树状数组讲解

树状数组

引入

树状数组主要维护的是这样一个数据结构：
tr[x]表示以x为终点的长度为lowbit(x)的前缀和、最大值、最小值、最大公约数
对于树状数组主要就两种操作

1. 对一段区间求和、求最值、求最大公约数，这里以求和为例。
   通过合并分解后的每一段长度为相应lowbit的tr[i]求解
   模板

def ask(x) :res = 0i = xwhile i :res += tr[i]i -= lowbit(i)return res

2. 修改某个数
   通过对其每一段父节点(加上lowbit)进行操作。

def add(x, c) :i = xwhile i <= n :tr[i] += ci += lowbit(i)

应用：

例题

AcWing241.楼兰图腾

在完成了分配任务之后，西部 314
来到了楼兰古城的西部。

相传很久以前这片土地上(比楼兰古城还早)生活着两个部落，一个部落崇拜尖刀(V)，一个部落崇拜铁锹(∧)，他们分别用 V 和 ∧ 的形状来代表各自部落的图腾。

西部 314
在楼兰古城的下面发现了一幅巨大的壁画，壁画上被标记出了 n
个点，经测量发现这 n
个点的水平位置和竖直位置是两两不同的。

西部 314
认为这幅壁画所包含的信息与这 n
个点的相对位置有关，因此不妨设坐标分别为 (1,y1),(2,y2),…,(n,yn)
，其中 y1∼yn
是 1
到 n
的一个排列。

西部 314
打算研究这幅壁画中包含着多少个图腾。

如果三个点 (i,yi),(j,yj),(k,yk)
满足 1≤i<j<k≤n
且 yi>yj,yj<yk
，则称这三个点构成 V 图腾;

如果三个点 (i,yi),(j,yj),(k,yk)
满足 1≤i<j<k≤n
且 yi<yj,yj>yk
，则称这三个点构成 ∧ 图腾;

西部 314
想知道，这 n
个点中两个部落图腾的数目。

因此，你需要编写一个程序来求出 V 的个数和 ∧ 的个数。

输入格式
第一行一个数 n
。

第二行是 n
个数，分别代表 y1，y2,…,yn
。

输出格式
两个数，中间用空格隔开，依次为 V 的个数和 ∧ 的个数。

数据范围
对于所有数据，n≤200000
，且输出答案不会超过 int64
。
y1∼yn
是 1
到 n
的一个排列。

输入样例：
5
1 5 3 2 4
输出样例：
3 4

思路

对于V形图腾来说，可以通过枚举每一个点作为最低点时，可组成的V形序列个数，最终求和得到最终答案。
基于单个点x，我们可以先从左到右的记录其左端大于x的点个数，同理可以记录其右端大于x的点个数，二者相乘即为结果。
每次都得查询之前所有点中小于（大于）a[x]的个数，再遍历后一个点前，需要将当前点加入查询的数据结构中。
区间查询、单点修改
树状数组呼之欲出。

代码

N = 200010
a = [0] * Ndef lowbit(x) :return x & -xdef ask(x) :res = 0i = xwhile i :res += tr[i]i -= lowbit(i)return resdef add(x, c) :i = xwhile i <= n :tr[i] += ci += lowbit(i)n = int(input())
a[1 : n + 1] = list(map(int, input().split()))greater, lower = [0] * (n + 1), [0] * (n + 1)
tr = [0] * (n + 1)
# 从左到右，记录每个点左边大于/小于的情况
for i in range(1, n + 1) :x = a[i]greater[i] = ask(n) - ask(x)lower[i] = ask(x - 1)add(x, 1)res1, res2 = 0, 0
tr = [0] * (n + 1)
# 从右到左求解结果
for i in range(n, 0, -1) :x = a[i]res1 += greater[i] * (ask(n) - ask(x))res2 += lower[i] * ask(x - 1)add(x, 1)print(res1, res2)

