定义
      • 4.1.4 李代数 so(3)
      • 4.1.5 李代数 se(3)
    • 4.2 指数与对数映射
      • 4.2.1 SO(3)上的指数映射
          • 罗德里格斯公式推导
      • 4.2.2 SE(3) 上的指数映射
          • SO(3),SE(3),so(3),se(3)的对应关系
    • 4.3 李代数求导与扰动模型
      • 4.3.2 SO(3)上的李代数求导
      • 4.3.3 李代数求导
      • 4.3.4 扰动模型(左乘)【更简单 的导数计算模型】
      • 4.3.5 SE(3)上的李代数求导
    • 4.4 Sophus应用 【Code】
      • 4.4.2 评估轨迹的误差 【Code】
    • 4.5 相似变换群 与 李代数
    • 习题
      • 题1
      • 题2
      • 题4
      • √ 题5
      • √ 题6
        • 6.2 SE(3)伴随性质
      • √ 题7
      • √ 题8
    • LaTex

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什么样的相机位姿 最符合 当前观测数据。

求解最优的 R , t \bm{R, t} R,t, 使得误差最小化。

李群-李代数间转换
旋转矩阵_正交且行列式为1
位姿估计变成无约束的优化问题

4.1 李群与李代数基础

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: 只有一个(良好的)运算的集合。
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封结幺逆 、 丰俭由你

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李群: 具有连续(光滑)性质的群。

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在 t = 0 附近,旋转矩阵可以由 e x p ( ϕ 0 ˆ t ) exp(\phi_0\^{}t) exp(ϕ0ˆt)计算得到

4.1.3 李代数的定义

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李代数 描述了李群的局部性质

  • 单位元 附近的正切空间。

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g = ( R 3 , R , × ) \mathfrak{g}=(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}, \times) g=(R3,R,×)构成了一个李代数

4.1.4 李代数 so(3)

s o ( 3 ) \mathfrak{so}(3) so(3): 一个由三维向量组成的集合,每个向量对应一个反对称矩阵,可以用于表达旋转矩阵的导数
s o ( 3 ) = { ϕ ∈ R 3 , Φ = ϕ ˆ ∈ R 3 × 3 } \mathfrak{so}(3)=\{\phi\in\mathbb{R}^3,\bm{\Phi}=\phi\^{}\in\mathbb{R}^{3\times3}\} so(3)={ϕR3,Φ=ϕˆR3×3}

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4.1.5 李代数 se(3)

李群 S E ( 3 ) SE(3) SE(3) 对应的李代数 s e ( 3 ) \mathfrak{se}(3) se(3)

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4.2 指数与对数映射

4.2.1 SO(3)上的指数映射

s o ( 3 ) \mathfrak{so}(3) so(3)旋转向量 组成的空间
指数映射: 罗德里格斯公式

R = e x p ( ϕ ∧ ) = e x p ( θ a ∧ ) = c o s θ I + ( 1 − c o s θ ) a a T + s i n θ a ∧ \bm{R}=exp(\phi^{\land})=exp(\theta\bm{a}^{\land})=cos\theta\bm{I} + (1-cos\theta)\bm{a}\bm{a}^T+sin\theta\bm{a}^{\land} R=exp(ϕ)=exp(θa)=cosθI+(1cosθ)aaT+sinθa

对数映射: 李群 S O ( 3 ) SO(3) SO(3) 中的元素 ——> 李代数 s o ( 3 ) \mathfrak{so}(3) so(3)

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把旋转角固定在 ± π ±\pi ±π 之间,则李群和李代数 元素 一一对应。

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罗德里格斯公式推导

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e x p ( ϕ ∧ ) = e x p ( θ a ∧ ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( θ a ∧ ) n n = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . 原式 = I + θ a ∧ + 1 2 ! θ 2 a ∧ a ∧ + 1 3 ! θ 3 a ∧ a ∧ a ∧ + 1 4 ! θ 4 ( a ∧ ) 4 + ⋅ ⋅ ⋅ 将 a ∧ a ∧ = a a T − I ; a ∧ a ∧ a ∧ = ( a ∧ ) 3 = − a ∧ 代入 原式 = a a T − a ∧ a ∧ + θ a ∧ + 1 2 ! θ 2 a ∧ a ∧ − 1 3 ! θ 3 a ∧ − 1 4 ! θ 4 ( a ∧ ) 2 + ⋅ ⋅ ⋅ = a a T + ( θ − 1 3 ! θ 3 + 1 5 ! θ 5 − ⋅ ⋅ ⋅ ) a ∧ − ( 1 − 1 2 ! θ 2 + 1 4 ! θ 4 − ⋅ ⋅ ⋅ ) a ∧ a ∧ = a ∧ a ∧ + I + s i n θ a ∧ − c o s θ a ∧ a ∧ = ( 1 − c o s θ ) a ∧ a ∧ + I + s i n θ a ∧ = ( 1 − c o s θ ) ( a a T − I ) + I + s i n θ a ∧ = c o s θ I + ( 1 − c o s θ ) a a T + s i n θ a ∧ \begin{align*}exp(\phi^{\land}) &=exp(\theta\bm{a}^{\land})=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} (\theta\bm{a}^{\land})^n \\ & n = 0, 1, 2, 3, ... \\ 原式 & = \bm{I} + \theta\bm{a}^{\land} + \frac{1}{2!}\theta^2\bm{a}^{\land}\bm{a}^{\land} + \frac{1}{3!}\theta^3\bm{a}^{\land}\bm{a}^{\land}\bm{a}^{\land} +\frac{1}{4!}\theta^4(\bm{a}^{\land})^4+···\\ & 将\bm{a}^{\land}\bm{a}^{\land} = \bm{a}\bm{a}^T - \bm{I}; \bm{a}^{\land}\bm{a}^{\land}\bm{a}^{\land} = (\bm{a}^{\land})^3 =-\bm{a}^{\land} 代入 \\ 原式& = \bm{a}\bm{a}^T - \bm{a}^{\land}\bm{a}^{\land} + \theta\bm{a}^{\land} + \frac{1}{2!}\theta^2\bm{a}^{\land}\bm{a}^{\land}-\frac{1}{3!}\theta^3\bm{a}^{\land}-\frac{1}{4!}\theta^4(\bm{a}^{\land})^2+···\\ & = \bm{a}\bm{a}^T + (\theta - \frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^5-···)\bm{a}^{\land}-(1-\frac{1}{2!}\theta^2+\frac{1}{4!}\theta^4-···)\bm{a}^{\land}\bm{a}^{\land}\\ & = \bm{a}^{\land}\bm{a}^{\land} + \bm{I}+sin\theta \bm{a}^{\land}-cos\theta\bm{a}^{\land}\bm{a}^{\land}\\ &=(1-cos\theta)\bm{a}^{\land}\bm{a}^{\land}+\bm{I} + sin\theta\bm{a}^{\land}\\ &= (1-cos\theta)(\bm{a}\bm{a}^T-\bm{I})+\bm{I} + sin\theta\bm{a}^{\land}\\ & = cos\theta\bm{I}+ (1-cos\theta)\bm{a}\bm{a}^T + sin\theta\bm{a}^{\land} \end{align*} exp(ϕ)原式原式=exp(θa)=n=0n!1(θa)nn=0,1,2,3,...=I+θa+2!1θ2aa+3!1θ3aaa+4!1θ4(a)4+⋅⋅⋅aa=aaTI;aaa=(a)3=a代入=aaTaa+θa+2!1θ2aa3!1θ3a4!1θ4(a)2+⋅⋅⋅=aaT+(θ3!1θ3+5!1θ5⋅⋅⋅)a(12!1θ2+4!1θ4⋅⋅⋅)aa=aa+I+sinθacosθaa=(1cosθ)aa+I+sinθa=(1cosθ)(aaTI)+I+sinθa=cosθI+(1cosθ)aaT+sinθa

e x p ( θ a ∧ ) = c o s θ I + ( 1 − c o s θ ) a a T + s i n θ a ∧ exp(\theta\bm{a}^{\land})=cos\theta\bm{I} + (1-cos\theta)\bm{a}\bm{a}^T+sin\theta\bm{a}^{\land} exp(θa)=cosθI+(1cosθ)aaT+sinθa

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$\bm{a}^{\land}$

a ∧ \bm{a}^{\land} a
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4.2.2 SE(3) 上的指数映射

