2.证明 非单一点 Oct.2023

原题

已知等边$\Delta P_0{P}_1{P}_2$，它的外接圆是$O$，设$O$的半径是$R$。同时，设$\Delta P_0{P}_1{P}_2$所经过的所有点的集合是$S_0$。显然，$S_0$中有无限个元素。

接下来，在$O$上取点$P_3,P_4,P_5$，使得四边形$P_0{P}_3{P}_4{P}_5$是正四边形。记这个四边形经过的所有点的集合为$S_1$。

接下来，在$O$上取点$P_6,P_7,P_8,P_9$，使得五边形$P_0{P}_6{P}_7{P}_8{P}_9$是正五边形。记这个五边形的点集为$S_2$。

中间省略$n-2$次操作。

最后，在$O$上取点${\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3,...,{\delta }_n$，使得$n+1$边形$P_0{\delta }_1{\delta }_2{\delta }_3...{\delta }_n$是正$n+1$边形。

记所有$P_0{\delta }_1{\delta }_2{\delta }_3...{\delta }_n$上的非单一点的集合为$W^{\prime }$。

非单一点的定义是：

• 对于每一个点，$S_0,S_1,...,S_{n-1}$中任意一个集合包含了它

• 设这个点的坐标是$x,y$，则$x,y$满足$x^2+y^2=R^2$

显然，$P_0$是一个非单一点。

记$W^{\prime }$中元素的个数为$L^{\prime }$。

回答下列问题：

（1）当$n=9$时，求$L^{\prime }$；

（2）当$n=99$时，求$L^{\prime }$；

（3）证明或证伪：$n$有无限种取值方法，使得$L^{\prime }=1$；

（4）求$2^{1.048576\times 10^6}$边形与$3^{3^{27}}$的公共点数。

（5）证明或证伪：并非对于所有的$n=2^{2^x}$，都存在$L^{\prime }=1$。

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解

让我们先单独讨论$M$边形的情况。

不妨设$M$边形的$M$个点分别为$P_0,P_1,...,P_{M-1}$，且外接圆心为$O$，半径为$R$。

定义$\angle P_{i}O{P}_0={\theta }_i$，设$P_0(R,0)$。

则有${\theta }_i=\frac{2\pi i}{M}$。

那么我们可以求出
$$\begin{gathered} P_i(x_i,y_i) \\ {x}_i=R\cos {\theta }_i, \\ {y}_i=R\sin {\theta }_i. \end{gathered}$$
那么我们回到原题。

由于非单一点的第二个条件，我们得知它在圆$O$上。

不妨设$N$边形（$N=n+1$）的第$i$个点与$K$边形的第$j$个点重合。

那么我们有：
$$\begin{gathered} {\theta }_i={\theta }_j+2k\pi \\ \frac{2\pi i}{N}=\frac{2\pi j}{K}+2k\pi ,1\le j<K<N,i<N \\ \frac{i}{N}=\frac{j}{K}+k \\ \because 0\le \frac{i}{N}<1,0\le \frac{j}{K}<1 \\ \therefore k=0 \\ \therefore jN=iK,i=j\frac{N}{K} \end{gathered}$$
例如，当$n=9$时，$N=n+1=10$，符合的结果有：
$$\begin{gathered} i=0,choosej=0 \\ i=1,NoWay \\ i=2,choosej=1,K=5 \\ i=3,NoWay \\ i=4,choosej=2,K=5 \\ i=5,choosej=2,K=4 \\ i=6,choosej=3,K=5 \\ i=7,NoWay \\ i=8,choosej=4,K=5 \\ i=9,NoWay \end{gathered}$$
第一问答案为$6$。

假设$N={\beta }_1^{{\alpha }_1}{\beta }_2^{{\alpha }_2}...{\beta }_n^{{\alpha }_n},{\beta }_i<{\beta }_{j}wheni\le j,$且${\beta }_i$为质数。

显然$i=pM$，且$M={\beta }_i{\beta }_j...$（${\beta }_i$可能与${\beta }_j,...$相等）

则有$j=p,K=\frac{N}{M}$。

显然$K<N$，那么只需得$p<\frac{N}{M}$。

对于$N=100$的情况，

$N=2^2\cdot 5^2=2\cdot 2\cdot 5\cdot 5$
$$\begin{gathered} i= \\ 1\times 2=2, \\ 2\times 2=4, \\ ..., \\ 49\times 2=98. \\ 1\times 5=5, \\ 2\times 5=10, \\ ..., \\ 19\times 5=95. \end{gathered}$$

在这些点中，有$9$种重复的情况。因此得到结果为$49+19-9+1=60$种。（还要加上$P_0$）

总结规律，发现实质上就是求$N$所有的不与它互质且小于它自己的数。注意$N>4$，因为图里面没有二边形

那么对于每一个质数，显然$L^{\prime }$只能为$1$。而质数有无限个，那么第三问得证。

对于第四问，显然这两个数互质，没有重复的点。

对于第五问，存在许多反例，其中一个就是$n=5$，此时的$N$不是质数，则必定存在除$P_0$外的非单一点。

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引申出的编程问题

Non-Single Points
如下。

非单一点

题目描述

已知等边$\Delta P_0{P}_1{P}_2$，它的外接圆是$O$，设$O$的半径是$R$。同时，设$\Delta P_0{P}_1{P}_2$所经过的所有点的集合是$S_0$。显然，$S_0$中有无限个元素。

