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引言

在计算机科学领域，数据结构是基础中的基础。在众多数据结构中，二叉树因其在各种操作中的高效性而脱颖而出。二叉树是一种特殊的树形结构，每个节点最多有两个子节点：左子节点和右子节点。这种结构使得搜索、插入、删除等操作可以在对数时间复杂度内完成，这对于算法性能的提升至关重要。

核心内容

• 二叉树的基本概念   

• 我们首先需要理解什么是二叉树。在本文的代码中，二叉树由结构体BinaryTreeNode表示，每个节点包含数据以及指向左右子节点的指针。

• 创建和销毁二叉树

  代码演示了如何使用BuyTreeNode函数为一个新节点分配内存，并通过CreateNode函数来构建一个简单的二叉树。同时，DestoryTree函数展示了如何安全地销毁二叉树，释放其占用的资源。

• 二叉树的遍历

  遍历是二叉树中最重要的操作之一。我们介绍了三种基本的遍历方式：前序（PrevOrder）、中序（InOrder）和后序（PostOrder）遍历。这些遍历方法在二叉树的搜索和排序操作中发挥着关键作用。

• 二叉树的其他属性

  除了遍历，我们还探讨了如何使用代码来确定二叉树的大小（TreeSize）、叶子节点的数量（TreeLeafSize）、树的高度（TreeHeight）以及特定层级的节点数（TreeLeveLK）。

• 层序遍历的实现

  除了深度优先遍历，层序遍历（LevelOrder）也是一种重要的遍历方式。它按照节点所在的层级依次访问，这在某些特定的应用场景下非常有用，例如在构建搜索算法或执行宽度优先搜索时。

代码目录

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <math.h>typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}TreeNode;TreeNode* BuyTreeNode(int x);
TreeNode* CreateNode();
void PrevOrder(TreeNode* root);//前序遍历  --深度优先遍历 dfs
void InOrder(TreeNode* root);
void PostOrder(TreeNode* root);
int TreeSize(TreeNode* root);
int TreeLeafSize(TreeNode* root);//叶子节点个数
int TreeHeight(TreeNode* root);//高度
int TreeLeveLK(TreeNode* root, int k);//第k层节点个数
TreeNode* TreeCreate(char* a, int* pi);//构建二叉树
void DestoryTree(TreeNode** root);//销毁二叉树
void LevelOrder(TreeNode* root);//层序遍历  --广度优先遍历bfs

1.二叉树的基本概念和结构 

在深入了解二叉树之前，我们必须首先理解它的基本构成。二叉树是一种非常重要的数据结构，广泛应用于编程和算法设计中。它是一个有序树，每个节点最多有两个子节点，通常被称为左子节点和右子节点。

结构体表示二叉树

在我的代码中，二叉树通过结构体BinaryTreeNode表示。这个结构体定义了树的基本单元——节点。每个节点包含三个部分：数据部分和两个指针。

typedef struct BinaryTreeNode {BTDataType data; // 节点存储的数据struct BinaryTreeNode* left; // 指向左子节点的指针struct BinaryTreeNode* right; // 指向右子节点的指针
} TreeNode;

这种结构体的设计允许二叉树以递归的方式定义：每个节点本身可以被视为一个树的根，具有自己的子树。二叉树的这种特性是其许多算法操作的基础，包括遍历、搜索和修改。

数据与节点关系

在这个结构体中，data字段存储了节点的值。这个值可以是任意类型，在我的示例中，它被定义为BTDataType（在这里是int类型）。每个节点的left和right指针分别指向它的左子节点和右子节点。如果某个节点不存在左子节点或右子节点，相应的指针将为NULL。

这种结构使得操作和遍历二叉树变得可能，允许我们实现诸如插入、删除、查找等复杂操作，同时也为高效的算法实现提供了基础。

在后续部分，我们将探索如何使用这种结构体来创建和管理二叉树

 2.创建和销毁二叉树

在操作二叉树时，正确地管理内存是至关重要的。这涉及到两个基本操作：创建二叉树和销毁二叉树。在您的代码中，这两个过程通过BuyTreeNode、CreateNode和DestoryTree函数实现。

创建二叉树

1. 分配节点内存： BuyTreeNode函数用于创建一个新的树节点。它接受一个数据值，分配足够的内存来存储一个新的TreeNode结构体，并将传入的数据值赋给新节点 

TreeNode* BuyTreeNode(int x) {TreeNode* node = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));assert(node); // 确保内存分配成功node->data = x;node->left = NULL;node->right = NULL;return node;
}