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推导:
∑ n = 0 ∞ 1 ( n + 1 ) ! ( ϕ ∧ ) n = ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + 1 ) ! ( θ a ∧ ) n = I + 1 2 ! θ a ∧ + 1 3 ! θ 2 ( a ∧ ) 2 + 1 4 ! θ 3 ( a ∧ ) 3 + 1 5 ! θ 4 ( a ∧ ) 4 + ⋅ ⋅ ⋅ = 1 θ ( 1 2 ! θ 2 − 1 4 ! θ 4 + ⋅ ⋅ ⋅ ) a ∧ + 1 θ ( 1 3 ! θ 3 − 1 5 ! θ 5 + ⋅ ⋅ ⋅ ) ( a ∧ ) 2 + I = 1 θ ( 1 − c o s θ ) a ∧ + 1 θ ( θ − s i n θ ) ( a a T − I ) + I = s i n θ θ I + ( 1 − s i n θ θ ) a a T + 1 − c o s θ θ a ∧ = d e f J \begin{align*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)!}(\phi^{\land})^n &= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)!}(\theta\bm{a}^{\land})^n\\ & = \bm{I} + \frac{1}{2!}\theta\bm{a}^{\land} + \frac{1}{3!}\theta^2(\bm{a}^{\land})^2 + \frac{1}{4!}\theta^3(\bm{a}^{\land})^3 + \frac{1}{5!}\theta^4(\bm{a}^{\land})^4+···\\ & = \frac{1}{\theta}( \frac{1}{2!}\theta^2- \frac{1}{4!}\theta^4+···)\bm{a}^{\land} + \frac{1}{\theta}( \frac{1}{3!}\theta^3- \frac{1}{5!}\theta^5+···)(\bm{a}^{\land})^2+\bm{I} \\ & = \frac{1}{\theta}( 1-cos\theta)\bm{a}^{\land} + \frac{1}{\theta}(\theta-sin\theta)(\bm{a}\bm{a}^T-\bm{I})+\bm{I} \\ & = \frac{sin\theta}{\theta}\bm{I}+(1-\frac{sin\theta}{\theta})\bm{a}\bm{a}^T + \frac{1-cos\theta}{\theta}\bm{a}^{\land}\\ & \overset{\mathrm{def}}{=} \bm{J} \end{align*} n=0(n+1)!1(ϕ)n=n=0(n+1)!1(θa)n=I+2!1θa+3!1θ2(a)2+4!1θ3(a)3+5!1θ4(a)4+⋅⋅⋅=θ1(2!1θ24!1θ4+⋅⋅⋅)a+θ1(3!1θ35!1θ5+⋅⋅⋅)(a)2+I=θ1(1cosθ)a+θ1(θsinθ)(aaTI)+I=θsinθI+(1θsinθ)aaT+θ1cosθa=defJ

J = s i n θ θ I + ( 1 − s i n θ θ ) a a T + 1 − c o s θ θ a ∧ \bm{J}=\frac{sin\theta}{\theta}\bm{I}+(1-\frac{sin\theta}{\theta})\bm{a}\bm{a}^T + \frac{1-cos\theta}{\theta}\bm{a}^{\land} J=θsinθI+(1θsinθ)aaT+θ1cosθa

R = c o s θ I + ( 1 − c o s θ ) a a T + s i n θ a ∧ \bm{R}=cos\theta\bm{I}+(1-cos\theta)\bm{a}\bm{a}^T + sin\theta\bm{a}^{\land} R=cosθI+(1cosθ)aaT+sinθa

————

t = J ρ \bm{t=Jρ} t=
平移部分发生了一次以 J \bm{J} J 为系数矩阵的 线性变换。

SO(3),SE(3),so(3),se(3)的对应关系

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4.3 李代数求导与扰动模型

Baker-Campbell-Hausdorff公式(BCH公式)
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4.3.2 SO(3)上的李代数求导

位姿由SO(3)上的旋转矩阵SE(3)上的变换矩阵 描述

设某时刻机器人的位姿为 T \bm{T} T, 观察到了一个世界坐标位于 p \bm{p} p 的点,产生了一个观测数据 z \bm{z} z
计算理想的观测与实际数据之间的误差: e = z − T p \bm{e = z-Tp} e=zTp
假设一共有 N N N 个这样的路标点和观测,对机器人进行位姿估计,相当于寻找一个最优的 T \bm{T} T ,使得整体误差最小化:
min ⁡ T J ( T ) = ∑ i = 1 N ∣ ∣ z i − T p i ∣ ∣ 2 2 \min\limits_{\bm{T}}J(\bm{T}) = \sum\limits_{i=1}^{N}||\bm{z_i-Tp_i}||_2^2 TminJ(T)=i=1N∣∣ziTpi22

求解上述问题,需要计算目标函数 J J J 关于变换矩阵 T \bm{T} T 的导数。

使用 李代数 解决 求导问题 的2种思路:
1、用李代数表示姿态,然后根据李代数加法对李代数求导。
2、对李群左乘或右乘微小扰动,然后对该扰动求导,称为左扰动右扰动模型。

4.3.3 李代数求导

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推导:
∂ ( R p ) ∂ R = R 对应的李代数为 ϕ ∂ ( exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p ) ∂ ϕ = lim ⁡ Δ ϕ → 0 exp ⁡ ( ( ϕ + Δ ϕ ) ∧ ) p − exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p Δ ϕ 由式 ( 4.35 ) = lim ⁡ Δ ϕ → 0 exp ⁡ ( ( J l Δ ϕ ) ∧ ) exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p − exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p Δ ϕ = lim ⁡ Δ ϕ → 0 ( I + ( J l Δ ϕ ) ∧ ) exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p − exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p Δ ϕ = lim ⁡ Δ ϕ → 0 ( J l Δ ϕ ) ∧ exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p Δ ϕ a ∧ 等效于 a × , 因此根据叉乘的性质 = lim ⁡ Δ ϕ → 0 − ( exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p ) ∧ J l Δ ϕ Δ ϕ = − ( R p ) ∧ J l \begin{align*}\frac{\partial(\bm{Rp})}{\partial\bm{R}} &\xlongequal{R对应的李代数为\phi}\frac{\partial(\exp(\phi^{\land})\bm{p})}{\partial\phi} \\ & = \lim\limits_{Δ\phi\to0}\frac{\exp((\phi+Δ\phi)^{\land})\bm{p}-\exp(\phi^{\land})\bm{p}}{Δ\phi} \\ & 由 式(4.35)\\ & = \lim\limits_{Δ\phi\to0}\frac{\exp((\bm{J}_lΔ\phi)^{\land})\exp(\phi^{\land})\bm{p}-\exp(\phi^{\land})\bm{p}}{Δ\phi} \\ & = \lim\limits_{Δ\phi\to0}\frac{(\bm{I}+(\bm{J}_lΔ\phi)^{\land})\exp(\phi^{\land})\bm{p}-\exp(\phi^{\land})\bm{p}}{Δ\phi} \\ & = \lim\limits_{Δ\phi\to0}\frac{(\bm{J}_lΔ\phi)^{\land}\exp(\phi^{\land})\bm{p}}{Δ\phi} \\ & a^{\land} 等效于 a \times ,因此根据叉乘的性质 \\ & = \lim\limits_{Δ\phi\to0}\frac{-(\exp(\phi^{\land})\bm{p})^{\land}\bm{J}_lΔ\phi}{Δ\phi} \\ & = -(\bm{Rp})^{\land}\bm{J}_l \end{align*} R(Rp)R对应的李代数为ϕ ϕ(exp(ϕ)p)=Δϕ0limΔϕexp((ϕ+Δϕ))pexp(ϕ)p由式(4.35)=Δϕ0limΔϕexp((JlΔϕ))exp(ϕ)pexp(ϕ)p=Δϕ0limΔϕ(I+(JlΔϕ))exp(ϕ)pexp(ϕ)p=Δϕ0limΔϕ(JlΔϕ)exp(ϕ)pa等效于a×,因此根据叉乘的性质=Δϕ0limΔϕ(exp(ϕ)p)JlΔϕ=(Rp)Jl

∂ ( exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p ) ∂ ϕ = − ( R p ) ∧ J l \frac{\partial(\exp(\phi^{\land})\bm{p})}{\partial\phi} = -(\bm{Rp})^{\land}\bm{J}_l ϕ(exp(ϕ)p)=(Rp)Jl
——————

