二叉树（进阶）

1.内容安排说明

二叉树在前面c数据结构阶段；已经讲过了；本节取名二叉树进阶的原因是：
1.map和set特性需要先铺垫二叉搜索树 ，而二叉搜索树也是一种树形结构；
2. 二叉搜索树的特性了解，有助于更好的理解map和set的特性
3. 二叉树中部分面试题稍微有点难度，在前面讲解大家不容易接受，且时间长容易忘
4. 有些OJ题使用C语言方式实现比较麻烦，比如有些地方要返回动态开辟的二维数组，非常麻烦。

因此本节借二叉树搜索树，对二叉树部分进行收尾总结。

2. 二叉搜索树

2.1二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
1.若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值；
2.若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值；
3.它的左右子树也分别为二叉搜索树

2.2二叉搜索树的实现

#pragma once
#include <iostream>
using namespace std;
template <class K>
struct BSTreeNode
{BSTreeNode<K>* _left;BSTreeNode<K>* _right;K _key;BSTreeNode(const K& key):_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key){}};
template <class K>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K> Node;
public:void Swap(Node* a, Node* b){Node s = *a;*a = *b;*b = s;}//出先两个函数的原因是：这里使用了递归；递归需要使用递归类控制循环次数；所以使用类get函数进行调用；bool Find(const K& key){return _Find(_root, key);}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}bool Insert(const K& key){return _Insert(_root, key);}bool Erase(const K& key){return _Erase(_root, key);}~BSTree(){Destroy(_root);}BSTree(){}BSTree(const BSTree<K>& t ){_root = Copy(t._root);}BSTree<K>& operator = (const BSTree<K> t){swap(_root,t._root);return *this;}private:Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr){return nullptr;}Node* newRoot = new Node(root->_key);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}bool _Find(Node* root, const K& key){if (root == nullptr){return false;}else{if (key > root->_key){_Find(root->_right, key);}else if (key < root->_key){_Find(root->_left, key);}else{return true;}}}bool _Insert(Node*& root, const K& key){if (root == nullptr){root = new Node(key);return true;}if (key > root->_key){_Insert(root->_right, key);}else if (key < root->_key){_Insert(root->_left, key);}else{return false;}}bool _Erase(Node*& root, const K& key){if (root == nullptr){return false;}else{if (key > root->_key){return _Erase(root->_right, key);}else if (key < root->_key){return _Erase(root->_left, key);}else{if (root->_right == nullptr){Node* n = root;root = root->_left;delete n;return true;}else if (root->_left == nullptr){Node* n = root;root = root->_right;delete n;return true;}else{Node* cur = root->_left;while (cur->_right){cur = cur->_right;}swap(cur->_key, root->_key);return _Erase(_root->_right, key);}}}}void Destroy(Node*& root){if (root == nullptr){return;}Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;root = nullptr;}private:Node* _root = nullptr;
};

2.3二叉树的性能：

二叉树的时间复杂度：这里的是时间复杂度测量的是查找的时间复杂度；原因：删除和添加都修要使用查找哦来进行；
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为：$lo{g}_{2}N$
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为：$\frac{N}{2}$

搜索二叉树的应用

k 模型

定义：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到
的值。
例子

比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：

• 以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
• 在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。

kv模型

定义：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：

• 比如：英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
• 再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。

// 改造二叉搜索树为KV结构
template<class K, class V>
struct BSTNode{BSTNode(const K& key = K(), const V& value = V()): _pLeft(nullptr) , _pRight(nullptr), _key(key), _Value(value){}BSTNode<T>* _pLeft;BSTNode<T>* _pRight;K _key;V _value};
template<class K, class V>
class BSTree{typedef BSTNode<K, V> Node;typedef Node* PNode;
public:BSTree(): _pRoot(nullptr){}PNode Find(const K& key);bool Insert(const K& key, const V& value)bool Erase(const K& key)
private:PNode _pRoot;
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2.5 二叉搜索树的性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。};
void TestBSTree3()
{// 输入单词，查找单词对应的中文翻译BSTree<string, string> dict;dict.Insert("string", "字符串");dict.Insert("tree", "树");dict.Insert("left", "左边、剩余");dict.Insert("right", "右边");dict.Insert("sort", "排序");// 插入词库中所有单词string str;while (cin>>str){BSTreeNode<string, string>* ret = dict.Find(str);if (ret == nullptr){cout << "单词拼写错误，词库中没有这个单词:" <<str <<endl;}else{cout << str << "中文翻译:" << ret->_value << endl;}}
}
void TestBSTree4()
{// 统计水果出现的次数string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", 
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };BSTree<string, int> countTree;for (const auto& str : arr){// 先查找水果在不在搜索树中// 1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果, 1>// 2、在，则查找到的节点中水果对应的次数++//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);auto ret = countTree.Find(str);if (ret == NULL){countTree.Insert(str, 1);}else{ret->_value++;}}countTree.InOrder();
}

搜索二叉树的实现和应用源码