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动态规划14：一和零

题目

474. 一和零

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 1：

输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例 2：

输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。

提示：

• 1 <= strs.length <= 600
• 1 <= strs[i].length <= 100
• strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
• 1 <= m, n <= 100

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解题思路-五部曲

首先我们先把题型给确定了，这不是多重背包，实质还是01背包

多重背包是每个物品，数量不同的情况。

本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！

而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。

理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。

但本题其实是01背包问题！

只不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。

1. 确定dp数组含义：dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。

2. 确定递推公式：dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

   dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。

   dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。

   然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。

   所以递推公式：dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

   此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

   对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。

   这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。

3. dp数组初始化：因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

4. 确定遍历顺序：先物后包，包要倒序，两种维度的顺序不用在意

5. debug：打印dp数组

代码示例

class Solution {public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];dp[0][0] = 0;//通过给的答案，是不考虑空集的for(String str : strs) {char[] cArr = str.toCharArray();int m0 = 0;//本字符串的0的数量int n1 = 0;//本字符串的1的数量for(char c : cArr) {if(c == '0') m0++;else n1++;}for(int i = m; i >= m0; i--) {for(int j = n; j >= n1; j--) {dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - m0][j - n1] + 1);}}}return dp[m][n];}
}

• 时间复杂度: O(kmn)，k 为strs的长度
• 空间复杂度: O(mn)

总结

不少同学刷过这道题，可能没有总结这究竟是什么背包。

此时我们讲解了0-1背包的多种应用，

• 纯 0 - 1 背包是求 给定背包容量 装满背包 的最大价值是多少。
• 416. 分割等和子集 是求 给定背包容量，能不能装满这个背包。
• 1049. 最后一块石头的重量 II 是求 给定背包容量，尽可能装，最多能装多少
• 494. 目标和是求 给定背包容量，装满背包有多少种方法。
• 本题是求 给定背包容量，装满背包最多有多少个物品。

这些都是 0-1背包不同维度上的应用，大家可以细心体会！