4.3.4 扰动模型(左乘)【更简单 的导数计算模型】

R \bm{R} R 进行一次扰动 Δ R Δ\bm{R} ΔR ,看结果对于 扰动的变化率。

设左扰动 Δ R Δ\bm{R} ΔR 对应的李代数 为 φ \varphi φ

∂ ( R p ) ∂ φ = lim ⁡ φ → 0 exp ⁡ ( φ ∧ ) exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p − exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p φ = lim ⁡ φ → 0 ( I + φ ∧ ) exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p − exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p φ = lim ⁡ φ → 0 φ ∧ exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p φ = lim ⁡ φ → 0 φ ∧ R p φ = lim ⁡ φ → 0 − ( R p ) ∧ φ φ = − ( R p ) ∧ \begin{align*}\frac{\partial(\bm{Rp})}{\partial\varphi} &= \lim\limits_{\varphi\to0}\frac{\exp(\varphi^{\land})\exp(\phi^{\land})\bm{p}-\exp(\phi^{\land})\bm{p}}{\varphi}\\ &= \lim\limits_{\varphi\to0}\frac{(\bm{I} + \varphi^{\land})\exp(\phi^{\land})\bm{p}-\exp(\phi^{\land})\bm{p}}{\varphi}\\ &= \lim\limits_{\varphi\to0}\frac{\varphi^{\land}\exp(\phi^{\land})\bm{p}}{\varphi}\\ &= \lim\limits_{\varphi\to0}\frac{\varphi^{\land}\bm{Rp}}{\varphi}\\ &= \lim\limits_{\varphi\to0}\frac{-(\bm{Rp})^{\land}\varphi}{\varphi}\\ &= -(\bm{Rp})^{\land} \end{align*} φ(Rp)=φ0limφexp(φ)exp(ϕ)pexp(ϕ)p=φ0limφ(I+φ)exp(ϕ)pexp(ϕ)p=φ0limφφexp(ϕ)p=φ0limφφRp=φ0limφ(Rp)φ=(Rp)

4.3.5 SE(3)上的李代数求导

假设某空间点 p \bm{p} p 经过一次变换 T \bm{T} T (对应李代数为 ξ \bm{\xi} ξ), 得到 T p \bm{Tp} Tp
现在给 T \bm{T} T 左乘一个扰动 Δ T = exp ⁡ ( Δ ξ ∧ ) Δ\bm{T} = \exp(Δ\bm{\xi}^{\land}) ΔT=exp(Δξ)
设扰动项的李代数为 Δ ξ = [ Δ ρ , Δ ϕ ] T Δ\bm{\xi}=[Δ\bm{\rho},Δ\bm{\phi}]^T Δξ=[Δρ,Δϕ]T,则
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∂ ( T p ) ∂ Δ ξ = lim ⁡ Δ ξ → 0 exp ⁡ ( Δ ξ ∧ ) exp ⁡ ( ξ ∧ ) p − exp ⁡ ( ξ ∧ ) p Δ ξ = lim ⁡ Δ ξ → 0 ( I + Δ ξ ∧ ) exp ⁡ ( ξ ∧ ) p − exp ⁡ ( ξ ∧ ) p Δ ξ = lim ⁡ Δ ξ → 0 Δ ξ ∧ exp ⁡ ( ξ ∧ ) p Δ ξ = lim ⁡ Δ ξ → 0 [ Δ ϕ ∧ Δ ρ 0 T 0 ] [ R p + t 1 ] Δ ξ = lim ⁡ Δ ξ → 0 [ Δ ϕ ∧ ( R p + t ) + Δ ρ 0 T ] [ Δ ρ , Δ ϕ ] T = [ I − ( R p + t ) ∧ 0 T 0 T ] = d e f ( T p ) ⨀ \begin{align*}\frac{\partial(\bm{Tp})}{\partial{Δ\bm{\xi}}} &= \lim\limits_{Δ\bm{\xi}\to0}\frac{\exp(Δ\bm{\xi}^{\land})\exp(\bm{\xi}^{\land})\bm{p}-\exp(\bm{\xi}^{\land})\bm{p}}{Δ\bm{\xi}} \\ &= \lim\limits_{Δ\bm{\xi}\to0}\frac{(\bm{I} +Δ\bm{\xi}^{\land})\exp(\bm{\xi}^{\land})\bm{p}-\exp(\bm{\xi}^{\land})\bm{p}}{Δ\bm{\xi}} \\ &= \lim\limits_{Δ\bm{\xi}\to0}\frac{Δ\bm{\xi}^{\land}\exp(\bm{\xi}^{\land})\bm{p}}{Δ\bm{\xi}} \\ &=\lim\limits_{Δ\bm{\xi}\to0} \frac{\begin{bmatrix} Δ\bm{\phi}^{\land} & \Delta\bm{\rho}\\ \bm{0}^T & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \bm{Rp+t}\\ 1 \end{bmatrix}}{Δ\bm{\xi}}\\ &=\lim\limits_{Δ\bm{\xi}\to0} \frac{\begin{bmatrix} \Delta\bm{\phi}^{\land}(\bm{Rp+t})+\Delta\bm{\rho}\\ \bm{0}^T \end{bmatrix}}{[Δ\bm{\rho},Δ\bm{\phi}]^T} \\ & = \begin{bmatrix} \bm{I} & -(\bm{Rp+t})^{\land} \\ \bm{0}^T & \bm{0}^T \end{bmatrix} \\ &\overset{\mathrm{def}}{=}(\bm{Tp})^{\bigodot} \end{align*} Δξ(Tp)=Δξ0limΔξexp(Δξ)exp(ξ)pexp(ξ)p=Δξ0limΔξ(I+Δξ)exp(ξ)pexp(ξ)p=Δξ0limΔξΔξexp(ξ)p=Δξ0limΔξ[Δϕ0TΔρ0][Rp+t1]=Δξ0lim[Δρ,Δϕ]T[Δϕ(Rp+t)+Δρ0T]=[I0T(Rp+t)0T]=def(Tp)
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$\overset{\mathrm{def}}{=}(\bm{Tp})^{\bigodot}$

4.4 Sophus应用 【Code】

SO(3)、SE(3)
二维运动SO(2)和SE(2)
相似变换 Sim(3)

mkdir build && cd build
cmake ..
make 
./useSophus

CMakeLists.txt

cmake_minimum_required(VERSION 2.8)project(useSophus)find_package(Sophus REQUIRED)
include_directories( ${Sophus_INCLUDE_DIRS})add_executable(useSophus useSophus.cpp)
target_link_libraries(useSophus ${Sophus_LIBRARIES})
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<Eigen/Core>
#include<Eigen/Geometry>
#include "sophus/se3.h"using namespace std;
using namespace Eigen;/* sophus 的基本用法 */
int main(int argc, char **argv){// 沿 Z轴  转90° 的旋转矩阵Matrix3d R = AngleAxisd(M_PI/2, Vector3d(0, 0, 1)).toRotationMatrix();/* 四元数 */Quaterniond q(R);Sophus::SO3 SO3_R(R);Sophus::SO3 SO3_q(q);cout << "SO(3) from matrix:\n" << SO3_R.matrix() << endl;cout << "SO(3) from quatenion:\n" << SO3_q.matrix() << endl;cout << "they are equal" << endl;return 0;
}

在这里插入图片描述

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<Eigen/Core>
#include<Eigen/Geometry>
#include "sophus/se3.h"using namespace std;
using namespace Eigen;/* sophus 的基本用法 */
int main(int argc, char **argv){/* 使用 对数映射 获得  李代数*/Matrix3d R = AngleAxisd(M_PI/2, Vector3d(0, 0, 1)).toRotationMatrix();Sophus::SO3 SO3_R(R);Vector3d so3 = SO3_R.log();cout << "so3 = " << so3.transpose() << endl;// hat  向量 ——> 反对称矩阵cout << "so3 hat = \n" << Sophus::SO3::hat(so3)<< endl;// vee  反对称 ——> 向量cout << "so3 hat vee = " << Sophus::SO3::vee(Sophus::SO3::hat(so3)).transpose() << endl;Vector3d update_so3(1e-4, 0, 0);// 假设更新量为这么多Sophus::SO3 SO3_updated =Sophus::SO3::exp(update_so3) * SO3_R;cout << "SO3 updated = \n" << SO3_updated.matrix() << endl;return 0;
}

