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一.引例(哥尼斯堡七桥问题)
哥尼斯堡七桥问题是指在哥尼斯堡市(今属俄罗斯)的普雷格尔河(Pregel River)中,是否可以走遍每座桥一次且仅一次,最后回到起点的问题。这个问题被认为是图论的开端,也是数学史上著名的问题之一。
欧拉在解决这个问题时,将问题转化为了图论中的欧拉回路问题。他证明了如果一个图中有欧拉回路,那么这个图中每个顶点的度数都是偶数。反之,如果每个顶点的度数都是偶数,那么这个图中就存在欧拉回路。
因此,哥尼斯堡七桥问题的答案是否定的,因为哥尼斯堡的地图中有两个岛屿,这两个岛屿与其他地区相连的桥的数量都是奇数,因此这个图中不存在欧拉回路。
二.图的逻辑结构
1.图的定义
图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的几何组成。
通常表示为:G=(V,E)
注:
1)G表示一个图
2)V是图G中顶点的集合
3)E是图G中顶点之间边的集合
4)在线性表中,元素的个数可以为0,称之为空表;在树中,元素的个数可以为0,称之为空树;但是在图中,顶点个数不能为0,可以没有边。
2.有向图与无向图
若顶点vi和vj之间的边没有方向,则称这条边为无向边,表示为(vi,vj)
如果图的任意两个顶点之间的边都是无向边,则称该图为无向图。
若顶点vi和vj之间的边有方向,则称这条边为有向边,表示为<vi,vj>
如果图的任意两个顶点之间的边都是有向边,则称该图为有向图。
3.图的基本术语
1)简单图
在图中,若不存在顶点到自身的边,且同一条边不重复出现。
注:数据结构中讨论的都是简单图
2)邻接/依附
无向图中,对于任意两个顶点vi和vj,若存在边(vi,vj),则称顶点vi和顶点vj互为邻接点,同时称边(vi,vj)依附于顶点vi和顶点vj。
有向图中,对于任意两个顶点vi和vj,若存在弧<vi,vj>,则称顶点vi邻接到顶点vj,顶点vj邻接自顶点vi,同时称弧<vi,vj>依附于顶点vi和顶点vj。
3)无向完全图/有向完全图
无向完全图:
在无向图中,如果任意两个顶点之间都存在边,则称该图为无向完全图。
含有n个顶点的无向完全图中边的个数:
n*(n-1)/2
有向完全图:
在有向图中,如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧,则称该图为有向完全图。
含有n个顶点的有向完全图中边的个数:
n*(n-1)
4)稀疏图/稠密图
稀疏图:边数很少的图
稠密图:边数很多的图
5)度
无向图:TD(v)
入度:ID(v)
出度:OD(v)
6)度与边数的关系
所有顶点的度之和=边数*2
入度=出度=边数
7)权/网
权:对边赋予的有意义的数值量
(从一个顶点到另一个顶点所需要付出的代价)
网:边上带权的图
8)路径长度
非带权图:边的个数
带权图:各边权之和
9)简单回路
除了第一个顶点和最后一个顶点外,其余顶点不重复出现的回路。
10)连通图
图中任意两个顶点都是联通的
11)连通分量
非连通图的极大连通子图
12)强连通图
在有向图中,堆图中任意一对顶点vi和vj(i!=j),若从顶点vi到顶点vj和从顶点vj到顶点vi均有路径
13)生成树
n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图
含有n-1条边
生成树不是唯一的
14)生成森林
在非连通图中,由每个连通分量都可以得到一棵生成树,这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。
4.不同结构中逻辑关系的对比
在线性结构中,数据元素之间仅具有线性关系。
在树结构中,结点之间具有层次关系。
在图结构中,任意两个顶点之间都可能有关系。
在线性结构中,元素之间的关系为前驱和后继。
在树结构中,结点之间的关系为双亲和孩子。
在图结构中,顶点之间的关系为邻接。
三.图的抽象数据类型定义
ADT Graph
Data
顶点的有穷非空集合和边的集合
Operation
初始
销毁
深度优先搜索
广度优先搜索
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