AcWing 242. 一个简单的整数问题

给定长度为 N的数列 A，然后输入 M 行操作指令。

第一类指令形如 C l r d，表示把数列中第 l∼r
个数都加 d
。

第二类指令形如 Q x，表示询问数列中第 x
个数的值。

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

输入格式
第一行包含两个整数 N
和 M
。

第二行包含 N
个整数 A[i]
。

接下来 M
行表示 M
条指令，每条指令的格式如题目描述所示。

输出格式
对于每个询问，输出一个整数表示答案。

每个答案占一行。

数据范围
1≤N,M≤105
,
|d|≤10000
,
|A[i]|≤109
输入样例：
10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q 4
Q 1
Q 2
C 1 6 3
Q 2
输出样例：
4
1
2
5

思路

C表示对一定区间进行操作，Q表示对单点查询。
转化为差分
对差分数组的单点操作 $\equiv$ 对原数组的区间操作
对差分数组的区间查询 $\equiv$ 对原数组的单点查询

代码

N = 100010a= [0] * N
tr = [0] * Ndef lowbit(x) :return x & -xdef add(x, c) :i = xwhile i <= n :tr[i] += ci += lowbit(i)def ask(x) :res = 0i = xwhile i :res += tr[i]i -= lowbit(i)return resn, m = map(int, input().split())a[1 : n + 1] = list(map(int, input().split()))
# 初始化差分树状数组
for i in range(1, n + 1) :add(i, a[i] - a[i - 1])for i in range(m) :cmd = input()if cmd[0] == "Q" :x = int(cmd.split()[1])print(ask(x))else :l, r, c = map(int, cmd[2 :].split())add(l, c)add(r + 1, -c)

AcWing 244. 谜一样的牛

有 n 头奶牛，已知它们的身高为 1∼n
且各不相同，但不知道每头奶牛的具体身高。

现在这 n
头奶牛站成一列，已知第 i
头牛前面有 Ai
头牛比它低，求每头奶牛的身高。

输入格式
第 1
行：输入整数 n
。

第 2…n
行：每行输入一个整数 Ai
，第 i
行表示第 i
头牛前面有 Ai
头牛比它低。
（注意：因为第 1
头牛前面没有牛，所以并没有将它列出）

输出格式
输出包含 n
行，每行输出一个整数表示牛的身高。

第 i
行输出第 i
头牛的身高。

数据范围
1≤n≤105
输入样例：
5
1
2
1
0
输出样例：
2
4
5
3
1

思路

从后往前，最后一头牛知道自己比前$A_n$头牛高，则最后一头牛是$A_n+1$高的牛。
倒数第二头牛，知道自己比前$A_{n-1}$头牛高，则当前的牛是除去$A_n+1$的高度外的$A_{n-1}+1$的高度的牛。
由此可以递推得到所有结果。
这个过程中我们需要维护一个所有未确定高度的数据结构，我们需要对这个数据结构的操作是，查询某个高度是第几高，以及删除某点的高度。
树状数组！！！！

代码

N = 100010tr = [0] * N
a = [0] * Ndef lowbit(x) : return x & -xdef add(x, c) :i = xwhile i <= n :tr[i] += ci += lowbit(i)def ask(x) :res = 0i = xwhile i :res += tr[i]i -= lowbit(i)return resn = int(input())for i in range(2, n + 1) :a[i] = int(input())for i in range(1, n + 1) :add(i, 1)res = [0] * (n + 1)
for i in range(n, 0, -1) :x = a[i] + 1# 找到一个满足第x的高度l, r = 0, nwhile l < r :mid = (l + r) >> 1if ask(mid) >= x :r = midelse :l = mid + 1res[i] = ladd(l, -1)for i in range(1, n + 1) :print(res[i])

总结

树状数组的题，一般需要发掘题目中需要的两种操作，这一点非常关键，剩下实现就肥肠煎蛋。