在这里插入图片描述

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<Eigen/Core>
#include<Eigen/Geometry>
#include "sophus/se3.h"using namespace std;
using namespace Eigen;/* sophus   SE(3) 的基本用法 */
int main(int argc, char **argv){Matrix3d R = AngleAxisd(M_PI/2, Vector3d(0, 0, 1)).toRotationMatrix();  // 沿 Z轴 旋转 90° 的旋转矩阵Vector3d t(1, 0, 0);  // 沿 X 轴平移1Sophus::SE3 SE3_Rt(R, t);  // 从R,t 构造 SE(3)Quaterniond q(R);Sophus::SE3 SE3_qt(q, t); // 从q, t 构造 SE(3)cout << "SE3 from R, t = \n" << SE3_Rt.matrix() << endl;cout << "SE3 from q, t = \n" << SE3_qt.matrix() << endl; /* 李代数se(3) 是一个 6 维 向量*/typedef Eigen::Matrix<double, 6, 1> Vector6d;Vector6d se3 = SE3_Rt.log();cout << "se3 = " << se3.transpose() << endl;// hat  向量 ——> 反对称矩阵cout << "se3 hat = \n" << Sophus::SE3::hat(se3)<< endl;// vee  反对称 ——> 向量cout << "se3 hat vee = " << Sophus::SE3::vee(Sophus::SE3::hat(se3)).transpose() << endl;// 更新Vector6d update_se3;// 更新量update_se3.setZero();update_se3(0, 0) = 1e-4;Sophus::SE3 SE3_updated =Sophus::SE3::exp(update_se3) * SE3_Rt;cout << "SE3 updated = \n" << SE3_updated.matrix() << endl;return 0;
}

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4.4.2 评估轨迹的误差 【Code】

————————
考虑一条估计轨迹 T e s t i , i \bm{T}_{esti,i} Testi,i 和真实轨迹 T g t , i \bm{T}_{gt,i} Tgt,i ,其中 i = 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , N i= 1,···,N i=1⋅⋅⋅N

1、绝对误差轨迹(Absolute Trajectory Error, ATE) 旋转和平移误差
A T E a l l = 1 N ∑ i = 1 N ∣ ∣ l o g ( T g t , i − 1 T e s t i , i ) ∨ ∣ ∣ 2 2 ATE_{all}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}||log(\bm{T}_{gt,i}^{-1}\bm{T}_{esti,i})^{\vee}||_2^2} ATEall=N1i=1N∣∣log(Tgt,i1Testi,i)22

  • 每个位姿 李代数 的均方根误差 (Root-Mean-Squared Error,RMSE)

2、绝对平移误差(Average Translational Error)

A T E t r a n s = 1 N ∑ i = 1 N ∣ ∣ t r a n s ( T g t , i − 1 T e s t i , i ) ∣ ∣ 2 2 ATE_{trans}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}||trans(\bm{T}_{gt,i}^{-1}\bm{T}_{esti,i})||_2^2} ATEtrans=N1i=1N∣∣trans(Tgt,i1Testi,i)22

其中 trans 表示 取括号内部变量的平移部分。

  • 从整条轨迹上看,旋转出现偏差后,随后的轨迹在平移上也会出现误差。

3、相对误差
考虑 i i i 时刻到 i + Δ t i+\Delta t i+Δt 的运动,相对位姿误差(Relative Pose Error, RPE)

R P E a l l = 1 N − Δ t ∑ i = 1 N − Δ t ∣ ∣ l o g ( ( T g t , i − 1 T g t , i + Δ t ) − 1 ( T e s t i , i − 1 T e s t i , i + Δ t ) ) ∨ ∣ ∣ 2 2 RPE_{all}=\sqrt{\frac{1}{N-\Delta t}\sum\limits_{i=1}^{N-\Delta t}||log((\bm{T}_{gt,i}^{-1}\bm{T}_{gt,i+\Delta t})^{-1}(\bm{T}_{esti,i}^{-1}\bm{T}_{esti,i+\Delta t}))^{\vee}||_2^2} RPEall=NΔt1i=1NΔt∣∣log((Tgt,i1Tgt,i+Δt)1(Testi,i1Testi,i+Δt))22

R P E t r a n s = 1 N − Δ t ∑ i = 1 N − Δ t ∣ ∣ t r a n s ( ( T g t , i − 1 T g t , i + Δ t ) − 1 ( T e s t i , i − 1 T e s t i , i + Δ t ) ) ∣ ∣ 2 2 RPE_{trans}=\sqrt{\frac{1}{N-\Delta t}\sum\limits_{i=1}^{N-\Delta t}||trans((\bm{T}_{gt,i}^{-1}\bm{T}_{gt,i+\Delta t})^{-1}(\bm{T}_{esti,i}^{-1}\bm{T}_{esti,i+\Delta t}))||_2^2} RPEtrans=NΔt1i=1NΔt∣∣trans((Tgt,i1Tgt,i+Δt)1(Testi,i1Testi,i+Δt))22

————————

在这里插入图片描述

mkdir build && cd build
cmake ..
make 
./trajectoryError

CMakeLists.txt

cmake_minimum_required(VERSION 2.8)project(trajectoryError)find_package(Sophus REQUIRED)
include_directories( ${Sophus_INCLUDE_DIRS})option(USE_UBUNTU_20 "Set to ON if you are using Ubuntu 20.04" OFF)
find_package(Pangolin REQUIRED)
if(USE_UBUNTU_20)message("You are using Ubuntu 20.04, fmt::fmt will be linked")find_package(fmt REQUIRED)set(FMT_LIBRARIES fmt::fmt)
endif()
include_directories(${Pangolin_INCLUDE_DIRS})add_executable(trajectoryError trajectoryError.cpp)
target_link_libraries(trajectoryError ${Sophus_LIBRARIES})
target_link_libraries(trajectoryError ${Pangolin_LIBRARIES} ${FMT_LIBRARIES})

trajectoryError.cpp

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <unistd.h>
#include <pangolin/pangolin.h>
#include <sophus/se3.h>using namespace Sophus;
using namespace std;string groundtruth_file = "../groundtruth.txt";
string estimated_file = "../estimated.txt";typedef vector<Sophus::SE3, Eigen::aligned_allocator<Sophus::SE3>> TrajectoryType;void DrawTrajectory(const TrajectoryType &gt, const TrajectoryType &esti);TrajectoryType ReadTrajectory(const string &path);int main(int argc, char **argv) {TrajectoryType groundtruth = ReadTrajectory(groundtruth_file);TrajectoryType estimated = ReadTrajectory(estimated_file);assert(!groundtruth.empty() && !estimated.empty());assert(groundtruth.size() == estimated.size());// compute rmsedouble rmse = 0;for (size_t i = 0; i < estimated.size(); i++) {Sophus::SE3 p1 = estimated[i], p2 = groundtruth[i];double error = (p2.inverse() * p1).log().norm();rmse += error * error;}rmse = rmse / double(estimated.size());rmse = sqrt(rmse);cout << "RMSE = " << rmse << endl;DrawTrajectory(groundtruth, estimated);return 0;
}TrajectoryType ReadTrajectory(const string &path) {ifstream fin(path);TrajectoryType trajectory;if (!fin) {cerr << "trajectory " << path << " not found." << endl;return trajectory;}while (!fin.eof()) {double time, tx, ty, tz, qx, qy, qz, qw;fin >> time >> tx >> ty >> tz >> qx >> qy >> qz >> qw;Sophus::SE3 p1(Eigen::Quaterniond(qw, qx, qy, qz), Eigen::Vector3d(tx, ty, tz));trajectory.push_back(p1);}return trajectory;
}void DrawTrajectory(const TrajectoryType &gt, const TrajectoryType &esti) {// create pangolin window and plot the trajectorypangolin::CreateWindowAndBind("Trajectory Viewer", 1024, 768);glEnable(GL_DEPTH_TEST);glEnable(GL_BLEND);glBlendFunc(GL_SRC_ALPHA, GL_ONE_MINUS_SRC_ALPHA);pangolin::OpenGlRenderState s_cam(pangolin::ProjectionMatrix(1024, 768, 500, 500, 512, 389, 0.1, 1000),pangolin::ModelViewLookAt(0, -0.1, -1.8, 0, 0, 0, 0.0, -1.0, 0.0));pangolin::View &d_cam = pangolin::CreateDisplay().SetBounds(0.0, 1.0, pangolin::Attach::Pix(175), 1.0, -1024.0f / 768.0f).SetHandler(new pangolin::Handler3D(s_cam));while (pangolin::ShouldQuit() == false) {glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);d_cam.Activate(s_cam);glClearColor(1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f);glLineWidth(2);for (size_t i = 0; i < gt.size() - 1; i++) {glColor3f(0.0f, 0.0f, 1.0f);  // blue for ground truthglBegin(GL_LINES);auto p1 = gt[i], p2 = gt[i + 1];glVertex3d(p1.translation()[0], p1.translation()[1], p1.translation()[2]);glVertex3d(p2.translation()[0], p2.translation()[1], p2.translation()[2]);glEnd();}for (size_t i = 0; i < esti.size() - 1; i++) {glColor3f(1.0f, 0.0f, 0.0f);  // red for estimatedglBegin(GL_LINES);auto p1 = esti[i], p2 = esti[i + 1];glVertex3d(p1.translation()[0], p1.translation()[1], p1.translation()[2]);glVertex3d(p2.translation()[0], p2.translation()[1], p2.translation()[2]);glEnd();}pangolin::FinishFrame();usleep(5000);   // sleep 5 ms}}

