机器学习 | 线性回归（单变量）

前文回顾：机器学习概述

📚线性回归概念

我们要使用一个数据集，数据集包含俄勒冈州波特兰市的住房价格。在这里，我要根据不同房屋尺寸所售出的价格，画出我的数据集。比方说，如果你朋友的房子是 1250 平方尺大小，你要告诉他们这房子能卖多少钱。那么，你可以做的一件事就是构建一个模型，也许是条直线，从这个数据模型上来看，也许你可以告诉你的朋友，他能以大约 220000(美元)左右的价格卖掉这个房子。这就是监督学习算法的一个例子。

它被称作监督学习是因为对于每个数据来说，我们给出了“正确的答案”，即告诉我们：根据我们的数据来说，房子实际的价格是多少，而且，更具体来说，这是一个回归问题。

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线性回归：一种通过属性的线性组合来进行预测的线性模型，其目的是找到一条直线或者一个平面或者更高维的超平面，使得预测值与真实值之间的误差最小化。

🐇符号约定

这里x/y的上标指的是索引，表示第几行/第几列

🐇算法流程

损失函数：度量单样本预测的错误程度，损失函数值越小，模型就越好。
代价函数：度量全部样本集的平均误差。
目标函数：代价函数和正则化函数，最终要优化的函数。

📚单变量回归

下式为一种可能的表达式，因为只有一个输入变量，因此这样的问题叫做单变量线性回归问题。

🐇代价函数

• 通过训练集我们可以得到假设函数h即我们建立的模型，y是测试集。

• 通过输入测试集的自变量向函数h和y,得出预测出来的结果与实际的结果，让两者相减得到误差。

• 通过误差可以看出我们预测的结果好还是不好，如果误差小于某一个极小数时，我们可以认为我们建立的模型非常成功，反之则是失败。

• 求和的目的是把所有预测值的误差加起来，平方的目的是保证求和的时候误差是正数，除以m是求平均误差，除以2是为了计算方便，有没有这个2最后所求出的最小代价对应的假设函数都是一样的。

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💡假设函数与代价函数的关系

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🐇梯度下降

梯度下降的目的即求代价函数的最小值。且梯度下降有种“动态规划”的意思。

理解“梯度下降”:我们把它想象成“下山”的场景。
如何从山上尽快下山❓以我们所在的位置为基准，寻找该位置最陡峭(即变化最快)的方向，然后沿该方向走一段路程，并且每走一段路程，都要重新寻找当前位置最陡峭(即变化最快)的方向，然后沿新的方向再走一段路程，反复采用以上的方法，就能以最快的速度走到山脚下。

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💡背后的数学原理

💡梯度下降的直观感受

在梯度下降法中，当我们接近局部最低点时，梯度下降法会自动采取更小的幅度，这是因为当我们接近局部最低点时，很显然在局部最低点时导数等于0，所以当我们接近局部最低时，导数值会自动变得越来越小，所以梯度下降将采取较小的幅度，这就是梯度下降的做法，所以实际上没有必要再另外减小α。

🐇线性回归的梯度下降

我们将梯度下降和代价函数结合，将其应用于具体的拟合直线的线性回归算法里。

梯度下降算法和线性回归算法

对我们之前的线性回归问题运用梯度下降法，关键在于求出代价函数的导数，即：

在下山的过程中，我们每走一段路，就要确定新的方向，不断确定新的方向意味着代价函数的参数不断在变化，而新的参数又在已知旧的参数的基础上获得。在梯度下降的每一步中，我们都用到了所有的训练样本，我们需要不断重复更新参数的过程是批量梯度下降。

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参考学习链接：【中英字幕】吴恩达机器学习系列课程，本篇对应2.1-2.7

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😢富文本编辑器电脑里头的LaTeX公式在手机平板看就错行，只能额外加一步截图——不乐。

😢电脑富文本编辑器里头，引用里边不能插图片——不乐。

😢电脑富文本编辑器里开的草稿在手机平板内容编辑里都会出现混乱，打开的总是别的文章——不乐。