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电子技术——MOS差分输入对

差分输入系统因其极高的共模抑制能力，差分输入几乎是是构建所有通用模拟IC的基本前级输入，也是现代信号传输理论的基础。本节我们讲解MOS差分输入对。

MOS差分输入对

下图展示了MOS差分输入对的基本原理图：

一个MOS差分输入对是由两个完全匹配的MOS管 $Q_1$ 和 $Q_2$ 组成，并且他们的源极相连，共用一个电流源偏置 $I$ ，这通常是我们在上一章学习的MOS电流镜，但是在这里我们先假设这是一个理想的电流源并且有无限大的阻抗。尽管我们在漏极使用电阻 $R_D$ 但是在实际情况下是通过主动负载实现的，只是我们为了说明差分输入对的功能而使用简单的电阻负载，无论使用那种阻抗，唯一一点需要保证的是每一个MOS都处在饱和区。

MOS差分输入对有两个输入端 $v_{G1}$ 和 $v_{G2}$ ，以及两个输出端 $v_{D1}$ 和 $v_{D2}$ 。

共模输入

为了说明差分输入对如何工作，我们首先讨论在共模输入下的情况。也就是说，两个输入的电压信号源是完全相等的，如下图：

此时两个输入端的信号源均为 $v_{G1}=v_{G2}=V_{CM}$ ，因为 $V_{CM}$ 同时出现在两个输入端，因此我们称其为 共模信号电压 。因为电路完全对称，电流 $I$ 被两个MOS平分，即 $i_{D1}=i_{D2}=I/2$ 。源极电压可以表示为：

$$V_S=V_{CM}-V_{GS}$$

因为MOS处在饱和区，有饱和电流：

$$\frac{I}{2}=\frac{1}{2}{k}_n^{\prime }\frac{W}{L}(V_{GS}-V_t{)}^2$$

因此 $V_{OV}$ 为：

$$V_{OV}=\sqrt{I/k_n^{\prime }(W/L)}$$

这导出漏极输出电压：

$$v_{D1}=v_{D2}=V_{DD}-\frac{I}{2}{R}_D$$

因此，输出端电压的差值为零。现在我们调整 $V_{CM}$ 的大小，只要保证MOS都处在饱和区，那么电路就是完全对称的，输出端电压的差值始终为零，差分输入对不会对共模信号产生相应，或是说是抑制共模信号。

MOS差分输入对一个重要的属性是 输入共模信号范围 。这是令MOS差分输入对正确工作的 $V_{CM}$ 区间。以上面的电路图为例， $V_{CM}$ 的最大值是MOS管在饱和区的边界点：

$$V_{CMmax}=V_t+V_{DD}-\frac{I}{2}{R}_D$$

最小值是MOS允许流过电流为 $I$ 的边界点：

$$V_{CMmin}=-V_{SS}+V_{CS}+V_t+V_{OV}$$

这里 $V_{CS}$ 是电流源 $I$ 允许的最小压降。

差分输入

现在我们将 $Q_2$ 的栅极置地，在 $Q_1$ 的栅极应用电压 $v_{id}$ ，如下图所示：

因为 $v_{id}=v_{GS1}-v_{GS2}$ 若 $v_{id}$ 是正数，那么 $v_{GS1}>v_{GS2}$ 进而 $i_{D1}>i_{D2}$ ，最终使得 $v_{D2}-v_{D1}$ 是正的，另外一方面，若 $v_{id}$ 是负数，最终将导致 $v_{D2}-v_{D1}$ 是负的。

我们发现，若输入端电压存在差值，那么MOS差分输入对就会对其进行响应，体现在输出端的差值上。我们称输入存在差值的信号称为 差分信号 。

MOS差分输入对一个重要的属性是 输入差分信号范围 。这是令MOS差分输入对正确工作的 $v_{id}$ 区间。

首先存在正边界，当电流 $I$ 完全从 $Q_1$ 流过，此时 $i_{D1}=I$ ，而且对于 $Q_2$ 来说，此时处于截止区的边界 $v_{GS2}=V_t$ 即 $v_S=-V_t$ 。则：

$$I=\frac{1}{2}(k_n^{\prime }\frac{W}{L})(v_{GS1}-V_t{)}^2$$

这导出：

$$v_{GS1}=V_t+\sqrt{2I/k_n^{\prime }(W/L)}=V_t+\sqrt{2}{V}_{OV}$$

这里 $V_{OV}$ 是当漏极电流为 $I/2$ 的时候的MOS过驱动电压。则此时：

$$v_{idmax}=v_{GS1}+v_S=\sqrt{2}{V}_{OV}$$

若 $v_{id}>\sqrt{2}{V}_{OV}$ 则 $I_{D1}$ 继续保持 $I$ ，为了保证 $v_{GS1}=V_t+\sqrt{2}{V}_{OV}$ 则 $v_S$ 同步增加，因此 $Q_2$ 处于截止状态。对于负边界也同样，因此 $v_{id}$ 的范围在：

$$-\sqrt{2}{V}_{OV}\le v_{id}\le \sqrt{2}{V}_{OV}$$

大信号模型

接下来，我们对MOS差分输入对的大信号模型进行定量分析，我们仍然假设MOS都是完全匹配的且忽略厄尔利电压。我们只讨论大信号模型下漏极电流对差分信号的响应，因此漏极接入什么都无所谓的，我们使用下图的一般情况：

