【数据结构】树

一.二叉树的基本概念和性质：

1.二叉树的递归定义：

二叉树或为空树，或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成

2.二叉树的特点：

（1）每个结点最多只有两棵子树，即不存在结点度大于2的结点

（2）子树有左右之分，不能颠倒。

3.满二叉树：

深度为k，且有个结点的二叉树。

（1）每一层上结点数都达到最大。

（2）度为1的结点数

4.完全二叉树：

深度为k，结点数为n的二叉树，当且仅当每个结点的编号都与相同深度的满二叉树中从1到n的结点一一对应时，称为完全二叉树。

（1）完全二叉树的任意结点，左子树的高度-右子树的高度=0或1

5.二叉树的性质：

1）在二叉树的第i层，至多有个结点。

2）深度为k的二叉树上至多含有个结点。

3)  

证明如下：

二叉树中全部结点数

除根结点外，每个结点必有一个直接前驱，即一个分支

（1度结点必有1个直接后继，2度结点必有2个直接后继）

即：

叶子数=2度结点数+1

4）具有n个结点的完全二叉树的深度为

5)

对有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对于任一结点i，有：

• 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是i/2
• 如果2i>n，则结点i无左孩子；如果，则其左孩子是2i
• 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；如果，则其右孩子是2i+1

例题：

设一棵完全二叉树具有1000个结点，则它有489个叶子结点，有488个度为2的结点，有1个结点只有非空左子树，有0个结点只有非空右子树。

二.二叉树、树以及森林的存储结构

1.二叉树的顺序存储结构

        用一组地址连续的存储单元，以层序顺序存放二叉树的数据元素，结点的相对位置蕴含着结点之间的关系。

问：顺序存储后能否复原成唯一对应的二叉树形状？

若是完全二叉树则可以完全复原，下标值为i的双亲，左孩子为2i，右孩子为2i+1。

        而对于一般的二叉树的存储，将其先补成完全二叉树，然后按照完全二叉树的顺序存储方式进行存储，而新补上的结点只占位置，不存放数据元素。

对于一般二叉树的顺序存储，如果是斜树，则会浪费很多的存储空间，而且插入删除不便。

2.二叉树的链式存储结构

有一个指向根的指针root

二叉链表：2个链分别存放左孩子和右孩子。

三叉链表：2个链分别存放左孩子和右孩子另外一个指向双亲。

线索链表：用空链域存放前驱或后继。

2.1 二叉链表：

结点结构：

lchild

data

rchild

typedef struct BiTreeNode{DataType data;struct BiTreeNode *lchild,*rchild;
}BiTreeNode,*BiTree;

 2.2 三叉链表：

结点结构：

parent

lchild

data

rchild

typedef struct BiTreeNode{DataType data;struct BiTreeNode *lchild,*rchild,*parent;
}BiTreeNode,*BiTree;

 3.树和森林的存储结构

3.1 树的双亲表示法

对于一个结点来说，双亲是一定的。

typedef struct PTNode{DataType data;int parent;
}PTNode;
typedef struct PTree{PTNode nodes[MAX_SIZE];int r,n;
}PTree;

3.2 树的孩子表示法

对于一个结点来说，孩子的数量是不一定的，为了整体元素结构的一致性，采用存储地址的方法。

typedef struct CTNode{int child;struct CTNode *next;
}CTNode;typedef struct CTBox{DataType data;CTNode *firstchild;
}CTBox;
typedef struct CTree{CTBox nodes[MAX_SIZE];int n,r;
}CTree;

3.3 树的双亲孩子表示法

结点结构变为

data

parent（下标）

指向第一个孩子的指针

3.4 树的孩子兄弟表示法

typedef struct CSNode{datatype data;struct CSNode *firstchild,*rightsib;
}CSNode;

三.二叉树、树及森林的基本操作

1.二叉树的遍历

顺着某一条搜索路径寻访二叉树中的结点，使得每个结点均被访问一次，且仅被访问一次。

1.1 先序遍历：

根、左、右。

若二叉树非空，则：

1）访问根结点

2）先序遍历左子树

3）先序遍历右子树

typedef struct BiNode{int data;struct BiNode *rchild,*lchild;
}BiNode;
void preOrder(BiNode *root){if(root){cout<<root->data;preOrder(root->lchild);preOrder(root->rchild);}
}

1.2 中序遍历：

左、根、右。

若二叉树非空，则：

1）中序遍历左子树

2）访问根结点

3）中序遍历右子树

void inOrder(BiNode *root){if(root){inOrder(root->lchild);cout<<root->data;inOrder(root->rchild);}
}

 中序遍历的非递归算法：

1.初始化栈，将根结点入栈。

2.如果栈空则结束（空树或所有结点处理完毕），否则进入下一步。

3.p指向栈顶元素，如果p不空，则左孩子入栈，直到左孩子为空。

4.如果栈不空，则出栈，输出该结点，再将其右孩子入栈。以该结点为本子树的根，转步骤2继续。

void InOrder(BiNode *root){stack <BiNode*> s;BiNode* p=root;s.push(p);while(!s.empty()){while(p->lchild){//走到最左边p=p->lchild;s.push(p);}p=s.top();//弹栈s.pop();cout<<p->data;if(p->rchild){s.push(p->rchild);}}
}

1.3 后序遍历：

左、右、根。

若二叉树非空，则：

1）后序遍历左子树

2）后序遍历右子树

3）访问根结点

void postOrder(BiNode *root){if(root){postOrder(root->lchild);postOrder(root->rchild);cout<<root->data;}
}