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

4.5 相似变换群 与 李代数

单目视觉 相似变换群Sim(3)
尺度不确定性 与 尺度漂移
对位于空间的点 p \bm{p} p ,在相机坐标系下要经过一个相似变换。
p ′ = [ s R t 0 T 1 ] p = s R p + t \bm{p}^{\prime}=\begin{bmatrix}s\bm{R} & \bm{t}\\ \bm{0}^T& 1 \end{bmatrix}\bm{p} = s\bm{Rp+t} p=[sR0Tt1]p=sRp+t

在这里插入图片描述
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在这里插入图片描述
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在这里插入图片描述
对于尺度因子,李群中的 s s s 即为李代数中 σ \sigma σ 的指数函数

在这里插入图片描述

4.6 小结
李群 SO(3) 和 SE(3) 以及对应的李代数 s o ( 3 ) \mathfrak{so}(3) so(3) s e ( 3 ) \mathfrak{se}(3) se(3)

BCH 线性近似, 对位姿进行扰动并求导

习题

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

题1

验证SO(3)、SE(3)、Sim(3)关于乘法成群

特殊正交群SO(n) 旋转矩阵群
特殊欧式群SE(n) n维欧式变换

在这里插入图片描述
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题2

在这里插入图片描述

题4

在这里插入图片描述

√ 题5

在这里插入图片描述
证明:
原式等效于证明 R p ∧ R T R = ( R p ) ∧ R R p ∧ I = ( R p ) ∧ R R p ∧ = ( R p ) ∧ R 对于向量 v ∈ R 3 R p ∧ v = ( R p ) ∧ R v 上式等号左边 表示向量 p , v 叉乘后所得向量根据 R 旋转。 等号右边表示 向量 p , v 分别根据 R 旋转后叉乘,显然得到同一个向量。 证毕。 \begin{align*} 原式等效于证明\\ \bm{Rp^{\land}R^TR} & = \bm{(Rp)}^{\land}\bm{R} \\ \bm{Rp^{\land}\bm{I}} & = \bm{(Rp)}^{\land}\bm{R} \\ \bm{Rp^{\land}} & = \bm{(Rp)}^{\land}\bm{R} \\ 对于向量 \bm{v} \in \mathbb{R}^3\\ \bm{Rp^{\land}}\bm{v} & = \bm{(Rp)}^{\land}\bm{R}\bm{v} \\ 上式等号左边& 表示向量\bm{p,v}叉乘后所得向量根据 \bm{R}旋转。\\ 等号右边表示& 向量\bm{p,v}分别根据 \bm{R}旋转后叉乘,显然得到同一个向量。\\ 证毕。 \end{align*} 原式等效于证明RpRTRRpIRp对于向量vR3Rpv上式等号左边等号右边表示证毕。=(Rp)R=(Rp)R=(Rp)R=(Rp)Rv表示向量p,v叉乘后所得向量根据R旋转。向量p,v分别根据R旋转后叉乘,显然得到同一个向量。

√ 题6

在这里插入图片描述
根据题 5 的结论 : ( R p ) ∧ = R p ∧ R T exp ⁡ ( ( R p ) ∧ ) = exp ⁡ ( R p ∧ R T ) 级数展开 = ∑ n = 0 ∞ ( R p ∧ R T ) n N ! = ∑ n = 0 ∞ R p ∧ R T ⋅ R p ∧ R T ⋅ , ⋅ ⋅ ⋅ , ⋅ R p ∧ R T ⋅ R p ∧ R T N ! 其中 R T R = I = ∑ n = 0 ∞ R ( p ∧ ) n R T N ! = R ∑ n = 0 ∞ ( p ∧ ) n N ! R T = R exp ⁡ ( p ∧ ) R T \begin{align*}根据题5 的结论&:\bm{(Rp)}^{\land} = \bm{Rp^{\land}R^T} \\ \exp((\bm{Rp})^{\land})& = \exp(\bm{Rp^{\land}R^T}) \\ 级数展开\\ &= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(\bm{Rp^{\land}R^T}) ^n}{N!} \\ &= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\bm{Rp^{\land}R^T}·\bm{Rp^{\land}R^T}·,···,·\bm{Rp^{\land}R^T}·\bm{Rp^{\land}R^T}}{N!} \\ 其中 \bm{R^TR=I}\\ & = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\bm{R(p^{\land})^nR^T}}{{N!} }\\ & = \bm{R} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\bm{(p^{\land})^n}}{{N!} } \bm{R}^T \\ & = \bm{R}\exp(\bm{p}^{\land})\bm{R}^T \end{align*} 根据题5的结论exp((Rp))级数展开其中RTR=I(Rp)=RpRT=exp(RpRT)=n=0N!(RpRT)n=n=0N!RpRTRpRT⋅⋅⋅RpRTRpRT=n=0N!R(p)nRT=Rn=0N!(p)nRT=Rexp(p)RT

证毕。
——————

6.2 SE(3)伴随性质

T exp ⁡ ( ξ ∧ ) T − 1 = T ∑ n = 0 ∞ ( ξ ∧ ) n n ! T − 1 由于 T − 1 T = I = ∑ n = 0 ∞ T ξ ∧ T − 1 ⋅ T ξ ∧ T − 1 ⋅ T ξ ∧ T − 1 ⋅ T ξ ∧ T − 1 ⋅ , ⋅ ⋅ ⋅ , T ξ ∧ T − 1 ⋅ T ξ ∧ T − 1 n ! = ∑ n = 0 ∞ ( T ξ ∧ T − 1 ) n n ! = exp ⁡ ( T ξ ∧ T − 1 ) \begin{align*} \bm{T}\exp(\bm{\xi}^{\land})\bm{T}^{-1} &= \bm{T}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(\bm{\xi}^{\land})^n}{n!}\bm{T}^{-1} \\ 由于 \bm{T^{-1}T=I} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\bm{T}\bm{\xi}^{\land}\bm{T}^{-1}·\bm{T}\bm{\xi}^{\land}\bm{T}^{-1}·\bm{T}\bm{\xi}^{\land}\bm{T}^{-1}·\bm{T}\bm{\xi}^{\land}\bm{T}^{-1}·,···, \bm{T}\bm{\xi}^{\land}\bm{T}^{-1}·\bm{T}\bm{\xi}^{\land}\bm{T}^{-1}}{n!} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(\bm{T}\bm{\xi}^{\land}\bm{T}^{-1})^n}{n!} \\ &= \exp(\bm{T}\bm{\xi}^{\land}\bm{T}^{-1}) \\ \end{align*} Texp(ξ)T1由于T1T=I=Tn=0n!(ξ)nT1=n=0n!TξT1TξT1TξT1TξT1⋅,⋅⋅⋅,TξT1TξT1=n=0n!(TξT1)n=exp(TξT1)

ξ = [ ρ ϕ ] , ξ ∧ = [ ϕ ∧ ρ 0 T 0 ] , T = [ R t 0 T 1 ] , T − 1 = [ R T − R T t 0 T 1 ] \bm{\xi=}\begin{bmatrix}\bm{\rho}\\ \bm{\phi} \end{bmatrix},\bm{\xi}^{\land}=\begin{bmatrix}\bm{\phi}^{\land} & \bm{\rho} \\ \bm{0}^T & 0 \end{bmatrix},\bm{T}=\begin{bmatrix}\bm{R} & \bm{t}\\ \bm{0}^T & 1 \end{bmatrix},\bm{T}^{-1}=\begin{bmatrix}\bm{R}^T & -\bm{R}^T\bm{t}\\ \bm{0}^T & 1 \end{bmatrix} ξ=[ρϕ]ξ=[ϕ0Tρ0]T=[R0Tt1]T1=[RT0TRTt1]

