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一、背包问题

1. 背包问题简介

• 背包问题可以理解为，给定一个背包容量 target，再给定一个数组 nums（用以表示物品），能否按一定方式选取 nums 中的元素得到 target。
• 这里需要注意的有以下几点：
• （1） 背包容量 target 和物品 nums 的类型可能是数，也可能是字符串。
• （2） target 可能题目已经给出（显式），也可能是需要我们从题目的信息中挖掘出来（非显式）（常见的非显式 target 比如 sum/2 等）。
• （3） 选取方式有常见的一下几种：每个元素选一次/每个元素选多次/选元素进行排列组合 那么对应的背包问题就是下面我们要讲的背包分类。
• 背包问题主要可以分为四类，分别是：01 背包问题，完全背包问题，多重背包问题和分组背包问题。
• （1） 01 背包问题
• 01 背包问题是一种非常经典的背包问题。
• 01 背包问题主要是给定一个背包容量 $V$，再给定 $N$ 件物品，每个物品有两种属性，分别是体积 $v_i$ 和价值（权重） $w_i$，每件物品最多可以使用一次（即不是 0 次就是 1 次两种选择）。
• 问题是要在背包能装下的情况下，所挑出的物品总价值最大。
• （2） 完全背包问题
• 完全背包问题每件物品有无限个，只要背包的体积够用，就可以无限装同一个物品。
• （3） 多重背包问题
• 每个物品最多有 $s_i$ 个，包含一个朴素版和优化版。
• （4） 分组背包问题
• 有 $N$ 组物品，每一组物品有若干个，每组物品当中只可以选一个，在此限制条件下求物品的最大价值。
• 上述的四种问题都是在背包体积足够的情况下，求解所能容纳物品的最大价值，这里需要注意的是，背包不一定非要装满。

2. 背包问题解决方法

• 对于上述问题，我们常使用动态规划解决此类问题。
• 动态规划总共包括两大部分，分别是状态表示（判断是几维，两维就是 $f(i,j)$，每一个状态的含义是什么）和状态计算（如何计算出每一个 $f(i,j)$）。
• 动态规划的优化通常都是对代码或者计算方程进行等价变化。
• $f(i,j)$ 表示的选择方法只指从前 $i$ 个物品中选和总体积不超过 $j$。
• 状态表示可分为集合（每一个状态表示的都是一个集合）和属性（包括最大值，最小值，元素的数量，我们的背包问题就是属性当中的最大值）。
• 状态计算对应的是集合的划分（每一个元素当前只会属于一个集合，每一个元素都存在），将 $f(i,j)$ 划分为若干个子集和，每一个子集合都可以由更小的子集合表示。

二、01 背包问题

题目描述

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。
第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，$N$，$V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V\le 1000$
$0<v_i,w_i\le 1000$

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

8

具体实现

1. 实现思路

• 01 背包问题的集合划分是一种非常经典的划分方法，可整体划分为两部分，不包含 $i$ 和包含 $i$。
• 不包含 $i$ 可以理解为，从 $1到i-1$ 当中选取物品，总体积不大于 $j$，该集合的最大值就是 $f(i-1,j)$。
• 包含 $i$ 可以理解为，从 $1到i$ 当中选取物品，总体积不大于 $j$，该集合的最大值直接求取的困难很大，我们可以曲线救国，先将所有选法当中的第 $i$ 个物品去掉（最大的那部分是依旧是最大的），便转换为从 $1到i-1$ 当中选取物品，总体积不大于 $j-v_i$，此时所有选法的最大值就是 $f(i-1,j-v_i)$，但由于我们去掉过第 $i$ 个物品，因此，原本的最大值就是 $f(i-1,j-v_i)+w_i$。
• 那么，最后所有的最大值就是 $max(f(i-1,j),f(i-1,j-v_i)+w_i)$。
• 上述采用的是二维实现方法，对此，可以使用滚动数组将二维降阶为一维。

2. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1010;//n, m表示物品种数和背包体积
int n, m;
//v[N], w[N]表示物品的体积和价值
int v[N], w[N];
//f[N][N]表示总价值
int f[N][N];int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){cin >> v[i] >> w[i];}//二维实现方法for (int i = 1; i <= n; i ++ ){for (int j = 0; j <= m; j ++ ){f[i][j] = f[i - 1][j];if (j >= v[i]) //如果可以装下当前第i个物品{f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);}}}            cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

三、完全背包问题

题目描述

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 $i$ 种物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，$N$，$V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V\le 1000$
$0<v_i,w_i\le 1000$

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

10

具体实现

1. 实现思路

• 完全背包问题和 01 背包问题的区别在于完全背包问题当中的物品可以被选择无数次。
• 完全背包问题可以选择使用一维或二维进行解决，如果直接使用与 01 背包问题相同的方法是三个 for 循环，此时会超时，就需要进行优化。
• 那么，$f[i]$ 就表示体积是 $i$ 的情况下，最大价值是多少（状态表示）。
• $f[0\dots \dots m]$ 当中的最大值就是我们所求的结果。

2. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1010;//n, m表示物品数量和背包体积
int n, m;
//v[N], w[N]表示物品的体积和价值
int v[N], w[N];
//f[N]表示总价值
int f[N];int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){cin >> v[i] >> w[i];}for (int i = 1; i <= n; i ++ ){for (int j = v[i]; j <= m; j ++ ){f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);}}cout << f[m] << endl;return 0;
}

四、多重背包问题（一）

题目描述

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包。
第 $i$ 种物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，$N$，$V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V\le 100$
$0<v_i,w_i,s_i\le 100$

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例

10

具体实现

1. 实现思路

• 多重背包问题与上述两种背包问题的区别在于每个物品最多有 $s_i$ 个。
• 此题与 01 背包问题基本相同。

2. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 110;//n, m表示物品种数和背包体积
int n, m;
//v[N], w[N]，s[N]表示物品的体积，价值，数量
int v[N], w[N], s[N];
//f[N][N]表示价值
int f[N][N];int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];}for (int i = 1; i <= n; i ++ ）{for (int j = 0; j <= m; j ++ ){for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++ ){f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);}}}cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

五、多重背包问题（二）

题目描述

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包。
第 $i$ 种物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，$N$，$V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N\le 1000$
$0<V\le 2000$
$0<v_i,w_i,s_i\le 2000$

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例

10

具体实现

1. 实现思路

• 多重背包问题（二）与多重背包问题（一）的区别在于（二）的数据范围进行了扩大，如果直接暴力做法会导致超时，因此，需要进行优化。
• 由于（一）当中的做法与 01 背包问题基本相同，所以，我们只需要对与 01 背包问题相同的那一段进行优化。
• 这里引入二进制优化方法（用二进制表示十进制）。
• 举例说明，如果我们要从 0 枚举到 1023，十进制的做法需要我们枚举 1023 次，如果采用二进制做法，我们需要将 1023 分成十组，分别是 1，2，4，8，16，32，64，128，256 和 512，我们在这十组数字当中，每组任意取出一个数字，组合起来就可以得到 0 到1023 当中的任何数字，此时，我们只需要枚举 10 次即可。

2. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 12010, M = 2010;//n，m表示物品种数和背包容积
int n, m;
//v[N], w[N]表示每组物品的总体积和总价值
int v[N], w[N];
//f[M]表示价值
int f[M];int main()
{cin >> n >> m;//二进制枚举int cnt = 0;//将物品重新分组后的顺序for (int i = 1; i <= n; i ++ ){//a, b, s表示是每种物品的体积、价值和数量。int a, b, s;cin >> a >> b >> s;int k = 1; //二进制拆分，打包时每组中有 k 个同种物品while (k <= s) //最后一组的物品个数 < 2^(n+1)   1 2 4 8 16 ... 2^n 2^(n+1){cnt ++ ;v[cnt] = a * k;// 每组的体积w[cnt] = b * k;// 每组的价值s -= k; //得到剩余的物品数量k *= 2;// 注意是 k * 2，每次增长一倍，不是k * k}if (s > 0)// 二进制拆分完之后 剩下的物品个数分为新的一组{cnt ++ ;v[cnt] = a * s;w[cnt] = b * s;}}n = cnt; //将所得组数赋值给物品种数for (int i = 1; i <= n; i ++ ){for (int j = m; j >= v[i]; j -- ){f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);}}cout << f[m] << endl;return 0;
}

六、分组背包问题

题目描述

有 $N$ 组物品和一个容量是 $V$ 的背包。
每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 $v_{ij}$，价值是 $w_{ij}$，其中 $i$ 是组号，$j$ 是组内编号。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 $N$，$V$，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。
接下来有 $N$ 组数据：

• 每组数据第一行有一个整数 $S_i$，表示第 $i$ 个物品组的物品数量；
• 每组数据接下来有 $S_i$ 行，每行有两个整数 $v_{ij},w_{ij}$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 个物品组的第 $j$ 个物品的体积和价值；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V\le 100$
$0<Si\le 100$
$0<v_{ij},w_{ij}\le 100$

输入样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例

8

具体实现

1. 实现思路

• 分组背包问题是指我们有 $N$ 组物品，每组物品当中有若干个物品，每个物品的体积和价值各有不同，每组物品当中最多只能选一个（可以不选）。

2. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 110;//n，m表示物品组数和背包容积
int n, m;
//v[N][N], w[N][N], s[N]表示物品的体积，价值和数量
int v[N][N], w[N][N], s[N];
//f[N]表示总价值
int f[N];int main()
{cin >> n >> m;//每组物品的数据进行读入for (int i = 1; i <= n; i ++ ){cin >> s[i];for (int j = 1; j < s[i]; j ++ ){cin >> v[i][j] >> w[i][j];}}for (int i = 1; i <= n; i ++ ){for (int j = m; j >= 0; j -- ){for (int k = 0; k < s[i]; k ++ ){if (v[i][k] <= j){f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);}}}}cout << f[m] << endl;return 0;
}