接下来，在$O$上取点$P_3,P_4,P_5$，使得四边形$P_0{P}_3{P}_4{P}_5$是正四边形。记这个四边形经过的所有点的集合为$S_1$。

接下来，在$O$上取点$P_6,P_7,P_8,P_9$，使得五边形$P_0{P}_6{P}_7{P}_8{P}_9$是正五边形。记这个五边形的点集为$S_2$。

中间省略$n-2$次操作。

最后，在$O$上取点${\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3,...,{\delta }_n$，使得$n+1$边形$P_0{\delta }_1{\delta }_2{\delta }_3...{\delta }_n$是正$n+1$边形。

记所有$P_0{\delta }_1{\delta }_2{\delta }_3...{\delta }_n$上的非单一点的集合为$W^{\prime }$。

非单一点的定义是：

• 对于每一个点，$S_0,S_1,...,S_{n-1}$中任意一个集合包含了它

• 设这个点的坐标是$x,y$，则$x,y$满足$x^2+y^2=R^2$

显然，$P_0$是一个非单一点。

记$W^{\prime }$中元素的个数为$L^{\prime }$。

输入格式

$T$组数据。

每一组数据只有一行，输入$n$。

输出格式

$T$行，按顺序输出每个样例的$L^{\prime }$。

样例 #1

样例输入 #1

1
9

样例输出 #1

6

提示

对于$100\%$的数据，有$7<n<5\times 10^6$，$1\le T<5\times 10^6$。

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题解

传送门
如下。

题目

传送门

正解

单独讨论$M$边形的情况。

不妨设$M$边形的$M$个点分别为$P_0,P_1,...,P_{M-1}$，且外接圆心为$O$，半径为$R$。

定义$\angle P_{i}O{P}_0={\theta }_i$，设$P_0(R,0)$。

则有${\theta }_i=\frac{2\pi i}{M}$。

那么我们可以求出
$$P_i(x_i,y_i)$$
$$x_i=R\cos {\theta }_i,$$
$$y_i=R\sin {\theta }_i.$$

那么我们回到原题。

由于非单一点的第二个条件，我们得知它在圆$O$上。

不妨设$N$边形（$N=n+1$）的第$i$个点与$K$边形的第$j$个点重合。

那么我们有：
$${\theta }_i={\theta }_j+2k\pi$$
$$\frac{2\pi i}{N}=\frac{2\pi j}{K}+2k\pi ,1\le j<K<N,i<N$$
$$\frac{i}{N}=\frac{j}{K}+k$$
$$\because 0\le \frac{i}{N}<1,0\le \frac{j}{K}<1$$
$$\therefore k=0$$
$$\therefore jN=iK,i=j\frac{N}{K}$$

例如，当$n=9$时，$N=n+1=10$，符合的结果有：

$$i=0,choosej=0$$
$$i=1,NoWay$$
$$i=2,choosej=1,K=5$$
$$i=3,NoWay$$
$$i=4,choosej=2,K=5$$
$$i=5,choosej=2,K=4$$
$$i=6,choosej=3,K=5$$
$$i=7,NoWay$$
$$i=8,choosej=4,K=5$$
$$i=9,NoWay$$

样例答案为$6$。

假设$N={\beta }_1^{{\alpha }_1}{\beta }_2^{{\alpha }_2}...{\beta }_n^{{\alpha }_n},{\beta }_i<{\beta }_{j}wheni\le j,$且${\beta }_i$为质数。

显然$i=pM$，且$M={\beta }_i{\beta }_j...$（${\beta }_i$可能与${\beta }_j,...$相等）

则有$j=p,K=\frac{N}{M}$。

显然$K<N$，那么只需得$p<\frac{N}{M}$。

那么我们就能发现非单一点的数量$L^{\prime }$实质上是所有小于$N$且不与$N$互质的数字的数量再加一。

统计与$N$互质的数字可以借助于欧拉函数。
介绍

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = (int)5e6;
int a[N];
inline void read(int &x) {  // 返回类型必须为void，否则竞赛中Linux测评会报错，Windows没事x = 0;short flag = 1;char c = getchar();while(c < '0' || c > '9'){// 此处如果只用if的话容易在数据不规范时出错，特别是cin和read混用if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);  // 48这个数字恰好往后10个数都可以使用位运算，可以写成二进制证明；位运算能用当然更好c = getchar();}x *= flag;
}
/* 
inline int read()
{int X = 0, w = 0; char ch = 0;while (!isdigit(ch)) { w |= ch == '-'; ch = getchar(); }while (isdigit(ch)) X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();return w ? -X : X;
}
*/ inline void write(int x)
{if (x < 0) putchar('-'), x = -x;if (x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');
}void phi_table()    //打表，求出1500000中所有的数的欧拉函数值
{memset(a,0,sizeof(a));a[1]=1;for(register int i=2;i<=N;++i)if(!a[i]){for(register int j=i;j<=N;j+=i){if(!a[j])a[j]=j;a[j]=a[j]/i*(i-1);}}
}
int main(){int T,n;read(T);phi_table();while (T--) {read(n);write(n+1-a[n+1]);putchar('\n');}return 0;
}