在这里插入图片描述

则:
T ξ ∧ T − 1 = [ R t 0 T 1 ] [ ϕ ∧ ρ 0 T 0 ] [ R T − R T t 0 T 1 ] = [ R ϕ ∧ R ρ 0 T 0 ] [ R T − R T t 0 T 1 ] = [ R ϕ ∧ R T − R ϕ ∧ R T t + R ρ 0 T 0 ] 由题 5 的结论 R p ∧ R T = ( R p ) ∧ = [ ( R ϕ ) ∧ − ( R ϕ ) ∧ t + R ρ 0 T 0 ] 对比 ξ , ξ ∧ 进行转换 = [ − ( R ϕ ) ∧ t + R ρ R ϕ ] ∧ 由叉乘性质, = [ t ∧ R ϕ + R ρ R ϕ ] ∧ = [ R t ∧ R 0 R ] [ ρ ϕ ] ) ∧ = ( A d ( T ) ξ ) ∧ \begin{align*}\bm{T}\bm{\xi}^{\land}\bm{T}^{-1}&= \begin{bmatrix}\bm{R} & \bm{t}\\ \bm{0}^T & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\bm{\phi}^{\land} & \bm{\rho} \\ \bm{0}^T & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\bm{R}^T & -\bm{R}^T\bm{t}\\ \bm{0}^T & 1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix}\bm{R}\bm{\phi}^{\land} & \bm{R\rho}\\ \bm{0}^T & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\bm{R}^T & -\bm{R}^T\bm{t}\\ \bm{0}^T & 1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix}\bm{R}\bm{\phi}^{\land}\bm{R}^T & -\bm{R}\bm{\phi}^{\land}\bm{R}^T\bm{t + \bm{R\rho}}\\ \bm{0}^T & 0 \end{bmatrix} \\ 由题5的结论& \bm{Rp^{\land}R^T} = \bm{(Rp)}^{\land} \\ &= \begin{bmatrix}(\bm{R}\bm{\phi})^{\land} & -(\bm{R}\bm{\phi})^{\land}\bm{t + \bm{R\rho}}\\ \bm{0}^T &0 \end{bmatrix}\\ & 对比 \bm{\xi, {\xi}^{\land}}进行转换\\ &= \begin{bmatrix}-(\bm{R}\bm{\phi})^{\land}\bm{t + \bm{R\rho}}\\ \bm{R}\bm{\phi} \end{bmatrix}^{\land}\\ 由叉乘性质, \\ &= \begin{bmatrix}\bm{t}^{\land}\bm{R}\bm{\phi}+ \bm{R\rho}\\ \bm{R}\bm{\phi} \end{bmatrix}^{\land}\\ &= \begin{bmatrix}\bm{R}& \bm{t}^{\land}\bm{R} \\ \bm{0} & \bm{R} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\bm{\rho}\\ \bm{\phi} \end{bmatrix})^{\land}\\ & = (Ad(\bm{T})\bm{\xi})^{\land} \end{align*} TξT1由题5的结论由叉乘性质,=[R0Tt1][ϕ0Tρ0][RT0TRTt1]=[Rϕ0T0][RT0TRTt1]=[RϕRT0TRϕRTt+0]RpRT=(Rp)=[(Rϕ)0T(Rϕ)t+0]对比ξ,ξ进行转换=[(Rϕ)t+Rϕ]=[tRϕ+Rϕ]=[R0tRR][ρϕ])=(Ad(T)ξ)

综上:
T exp ⁡ ( ξ ∧ ) T − 1 = exp ⁡ ( ( A d ( T ) ξ ) ∧ ) \bm{T}\exp(\bm{\xi}^{\land})\bm{T}^{-1}=\exp((Ad(\bm{T})\bm{\xi})^{\land}) Texp(ξ)T1=exp((Ad(T)ξ))
其中
A d ( T ) = [ R t ∧ R 0 R ] Ad(\bm{T})=\begin{bmatrix}\bm{R}& \bm{t}^{\land}\bm{R} \\ \bm{0} & \bm{R} \end{bmatrix} Ad(T)=[R0tRR]

证毕
————————————————

√ 题7

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
SO(3):
设右扰动 Δ R Δ\bm{R} ΔR 对应的李代数 为 φ \varphi φ

∂ ( R p ) ∂ φ = lim ⁡ φ → 0 exp ⁡ ( ϕ ∧ ) exp ⁡ ( φ ∧ ) p − exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p φ = lim ⁡ φ → 0 exp ⁡ ( ϕ ∧ ) ( I + φ ∧ ) p − exp ⁡ ( ϕ ∧ ) p φ = lim ⁡ φ → 0 exp ⁡ ( ϕ ∧ ) φ ∧ p φ = lim ⁡ φ → 0 R φ ∧ p φ 由题 5 : R p ∧ = ( R p ) ∧ R = lim ⁡ φ → 0 ( R φ ) ∧ R p φ 由叉乘性质 = lim ⁡ φ → 0 − ( R p ) ∧ R φ φ = − ( R p ) ∧ R \begin{align*}\frac{\partial(\bm{Rp})}{\partial\varphi} &= \lim\limits_{\varphi\to0}\frac{\exp(\phi^{\land})\exp(\varphi^{\land})\bm{p}-\exp(\phi^{\land})\bm{p}}{\varphi}\\ &= \lim\limits_{\varphi\to0}\frac{\exp(\phi^{\land})(\bm{I} + \varphi^{\land})\bm{p}-\exp(\phi^{\land})\bm{p}}{\varphi}\\ &= \lim\limits_{\varphi\to0}\frac{\exp(\phi^{\land})\varphi^{\land}\bm{p}}{\varphi}\\ &= \lim\limits_{\varphi\to0}\frac{\bm{R}\varphi^{\land}\bm{p}}{\varphi}\\ 由题5 : \bm{Rp^{\land}} & = \bm{(Rp)}^{\land}\bm{R} \\ &= \lim\limits_{\varphi\to0}\frac{(\bm{R}\varphi)^{\land}\bm{Rp}}{\varphi}\\ 由叉乘性质\\ &= \lim\limits_{\varphi\to0}\frac{-(\bm{Rp})^{\land}\bm{R}\varphi}{\varphi}\\ & = -(\bm{Rp})^{\land}\bm{R} \end{align*} φ(Rp)由题5:Rp由叉乘性质=φ0limφexp(ϕ)exp(φ)pexp(ϕ)p=φ0limφexp(ϕ)(I+φ)pexp(ϕ)p=φ0limφexp(ϕ)φp=φ0limφRφp=(Rp)R=φ0limφ(Rφ)Rp=φ0limφ(Rp)Rφ=(Rp)R

SE(3):

假设某空间点 p \bm{p} p 经过一次变换 T \bm{T} T (对应李代数为 ξ \bm{\xi} ξ), 得到 T p \bm{Tp} Tp
现在给 T \bm{T} T 右乘一个扰动 Δ T = exp ⁡ ( Δ ξ ∧ ) Δ\bm{T} = \exp(Δ\bm{\xi}^{\land}) ΔT=exp(Δξ)
设扰动项的李代数为 Δ ξ = [ Δ ρ , Δ ϕ ] T Δ\bm{\xi}=[Δ\bm{\rho},Δ\bm{\phi}]^T Δξ=[Δρ,Δϕ]T,则
在这里插入图片描述

