数据结构与算法——4时间复杂度分析2（常见的大O阶）

这篇文章是时间复杂度分析的第二篇。在前一篇文章中，我们从0推导出了为什么要用时间复杂度，时间复杂度如何分析以及时间复杂度的表示三部分内容。这篇文章，是对一些常用的时间复杂度进行一个总结，相当于是一个小结论

1.常见的大O阶

1.1线性阶

一般含有非嵌套循环（就是单层循环）涉及线性阶，线性阶就是随着输入规模的扩大，对应计算次数呈直线增长，例如下面的代码：

public static void main(String[] args) {int sum = 0;int n = 100;for (int i = 1; i <=n ; i++) {sum += i;}System.out.println("sum="+sum);}

上面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码需要执行n次

1.2平方阶

一般嵌套循环（就是双层循环）属于这种时间复杂度

    public static void main(String[] args) {int sum = 0;int n = 100;for (int i = 1; i <=n ; i++) {for (int j = 1; j <=n ; j++) {sum += i;}}System.out.println("sum="+sum);}

上面这段代码，n=100，也就是说，外层循环每执行一次，内层循环就执行100次，那总共程序想要从这两个循环中出来，就需要执行100*100次，也就是n的平方次，所以这段代码的时间复杂度是O(n^2)

1.3立方阶

一般三层嵌套循环属于这种时间复杂度

public static void main(String[] args) {int x = 0;int n = 100;for (int i = 1; i <=n ; i++) {for (int j = 1; j <=n ; j++) {for (int k = 1; k <=n ; k++) {x ++; }}}System.out.println("x="+x);}

上面这段代码，n=100，也就是说，外层循环每执行一次，中间循环循环就执行100次，中间循环每执行一次，最内层循环需要执行100次，那总共程序想要从这三个循环中出来，就需要执行100*100*100次，也就是n的立方，所以这段代码的时间复杂度是O(n^3)

1.4对数阶

对数，属于高中数学的内容，我们分析程序以程序为主，数学为辅，所以不用过分担心。

    public static void main(String[] args) {int i = 0;int n = 100;while (i<n){i = i*2;}System.out.println("i="+i);}

分析：

由于每次i*2之后，就距离n更近一步。我们假设有x个2相乘后大于n，那么x个2相乘后就会退出循环。那么就有公式：2^x=n，得到x=log(2)n。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)；

问：为什么底数可以忽略？
答：对于对数阶，由于随着输入规模n的增大，不管底数为多少，他们的增长趋势是一样的，所以我们会忽略底数。（其实就是找输入规模n与执行次数之间的抽象关系，抓取主要的，忽略次要的）

下面给出表和图，可以体会一下增长趋势：

 

1.5常数阶

一般不涉及循环操作的都是常数阶，因为它不会随着n的增长而增加操作次数。例如︰

 public static void main(String[] args) {int n = 100;int i = n+2;System.out.println("i="+i);}

上述代码，不管输入规模n是多少，都执行2次，根据大O推导法则，常数用1来替换，所以上述代码的时间复杂度为O(1)

1.6小结

下面是对常见时间复杂度的一个总结：

他们的时间复杂度从高到低依次是：

                O(1)<O( log(n) )<O(n)<O(n*log(n))<O(n^2)<O(n^3) 

根据前面的折线图分析，我们会发现，从平方阶开始，随着输入规模的增大，时间成本会急剧增大，所以，我们的算法，尽可能的追求的是O(1)，O(log(n))，O(n),O(n^log(n))这几种时间复杂度，而如果发现算法的时间复杂度为平方阶、立方阶或者更复杂的，那我们可以分为这种算法是不可取的，需要优化。

2.函数调用的时间复杂度分析

之前，我们分析的都是单个函数内，算法代码的时间复杂度，接下来我们分析函数调用过程中时间复杂度。

2.1几个案例

 案例一：

public static void main(String[] args) {int n = 100;for (int i = 0; i < n; i++) {show(i);}}public static void show(int i){System.out.println(i);}

在main方法中，有一个for循环，循环体调用了show方法，由于show方法内部只执行了一行代码，所以show的时间复杂度为O(1)，那main方法的时间复杂度就是O(n)

案例二：

public static void main(String[] args) {int n = 100;for (int i = 0; i < n; i++) {show(i);}}public static void show(int i){for (int j = 0; j < i; j++) {System.out.println(i);}}

在main方法中，有一个for循环，循环体调用了show方法，由于show方法内部也有一个for循环，所以show方法的时间复杂度为O(n)，那main方法的时间复杂度为O(n^2)

案例三：

public static void main(String[] args) {int n = 100;for (int i = 0; i < n; i++) {show(i);}for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {System.out.println(j);}}}public static void show(int i){for (int j = 0; j < i; j++) {System.out.println(i);}}

在show方法中，有一个for循环，所以show方法的时间复杂度为o(n)，在main方法中，show(n)这行代码内部执行的次数为n，第一个for循环内调用了show方法，所以其执行次数为n^2，第二个嵌套for循环内只执行了一行代码，所以其执行次数为n^2,那么main方法总执行次数为n+n^2+n^2=2n^2+n。

根据大O推导规则，去掉n保留最高阶项，并去掉最高阶项的常数因子2，所以最终main方法的时间复杂度为O(n^2)

2.2最坏情况

从心理学角度讲，每个人对发生的事情都会有一个预期，比如看到半杯水，有人会说︰哇哦，还有半杯水哦！但也有人会说∶天哪，只有半杯水了。一般人处于一种对未来失败的担忧，而在预期的时候趋向做最坏的打算，这样即使最糟糕的结果出现，当事人也有了心理准备，比较容易接受结果。假如最糟糕的结果并没有出现，当事人会很快乐。
算法分析也是类似，假如有一个需求∶
                有一个存储了n个随机数字的数组，请从中查找出指定的数字。

public static void main(String[] args) {int a = search(5);System.out.println(a);}public static int search(int num){int[] arr = {11,5,3,6,7,15,6,9};for (int i = 0; i < arr.length; i++) {if (num == arr[i]) {return i;}}return -1;}

最好情况：
        查找的第一个数字就是期望的数字，那么算法的时间复杂度为O(1)

最坏情况：
        查找的最后一个数字，才是期望的数字，那么算法的时间复杂度为O(n)

平均情况：
        任何数字查找的平均成本是O(n/2)

最坏情况是一种保证，在应用中，这是一种最基本的保障，即使在最坏情况下，也能够正常提供服务，所以，除非特别指定，我们提到的运行时间都指的是最坏情况下的运行时间。

3.小结

这篇文章，我们总结了一些常见的大O阶，然后给出了相应的表格，这属于是一种结论，可以记下来的。然后我们分析了函数调用时的时间复杂度，其实和之前的分析方法是一样的。最后，我们讲了一下最坏情况的分析。

至此，算法的时间复杂度的讲解已经完毕了。如果有失误的地方，敬请各位指出，谢谢大家！