构建二叉树（1）：

TreeNode* TreeCreate(char* a, int* pi)
{if (a[*pi] == '#')return NULL;TreeNode* root = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));if (root == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}root->data = a[(*pi)++];root->left = TreeCreate(a, pi);root->right = TreeCreate(a, pi);return root;
}

过程步骤

1. 检查终止条件： 函数首先检查当前位置的字符是否为'#'。在这个上下文中，'#'代表一个空位置，意味着在这里不需要创建节点。如果是'#'，函数返回NULL，这表明当前没有节点被创建，相当于告诉递归调用的上一层，这里是一个空分支。

2. 创建新节点： 如果当前位置的字符不是'#'，函数会继续创建一个新的树节点。它分配内存空间给新节点，并检查内存分配是否成功。如果分配失败，函数会报错并退出程序。

3. 设置节点数据： 新节点的数据设置为当前字符数组位置的值。然后，指针pi递增，以便下一次调用时读取下一个字符。

4. 递归构建子树： 接下来，函数递归地调用自身两次：一次用于构建左子树，一次用于构建右子树。这两个递归调用分别处理字符数组中接下来的部分，因此逐渐构建出整个树的结构。

5. 返回树的根节点： 一旦左右子树都被创建，函数返回当前创建的节点，这个节点现在是一个完整子树的根节点。

说明

通过这种方式，TreeCreate函数能够从一个序列化的表示（在这里是一个字符数组）中逐步重建出原始的二叉树结构。这种序列化表示通常包含特殊的字符（如'#'）来标示空节点，从而允许树的形状在数组中得以完整表达。

这个函数的递归性质使得它能够处理任意复杂的树结构，只要输入的字符数组正确地表示了树的结构。这种方法在二叉树的序列化和反序列化中非常常见，是处理树结构数据的一种强大技巧。

 构建二叉树（2）： CreateNode函数展示了如何将这些独立的节点组合成一个完整的二叉树结构。这个函数硬编码了节点的创建和连接方式，构造了一个特定的二叉树。

TreeNode* CreateNode() {TreeNode* node1 = BuyTreeNode(1);TreeNode* node2 = BuyTreeNode(2);...node1->left = node2;node1->right = node4;...return node1;
}

销毁二叉树

内存管理的另一方面是当二叉树不再需要时，正确地释放其占用的资源。这是通过DestoryTree函数实现的。

1. 递归销毁： DestoryTree采用递归方式访问每个节点，并释放其占用的内存。递归是处理树结构的一种自然和强大的方法。

void DestoryTree(TreeNode** root) {if (*root == NULL)return;DestoryTree(&(*root)->left);DestoryTree(&(*root)->right);free(*root);*root = NULL;
}

 这种方法确保了所有节点都被适当地访问和释放，从而防止了内存泄漏——一种在长时间运行的程序中特别重要的考虑因素。

通过这些函数的实现，我们不仅构建了一个基本的二叉树，还学会了如何负责任地管理与之相关的内存。下一步，我们将探讨如何遍历二叉树，并了解它的其他重要属性

3.二叉树的其他属性

除了遍历，我们还探讨了如何使用代码来确定二叉树的大小（TreeSize）、叶子节点的数量（TreeLeafSize）、树的高度（TreeHeight）以及特定层级的节点数（TreeLeveLK）在理解了二叉树的基本结构和如何创建及销毁它之后，我们接下来会探索二叉树的几个其他重要属性：树的大小、叶子节点的数量、树的高度，以及特定层级的节点数。这些属性在二叉树的应用和分析中扮演着关键角色。

1. 二叉树的大小（TreeSize）

二叉树的大小是指树中节点的总数。这可以通过递归地计算每个节点的左右子树来确定。

int TreeSize(TreeNode* root) {if (root == NULL) {return 0;}return 1 + TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right);
}

在这个函数中，如果当前节点为NULL，表示子树不存在，因此返回0。否则，计算大小时，将当前节点（1）加上左子树和右子树的大小。 

2. 叶子节点的数量（TreeLeafSize）

叶子节点是指没有子节点的节点。计算二叉树中叶子节点的数量有助于理解树的分布和深度。

int TreeLeafSize(TreeNode* root) {if (root == NULL) {return 0;}if (root->left == NULL && root->right == NULL) {return 1;}return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}