∂ ( T p ) ∂ Δ ξ = lim ⁡ Δ ξ → 0 exp ⁡ ( ξ ∧ ) exp ⁡ ( Δ ξ ∧ ) p − exp ⁡ ( ξ ∧ ) p Δ ξ = lim ⁡ Δ ξ → 0 exp ⁡ ( ξ ∧ ) ( I + Δ ξ ∧ ) p − exp ⁡ ( ξ ∧ ) p Δ ξ = lim ⁡ Δ ξ → 0 exp ⁡ ( ξ ∧ ) Δ ξ ∧ p Δ ξ = lim ⁡ Δ ξ → 0 [ R t 0 1 ] [ Δ ϕ ∧ Δ ρ 0 T 0 ] p Δ ξ 把 p 前的 矩阵当做旋转矩阵,结合向量旋转的性质, = lim ⁡ Δ ξ → 0 [ R t 0 1 ] [ Δ ϕ ∧ p + Δ ρ 0 ] Δ ξ = lim ⁡ Δ ξ → 0 [ R Δ ϕ ∧ p + R Δ ρ 0 T ] [ Δ ρ , Δ ϕ ] T 将 Δ ρ , Δ ϕ 提出来,方便求导 根据 R p ∧ = ( R p ) ∧ R = lim ⁡ Δ ξ → 0 [ ( R Δ ϕ ) ∧ R p + R Δ ρ 0 T ] [ Δ ρ , Δ ϕ ] T = lim ⁡ Δ ξ → 0 [ − ( R p ) ∧ R Δ ϕ + R Δ ρ 0 T ] [ Δ ρ , Δ ϕ ] T = [ R − ( R p ) ∧ R 0 T 0 T ] \begin{align*}\frac{\partial(\bm{Tp})}{\partial{Δ\bm{\xi}}} &= \lim\limits_{Δ\bm{\xi}\to0}\frac{\exp(\bm{\xi}^{\land})\exp(Δ\bm{\xi}^{\land})\bm{p}-\exp(\bm{\xi}^{\land})\bm{p}}{Δ\bm{\xi}} \\ &= \lim\limits_{Δ\bm{\xi}\to0}\frac{\exp(\bm{\xi}^{\land})(\bm{I} +Δ\bm{\xi}^{\land})\bm{p}-\exp(\bm{\xi}^{\land})\bm{p}}{Δ\bm{\xi}} \\ &= \lim\limits_{Δ\bm{\xi}\to0}\frac{\exp(\bm{\xi}^{\land})Δ\bm{\xi}^{\land}\bm{p}}{Δ\bm{\xi}} \\ &=\lim\limits_{Δ\bm{\xi}\to0} \frac{\begin{bmatrix} \bm{R} & \bm{t}\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} Δ\bm{\phi}^{\land} & \Delta\bm{\rho}\\ \bm{0}^T & 0 \end{bmatrix}\bm{p}}{Δ\bm{\xi}}\\ 把\bm{p}前的&矩阵当做旋转矩阵,结合向量旋转的性质,\\ &=\lim\limits_{Δ\bm{\xi}\to0} \frac{\begin{bmatrix} \bm{R} & \bm{t}\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} Δ\bm{\phi}^{\land}\bm{p} + \Delta\bm{\rho}\\ 0 \end{bmatrix}}{Δ\bm{\xi}}\\ &=\lim\limits_{Δ\bm{\xi}\to0} \frac{\begin{bmatrix} \bm{R}\Delta\bm{\phi}^{\land}\bm{p}+ \bm{R}\Delta\bm{\rho}\\ \bm{0}^T \end{bmatrix}}{[Δ\bm{\rho},Δ\bm{\phi}]^T} \\ 将&Δ\bm{\rho},Δ\bm{\phi} 提出来,方便求导\\ & 根据 \bm{Rp^{\land}} = \bm{(Rp)}^{\land}\bm{R} \\ &=\lim\limits_{Δ\bm{\xi}\to0} \frac{\begin{bmatrix} (\bm{R}\Delta\bm{\phi})^{\land}\bm{R}\bm{p}+\bm{R}\Delta\bm{\rho}\\ \bm{0}^T \end{bmatrix}}{[Δ\bm{\rho},Δ\bm{\phi}]^T} \\ &=\lim\limits_{Δ\bm{\xi}\to0} \frac{\begin{bmatrix} -(\bm{R}\bm{p})^{\land}\bm{R}\Delta\bm{\phi}+ \bm{R}\Delta\bm{\rho}\\ \bm{0}^T \end{bmatrix}}{[Δ\bm{\rho},Δ\bm{\phi}]^T} \\ & = \begin{bmatrix} \bm{R} & -(\bm{R}\bm{p})^{\land}\bm{R} \\ \bm{0}^T & \bm{0}^T \end{bmatrix} \\ \end{align*} Δξ(Tp)p前的=Δξ0limΔξexp(ξ)exp(Δξ)pexp(ξ)p=Δξ0limΔξexp(ξ)(I+Δξ)pexp(ξ)p=Δξ0limΔξexp(ξ)Δξp=Δξ0limΔξ[R0t1][Δϕ0TΔρ0]p矩阵当做旋转矩阵,结合向量旋转的性质,=Δξ0limΔξ[R0t1][Δϕp+Δρ0]=Δξ0lim[Δρ,Δϕ]T[RΔϕp+RΔρ0T]Δρ,Δϕ提出来,方便求导根据Rp=(Rp)R=Δξ0lim[Δρ,Δϕ]T[(RΔϕ)Rp+RΔρ0T]=Δξ0lim[Δρ,Δϕ]T[(Rp)RΔϕ+RΔρ0T]=[R0T(Rp)R0T]
在这里插入图片描述
——————————————

√ 题8

cmake的 find_package指令:

官方文档

find_package(包名 版本 REQUIRED)

一些包需要 sudo make install后才能被找到

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

LaTex

在这里插入图片描述

$\mathfrak{g}$

g \mathfrak{g} g

$\mathbb{R}$

R \mathbb{R} R

$\times$

× \times ×

$\varphi$

φ \varphi φ

$\Phi$

Φ \Phi Φ

在这里插入图片描述

$\overset{\mathrm{def}}{=}$
$\xlongequal{def}$

= d e f \overset{\mathrm{def}}{=} =def
= d e f \xlongequal{def} def

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Neural Computation ( IF 3.278 ) 摘要&#xff1a; 在采集指纹图像数据库后&#xff0c;设计了一种用于指纹识别的神经网络算法。当给出一对指纹图像时&#xff0c;算法输出两个图像来自同一手指的概率估计值。在一个实验中&#xff0c;神经网络使用几百对图像进行训练&…...

ChatGPT推出全新功能,引发人工智能合成声音担忧|百能云芯

人工智能AI科技企业OpenAI公司25日宣布&#xff0c;其聊天应用程序ChatGPT如今具备「看、听、说」能力&#xff0c;至少能够理解口语、用合成语音回应并且处理图像&#xff1b;但专家忧心&#xff0c;以假乱真与深度伪造的乱象可能变本加厉。 国家广播公司新闻网(NBC News)报导…...

Java 实现遍历一个文件夹,文件夹有100万数据,获取到修改时间在2天之内的数据

目录 1 需求2 实现1&#xff08;第一种方法&#xff09;2 实现2 &#xff08;推荐使用这个&#xff0c;快&#xff09;3 实现3&#xff08;推荐&#xff09; 1 需求 现在有一个文件夹&#xff0c;里面会一直存数据&#xff0c;动态的存数据&#xff0c;之后可能会达到100万&am…...

持续集成部署-k8s-命令行工具:基础命令的使用

持续集成部署-k8s-命令行工具:基础命令的使用 1. 资源类型与别名2. 资源操作2.1 创建对象2.2 显示和查找资源2.3 更新资源2.4 修补资源2.5 编辑资源2.6 scale 资源2.7 删除资源3. 格式化输出1. 资源类型与别名 资源类型缩写别名clusterscomponentstatusescsconfigmapscmdaemon…...

使用python脚本的时间盲注完整步骤

文章目录 一、获取数据库名称长度二、获取数据库名称三、获取表名总长度四、获取表名五、获取指定表列名总长度六、获取指定表列名七、获取指定表指定列的表内数据总长度八、获取指定表指定列的表内数据 一、获取数据库名称长度 测试环境是bwapp靶场 SQL Injection - Blind - …...

C++项目:仿mudou库one thread one loop式并发服务器实现

目录 1.实现目标 2.HTTP服务器 3.Reactor模型 3.1分类 4.功能模块划分: 4.1SERVER模块: 4.2HTTP协议模块: 5.简单的秒级定时任务实现 5.1Linux提供给我们的定时器 5.2时间轮思想&#xff1a; 6.正则库的简单使用 7.通用类型any类型的实现 8.日志宏的实现 9.缓冲区…...

【算法训练-贪心算法 一】买卖股票的最佳时机II

废话不多说&#xff0c;喊一句号子鼓励自己&#xff1a;程序员永不失业&#xff0c;程序员走向架构&#xff01;本篇Blog的主题是【贪心算法】&#xff0c;使用【数组】这个基本的数据结构来实现&#xff0c;这个高频题的站点是&#xff1a;CodeTop&#xff0c;筛选条件为&…...

单阶段目标检测与双阶段目标检测的联系与区别

&#x1f680; 作者 &#xff1a;“码上有钱” &#x1f680; 文章简介 &#xff1a;AI-目标检测算法 &#x1f680; 欢迎小伙伴们 点赞&#x1f44d;、收藏⭐、留言&#x1f4ac;简介 双阶段目标检测算法与单阶段目标检测算法在工作原理和性能方面存在一些相似与差异之处。下…...