在开始之前，我们先提前写出漏极电流表达式：

$$i_{D1}=\frac{1}{2}{k}_n^{\prime }\frac{W}{L}(v_{GS1}-V_t{)}^2$$

$$i_{D2}=\frac{1}{2}{k}_n^{\prime }\frac{W}{L}(v_{GS2}-V_t{)}^2$$

对两边同时开方得到：

$$\sqrt{i_{D1}}=\sqrt{\frac{1}{2}{k}_n^{\prime }\frac{W}{L}}(v_{GS1}-V_t)$$

$$\sqrt{i_{D2}}=\sqrt{\frac{1}{2}{k}_n^{\prime }\frac{W}{L}}(v_{GS2}-V_t)$$

作差得到：

$$\sqrt{i_{D1}}-\sqrt{i_{D2}}=\sqrt{\frac{1}{2}{k}_n^{\prime }\frac{W}{L}}(v_{GS1}-v_{GS2})$$

带入 $v_{GS1}-v_{GS2}=v_{G1}-v_{G2}=v_{id}$ 得到：

$$\sqrt{i_{D1}}-\sqrt{i_{D2}}=\sqrt{\frac{1}{2}{k}_n^{\prime }\frac{W}{L}}{v}_{id}$$

又因为总电流恒定：

$$i_{D1}+i_{D2}=I$$

这是一个二元方程，解得：

$$i_{D1}=\frac{I}{2}+\sqrt{k_n^{\prime }\frac{W}{L}I}(\frac{v_{id}}{2})\sqrt{1-\frac{(v_{id}/2{)}^2}{I/k_n^{\prime }\frac{W}{L}}}$$

$$i_{D2}=\frac{I}{2}-\sqrt{k_n^{\prime }\frac{W}{L}I}(\frac{v_{id}}{2})\sqrt{1-\frac{(v_{id}/2{)}^2}{I/k_n^{\prime }\frac{W}{L}}}$$

当 $v_{id}=0$ 的时候，存在：

$$i_{D1}=i_{D1}=I/2$$

对应：

$$v_{GS1}=v_{GS2}=V_{GS}$$

这里：

$$I/2=\frac{1}{2}{k}_n^{\prime }\frac{W}{L}(V_{GS}-V_t{)}^2=\frac{1}{2}{k}_n^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{OV}^2$$

我们将 $I/V_{OV}^2$ 带入到 $k_n^{\prime }(W/L)$ 中：

$$i_{D1}=\frac{I}{2}+(\frac{I}{V_{OV}})(\frac{v_{id}}{2})\sqrt{1-(\frac{v_{id}/2}{V_{OV}}{)}^2}$$

$$i_{D2}=\frac{I}{2}-(\frac{I}{V_{OV}})(\frac{v_{id}}{2})\sqrt{1-(\frac{v_{id}/2}{V_{OV}}{)}^2}$$

这个两个表达式描述了漏极电流对差分信号的响应。为了方便，我们绘制 $i_D/I$ 和 $v_{id}/V_{OV}$ 的归一化图像：

注意到，当 $v_{id}=0$ 的时候，两个漏极电流均为 $I/2$ ；让 $v_{id}$ 向正方向移动，此时 $i_{D1}$ 增大而 $i_{D2}$ 减小，并且保证总和始终为 $I$ 。当 $v_{id}$ 达到 $\sqrt{2}{V}_{OV}$ 的时候， $I$ 完全流入 $Q_1$ 。对于负数区域来说也同样。

观察到漏极电流对差分信号做出的响应并不是线性的，因为存在一个包含 $v_{id}^2$ 的项，为了获得一个线性区域，我们保证 $(v_{id}/2)\ll V_{OV}$ ，这就是小信号估计的条件，可以近似得到：

$$i_{D1}\simeq \frac{I}{2}+(\frac{I}{V_{OV}})(\frac{v_{id}}{2})$$

$$i_{D2}\simeq \frac{I}{2}-(\frac{I}{V_{OV}})(\frac{v_{id}}{2})$$

我们令电流差值：

$$i_d=(\frac{I}{V_{OV}})(\frac{v_{id}}{2})$$

此时 $i_{D1}$ 增加 $i_d$ 而 $i_{D2}$ 减少 $i_d$ 。之前我们在MOSFET章节学到过，当MOS的漏极偏置电流为 $I$ 的时候，此时互导系数为 $g_m=\frac{2I}{V_{OV}}$ 。在这里我们同样见到了，这里的每个MOS的互导系数为 $\frac{I}{V_{OV}}$ 因为每个漏极偏置电流为 $\frac{I}{2}$ 。为什么电压是 $\frac{v_{id}}{2}$ ?仅仅是因为让 $v_{gs1}=v_{id}/2$ 以及 $v_{gs2}=-v_{id}/2$ 才能让 $i_{D1}$ 增加 $i_d$ 而 $i_{D2}$ 减少 $i_d$ 。