 当遇到叶子节点时（即左右子节点均为NULL），返回1。否则，递归地计算左右子树中的叶子节点数量。

3. 树的高度（TreeHeight）

树的高度是从根到最远叶子节点的最长路径上的节点数。这是衡量树平衡和深度的重要指标。

int TreeHeight(TreeNode* root) {if (root == NULL) {return 0;}return fmax(TreeHeight(root->left), TreeHeight(root->right)) + 1;
}

 在这个函数中，如果节点为NULL，表示到达了树的底部，返回0。否则，高度是左右子树高度的最大值加1（当前节点）。

4. 特定层级的节点数（TreeLeveLK）

计算特定层级的节点数有助于理解树在不同深度的分布。

int TreeLeveLK(TreeNode* root, int k) {if (root == NULL || k < 1) {return 0;}if (k == 1) {return 1;}return TreeLeveLK(root->left, k - 1) + TreeLeveLK(root->right, k - 1);
}

当到达目标层级（k == 1）时，返回1。如果不是目标层级，递归地计算左右子树在k-1层级的节点数。

通过这些函数，我们不仅能够构建和管理二叉树，还能深入了解树的结构和特性。这些属性对于优化算法、分析数据结构性能等方面都至关重要。接下来，我们将研究二叉树的遍历方法，这是理解和操作二叉树的关键一环。

1.二叉树的遍历

前序、中序以及后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓 二叉树遍历 (Traversal) 是按照某种特定的规则，依次对二叉 树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次 。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历   是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础

按照规则，二叉树的遍历有： 前序 / 中序 / 后序的递归结构遍历 ：

1. 前序遍历 (Preorder Traversal 亦称先序遍历 )—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

2. 中序遍历 (Inorder Traversal)—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

3. 后序遍历 (Postorder Traversal)—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根， 所以 N(Node ）、 L(Left subtree ）和 R(Right subtree ）又可解释为

根、根的左子树和根的右子树 。 NLR 、 LNR 和 LRN 分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

 

void PrevOrder(TreeNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}printf("%d ", root->data);PrevOrder(root->left);PrevOrder(root->right);
}
void InOrder(TreeNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->data);InOrder(root->right);
}
void PostOrder(TreeNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}

 2. 层序遍历

层序遍历 ：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在 层数为1 ，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第 2 层 上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

 层序遍历  --广度优先遍历bfs 比如扫雷和基本搜索算法中就是以广度优先算法为基底

void LevelOrder(TreeNode* root)
{Queue q;  QueueInit(&q);if (root)QueuePush(&q, root);int LevelSize = 1;while (!QueueEmpty(&q)){while (LevelSize--)//这里稍作变形，很多面试常考   控制层序遍历每一层每一层的输出{TreeNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%d ", front->data);if (front->left)QueuePush(&q, front->left);if (front->right)QueuePush(&q, front->right);}printf("\n");LevelSize = QueueSize(&q);}printf("\n");QueueDestory(&q);
}

层序遍历是一种特殊的遍历方式，它按照树的层级，从上到下、从左到右的顺序访问每个节点。在我的函数中，这是通过使用一个队列实现的，队列是一种先进先出（FIFO）的数据结构。

过程步骤

1. 初始化队列： 首先，创建一个空队列，用于存储将要访问的树节点。

2. 根节点入队： 如果二叉树不为空，把根节点放入队列。这是遍历的起始点。

3. 遍历队列中的节点： 接下来的步骤是循环进行的，直到队列为空。在每一次循环中，执行以下操作：

   • 处理当前层级的节点： 对于队列中的每个节点，执行以下子步骤：

     • 从队列中取出一个节点。
     • 访问该节点（比如，打印节点数据）。
     • 如果这个节点有左子节点，将左子节点加入队列。
     • 如果这个节点有右子节点，将右子节点加入队列。

   • 这个过程将会持续，直到队列为空。每处理完一层的所有节点，就开始处理下一层。

4. 层与层之间的分隔： 在我的函数中，每处理完一层节点后，打印一个换行符，这样可以在输出中清楚地区分不同的层级。

5. 销毁队列： 最后，当所有的节点都被访问过后，队列将会变空，遍历结束。此时，销毁或清空队列来释放资源。

通过这个过程，我的函数能够按层次顺序访问二叉树中的每个节点。这种遍历方式在很多场景中非常有用，例如在树的宽度优先搜索（Breadth-First Search, BFS）中。

结语

通过本文，我们不仅了解了二叉树的基本理论知识，还学习了如何在C语言中实现和操作这种数据结构。无论是对于初学者还是有经验的程序员来说，掌握这些知识都是非常有价值的。