浮点数的转换--IEEE 754

IEEE754标准是一种浮点数表示标准，一般分为

• 单精度（32位的二进制数）；
• 双精度（64位的二进制数）

根据国际标准IEEE754，任意一个二进制浮点数V可以表示为下面形式：

• V = (-1)^s *（1+M）* 2^(E-127)（单精度）
• V = (-1)^s *（1+M）* 2^(E-1023)（双精度）

其中，E为阶码位，M为尾数部分，S为符号位；

• M: 1<=M<2, 即M写成1.xxxxx形式；
  • EEE 754规定，计算机内部保存M它的第一位总是1，因此可以只保存后面的xxxxxx部分。如1.001时，尾数001，需要读取时，再把第一位的1加上去。这样做可以节省1位有效数字；
• E：无符号整数，如果E为8位，其取值范围为0~255；若E为11位，取值范围为0~2047
  • 科学计数法中，E可以是负数，因此，IEEE 754规定，E的真实值必须再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023；
  • e.g. 2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。
  • 特殊处理：
    • E不全为0或1时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1；
    • E全为0时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字；即：V = (-1)^s *（M）* 2^(1-127)
    • E全为1时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）

下面以32bits的浮点数为例子：

将十进制数0.15625转换为浮点数：

1. 将对应数据逐步乘以2，取整数部分；
        ⭘0.15625x2=0.3125 取整0 
        ⭘0.31250x2=0.6250 取整0
        ⭘0.62500x2=1.2500 取整1
        ⭘0.25000x2=0.5000 取整0
        ⭘0.50000x2=1.0000 取整1
2. 将整数部分进行组合，得到0.00101；
3. 将得到的数，表示成IEEE 754的格式，0.00101=1.01*2-3
4. 将该数据，与公式进行对比，可以得出：1.01*2**-3 = (-1)s  * (1+M)*2**(E-127), 可以得出：
        ⭘s=0;
        ⭘1+M=1.01, M=0.01;
        ⭘E-127=-3, E=124; 124 = BIN 0111 1100
5. 将上述的值，填入到32bits的范围内，可得：

使用上面的方式，转换十进制数-0.0625：

 DEC -0.0625 = BIN -0.0001 = -1.0*2-4 s=1，M=1-1=0，E=-4 +127=123=0111 1011

使用上面的方式，转换十进制数127.1247：

这个数可能在32bits范围内，不能准确的表示出来，因此需要进行截位；

按照上面的公式，整数部分，127： 0111_1111;

小数部分：0.1247，不断乘以2，取整数部分，00011111111011001..., 因为位数不够，进行截断；

转换成上面的公式可以得到：M=1.11111100011111111011001,E=127+6=133, 所以转换后的浮点数为：

附上IEEE 754在线转换工具：

 IEEE 754 浮点数 - 在线工具 (toolhelper.cn)