现在我们回到一开始的那个式子，让 $V_{OV}$ 越大则响应越线性。通过使用更小的 $W/L$ 的MOS管可以做到。代价就是也同时减小了 $g_m$ 减小了增益，虽然可以通过增大偏置 $I$ 来弥补增益的损失，但是这却增加了放大器的实际功耗，这通常被IC设计所限制。下图展示了不同 $V_{OV}$ 的响应曲线：

小信号模型

接下来我们讨论MOS差分输入对的小信号模型。

下图展示了MOS差分输入对的输入电压：

$$v_{G1}=V_{CM}+\frac{1}{2}{v}_{id}$$

$$v_{G2}=V_{CM}-\frac{1}{2}{v}_{id}$$

其中 $V_{CM}$ 是共模信号输入，可以看着是输入的DC电压。一般情况下， $V_{CM}$ 是电源电压的中值，例如当使用完全互补的双电源方案，此时 $V_{CM}=0$ 。

对于差分信号 $v_{id}$ 使用 互补 （或 平衡 ）行为输入到MOS差分输入对。也就是说， $v_{G1}$ 增加 $v_{id}/2$ 而 $v_{G2}$ 减少 $v_{id}/2$ 。这是大部分的输入配置，因为MOS差分输入对的输入一般是另一个MOS差分输入对的输出。有时，也有使用 单端输入 的情况，例如我们一开始讨论的那个电路。不同的输入方式造成了电流需求上的一些微妙的差异。

而对于输出，也同样有两个方式。第一种是使用一个输出端和地之间的电压，这种方式也称为 单端输出 ，此时 $v_{o1}$ （或 $v_{o2}$ ）对地的电压是DC偏置 $(V_{DD}-\frac{I}{2}{R}_D)$ 以及输出信号电压。第二种是使用一个输出端和另一个输出端的电压，称为 差分输出 ，此时输出电压 $v_{od}$ 没有DC分量，完全是由信号分量组成。

为了分析MOS差分输入对对小信号 $v_{id}$ 的响应，我们移除所有DC分量，如图：

由于电路的对称性，我们知道源极的信号电压一定是 $v_{id}/2$ 和 $-v_{id}/2$ ，也就是0V，这形成了一个 虚拟AC地 。此时 $v_{gs1}=v_{id}/2$ 而 $v_{gs2}=-v_{id}/2$ ，所以 $Q_1$ 增加电流 $g_m(v_{id}/2)$ 而 $Q_2$ 减少电流 $g_m(v_{id}/2)$ ，这里 $g_m$ 是MOS的互导系数：

$$g_m=\frac{2I_D}{V_{OV}}=\frac{I}{V_{OV}}$$

为了进一步说明，我们使用等效T模型：

另外，我们发现，AC信号地是自动形成的，不需要使用大容值的旁路电容，这也是MOS差分输入对的优点之一。

则输出电压可以表示为：

$$v_{o1}=-g_m\frac{v_{id}}{2}{R}_D$$

$$v_{o2}=+g_m\frac{v_{id}}{2}{R}_D$$

若是单端输出，则增益为：

$$|A_v|\equiv \frac{v_o}{v_{id}}=\frac{1}{2}{g}_m{R}_D$$

若是差分输出，则增益为：

$$A_d\equiv \frac{v_{od}}{v_{id}}=\frac{v_{o2}-v_{o1}}{v_{id}}=g_m{R}_D$$

可以看出差分输出的增益是单端输出的两倍。然而，单端输出应用于其他应用，我们之后会讨论。

我们在分析互补输入的时候，等效于分析一个半电路，如图：

若考虑厄尔利电压，则：

$$A_d=g_m(R_D||r_o)$$

电流源负载的差分放大器

为了获得更大的增益，我们可以将 $R_D$ 换成主动负载，如图：

此时使用半电路法分析：

得到增益为：

$$A_d=g_{m1}(r_{o1}||r_{r_{o3}})$$

共源共栅差分放大器

若想进一步提升MOS差分输入对的增益，可以使用共源共栅差分放大器，如图：

使用半电路分析：

得到：

$$A_d=g_{m1}(R_{on}||R_{op})$$

这里：

$$R_{on}=(g_{m3}{r}_{o3})r_{o1}$$

$$R_{op}=(g_{m5}{r}_{o5})r_{o7}$$