Mysql技术文档--设计表规范式-一次性扫盲

阿丹&#xff1a; 在设计表的时候经常出现一些问题&#xff0c;其实自己很清楚就是因为在设计表的时候没有规范。导致后期加表的时候出现了问题。所以趁着这个假期卷一卷。同时只有在开始的时候 几大范式 在关系型数据库中&#xff0c;数据表设计的基本原则、规则就称为范式。…...

python socket 传输opencv读取的图像

python socket网络编程 将ros机器人摄像头捕捉的画面在上位机实时显示&#xff0c;需要用到socket网络编程&#xff0c;提供了TCP和UDP两种方式 TCP服务器端代码: 创建TCP套接字: s socket(AF_INET, SOCK_STREAM) 创建了一个TCP套接字。SOCK_STREAM 表示这是一个TCP套接字&…...

APACHE NIFI学习之—UpdateAttribute

UpdateAttribute 描述: 通过设置属性表达式来更新属性&#xff0c;也可以基于属性正则匹配来删除属性 标签: attributes, modification, update, delete, Attribute Expression Language, state, 属性, 修改, 更新, 删除, 表达式 参数: 如下列表中&#xff0c;必填参数则…...

BIT-7文件操作和程序环境(16000字详解)

一&#xff1a;文件 1.1 文件指针 每个被使用的文件都在内存中开辟了一个相应的文件信息区&#xff0c;用来存放文件的相关信息&#xff08;如文件的名字&#xff0c;文件状态及文件当前的位置等&#xff09;。这些信息是保存在一个结构体变量中的。该结构体类型是有系统声明…...

冥想第九百二十八天

1.今天周三&#xff0c;今天晚上日语课上了好久&#xff0c;天气也不好&#xff0c; 2.项目上全力以赴的一天。 3.感谢父母&#xff0c;感谢朋友感谢家人&#xff0c;感谢不断进步的自己。...

深入浅出,SpringBoot整合Quartz实现定时任务与Redis健康检测(一)

目录 前言 环境配置 Quartz 什么是Quartz&#xff1f; 应用场景 核心组件 Job JobDetail Trigger CronTrigger SimpleTrigger Scheduler 任务存储 RAM JDBC 导入依赖 定时任务 销量统计 Redis检测 使用 ​编辑 注意事项 前言 在悦享校园1.0中引入了Quart…...

Lucene-MergePolicy详解

简介 该文章基于业务需求背景&#xff0c;因场景需求进行参数调优&#xff0c;下文会尽可能针对段合并策略&#xff08;SegmentMergePolicy&#xff09;的全参数进行说明。 主要介绍TieredMergePolicy&#xff0c;它是Lucene4以后的默认段的合并策略&#xff0c;之前采用的合并…...

数据的加解密

文章目录 分类特点业务的使用补充 分类 对称加密算法非对称加密算法 特点 对称加密算法 : 加密效率高 !加密和解密都使用同一款密钥 但是有一个问题 : 密钥如何从服务端发给客户端? (假如你直接先将密钥发给对方,要是在过程中被黑客技术破解了,那后面的消息也就泄漏了) (后…...

【Spring】更简单的读取和存储对象

更简单的读取和存储对象 一. 存储 Bean 对象1. 前置工作&#xff1a;配置扫描路径2. 添加注解存储 Bean 对象Controller&#xff08;控制器存储&#xff09;Service&#xff08;服务存储&#xff09;Repository&#xff08;仓库存储&#xff09;Component&#xff08;组件存储&…...

【LeetCode热题100】--108.将有序数组转换为二叉搜索树

108.将有序数组转换为二叉搜索树 给你一个整数数组 nums &#xff0c;其中元素已经按 升序 排列&#xff0c;请你将其转换为一棵 高度平衡 二叉搜索树。 高度平衡 二叉树是一棵满足「每个节点的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 」的二叉树。 二叉搜索树的中序遍历是升序…...

Redis学习笔记(下):持久化RDB、AOF+主从复制(薪火相传,反客为主,一主多从,哨兵模式)+Redis集群

十一、持久化RDB和AOF 持久化&#xff1a;将数据存入硬盘 11.1 RDB&#xff08;Redis Database&#xff09; RDB&#xff1a;在指定的时间间隔内将内存中的数据集快照写入磁盘&#xff0c;也就是行话讲的Snapshot快照&#xff0c;它恢复时是将快照文件直接读到内存里。 备份…...

【智能家居项目】裸机版本——设备子系统(LED Display 风扇)

&#x1f431;作者&#xff1a;一只大喵咪1201 &#x1f431;专栏&#xff1a;《智能家居项目》 &#x1f525;格言&#xff1a;你只管努力&#xff0c;剩下的交给时间&#xff01; 输入子系统中目前仅实现了按键输入&#xff0c;剩下的网络输入和标准输入在以后会逐步实现&am…...

[Linux]记录plasma-wayland下无法找到HDMI接口显示器的问题解决方案

内核&#xff1a;Linux 6.5.5-arch1-1 Plasma 版本&#xff1a;5.27.8 窗口系统&#xff1a;Wayland 1 问题 在前些时候置入了一块显示器&#xff0c;接口较多&#xff0c;有 HDMI 接口&#xff0c;type-C 接口。在 X11 中可以找到外接显示器&#xff0c;但是卡顿明显&#xf…...

【计算机网络】高级IO之select

文章目录 1. 什么是IO&#xff1f;什么是高效 IO? 2. IO的五种模型五种IO模型的概念理解同步IO与异步IO整体理解 3. 阻塞IO4. 非阻塞IOsetnonblock函数为什么非阻塞IO会读取错误&#xff1f;对错误码的进一步判断检测数据没有就绪时&#xff0c;返回做一些其他事情完整代码myt…...

如何设计一个高效的应用缓冲区【一个动态扩容的buffer类】

文章目录 前言一、为什么需要设计应用层缓冲区必须要有 output buffer目的问题output buffer的解决方案&#xff1a; 必须要有 input buffer总结 二、设计要点三、buffer设计思路基础函数关于iovec与readv readfd如何实现动态扩容 问题 前言 在上一个博客&#xff0c;我们介绍…...

图像处理初学者导引---OpenCV 方法演示项目

OpenCV 方法演示项目 项目地址&#xff1a;https://github.com/WangQvQ/opencv-tutorial 项目简介 这个开源项目是一个用于演示 OpenCV 方法的工具&#xff0c;旨在帮助初学者快速理解和掌握 OpenCV 图像处理技术。通过这个项目&#xff0c;你可以轻松地对图像进行各种处理&a…...

自己做网站和凡科的区别/青岛seo建站

名字 strstr, strcasestr - 在字符串中定位一个子串概要 #include <string.h>char *strstr(const char *haystack, const char *needle);char *strcasestr(const char *haystack, const char *needle); // 是GNU的扩展描述 strstr()函数在haysta…...

电商网站分析报告怎么做/去了外包简历就毁了吗

Nginx 升级版本或者重新编译增加参数这里我们重新编译下&#xff0c;增加nginx用户和组先创建用户#useradd nginx 开始编译#cd /usr/local/nginx-1.6.1#./configure --usernginx --groupnginx --prefix/usr/local/nginx --with-http_ssl_module --with-http_stub_status_module…...

wordpress开启raid/广告联盟有哪些平台

载着工匠精神和服务意识上路&#xff0c;企业才能驶向更光明的未来自行车为什么不会倒&#xff1f;这是一个隔一段时间就会有人问起的有趣问题。德国明斯特大学的一位教授&#xff0c;最近在一期德国广播节目中给出了解释。他将学骑自行车和幼年学步的平衡性进行对比&#xff0…...

青海公司网站建设哪家快/百度推广总部电话

第一步&#xff1a;安装vue-cli 3.0版本 npm install -g vue/cli第二步&#xff1a;创建vue项目 vue create my-project1⃣️ 选择自定义: Manually select features 2⃣️ 按上下键自由选择配置 &#xff0c;按空格键确定&#xff0c;所有都选择好后&#xff0c;按enter键进…...

直接在原备案号下增加新网站/营销网

有没有发现&#xff0c;最近学Python的程序员越来越多了&#xff0c;不少人开始把Python当做第一语言来学习。但结合我最近这些年Python的学习、开发经验&#xff0c;发现超90%的人在初学Python时都可能会遇到下面这些问题&#xff1a; 应用方向太多了&#xff0c;完全不知道怎…...

app界面设计欣赏网站/推广普通话绘画

The information in this article applies to:- Microsoft SQL Server 7.0,2000数据库日志文件丢失时的恢复步骤Revision History:VersionDateCreatorDescription1.0.0.12003-3-25郑昀草稿 Implementation Scope&#xff1a;本文是用于向Microsoft SQL Server维护人员描述我误删…...