1.4 层次遍历：

从上到下、从左到右。

初始化队列，根结点入队列。

如果队列不空，则出队列并访问该结点；该结点左孩子入队，右孩子入队；如果队列为空，则层次遍历结束。

void levelOrder(BiNode *root){queue <BiNode*> s;BiNode* p=root;s.push(p);while(!s.empty()){p=s.front();s.pop();cout<<p->data;if(p->lchild){s.push(p->lchild);}if(p->rchild){s.push(p->rchild);}}
}

1.5 对遍历的分析：

从前面的三种遍历算法可以知道，如果将输出语句抹掉，从递归的角度看，这三种算法是完全相同的，或者说这三种遍历算法的访问路径是相同的，只是访问结点的时机不同。

从虚线的出发点到终点的路径上，每个结点经过三次。

• 第一次经过时访问=先序遍历
• 第二次经过时访问=中序遍历
• 第三次经过时访问=后序遍历

1.6 二叉树遍历算法的应用举例：

1.6.1 表达式树：

算数表达式可以表示为一棵二叉树 中缀表达——对树进行中序遍历即可得到表达式。

• 前缀表达式：不含括号的算数表达式，将运算符写在前面，操作数写在后面。
• 中缀表达式：操作符以中缀形式处于操作数中间。
• 后缀表达式：不包含括号，运算符放在两个运算对象的后面，所有的计算按运算符出现的顺序，严格的从左到右进行（不再考虑运算符的优先次序）

表达式树的构建：（即：给出一个中序序列，构建出这棵树）

顺序扫描中缀表达式 明确：左子树的优先级高

• 当扫描到的是运算数：先检查当前的表达式树是否存在。如果不存在，则表示扫描到的是第一个运算数，将它作为树根。如果树存在，则将此运算数作为前一运算符的右孩子。
• 如果扫描到的是+或-：将它作为根结点，原来的树作为它的左子树。
• 如果扫描到的是*或/：则与根结点进行比较。如果根节点也是*或/，则根结点应该先执行，于是，将当前的运算符作为根结点，原来的树作为左子树。如果根结点是+或-，则当前运算符应该先运算，于是将它作为右子树的根，原来的右子树作为它的左子树。

在遇到运算数时，如何知道它前面的运算符是谁？这只需要判别根结点有没有右孩子。如果没有右孩子，则运算数是根节点的右运算数，否则就是根结点右孩子的右运算数。

1.6.2 由先序和中序遍历序列建立二叉树：

可以唯一的确定一棵二叉树。

void PreInorder(char preorder[],char inorder[],int first1,int end1,int first2,int end2,BiNode *t){//先序序列从first1到end1，中序序列从first2到end2，建立一棵二叉树放在t中int m;t=new BiNode;t->data=preorder[first1];//二叉树的根m=first2;while(inorder[m]!=preorder[first1]){//在中序序列中定位根结点的位置++m;}//建立左子树if(m==first2){//左子树为空t->lchild=NULL;}else{PreInorder(preorder, inorder, first1+1, first1+m-first2, first2, m-1, t->lchild);}//建立右子树if(m==end2){//右子树为空t->lchild=NULL;}else{PreInorder(preorder, inorder, first1+m+1-first2, end1, m+1, end2, t->rchild);}
}
void CreateBiTree(char preorder[],char inorder[],int n,BiNode *root){if(n<=0){root=NULL;}else{PreInorder(preorder, inorder, 0, n-1, 0, n-1, root);}
}

1.6.3 二叉树中叶子结点的统计：

先序（中序或后序）遍历二叉树，在遍历过程中查找叶子节点，将算法中“访问结点”的操作改为：判定是否为叶子结点。

叶子结点：左右孩子均为空。

1.6.4 二叉树的深度：

空树：深度=0；

左右子树为空：深度=1；

其他：深度等于1+max（左子树深度，右子树深度）

int get_depth(BiNode *t){if(t==NULL){return 0;}else if(t->lchild==NULL&&t->rchild==NULL){return 1;}else{int depth;int depth1=get_depth(t->lchild);int depth2=get_depth(t->rchild);depth=max(depth1,depth2);return depth;}
}

 2.树和森林的基本操作

2.1 树以及森林和二叉树的相互转换

1）树->二叉树

兄弟加线，每一个结点只保留与第一个孩子的连线，再进行旋转。

树转换成的二叉树，其根结点的右子树一定为空。

想要有右子树，就必须要有兄弟。将兄弟作为右子树。

2）二叉树->树

结点与其右子树、右子树的右子树加线，去掉结点与右子树的连线，再进行旋转。

3）森林->二叉树

将森林中的每一棵树都先转化为二叉树，再令第i棵树作为第i-1棵树的右子树。 

4）二叉树->森林

断开根结点与右子树的关系，再将右子树作为新树，依次断开根结点与右子树的关系，直至右子树为空，得到了多棵二叉树。

再将这些二叉树转化为树。

2.2 树的遍历

• 先序遍历
• 后序遍历
• 层次遍历 

没有中序遍历是因为树不分左右子树

2.3 森林的遍历

• 先序遍历：先序遍历每一棵树
• 中序遍历：后序遍历每一棵树

四.二叉树的变形

1.二叉排序树（BST）

对于二叉排序树的插入和删除操作：我们需要改变指针指向的地址，而在函数中传递指针，只能够改变指针指向的内容，所以要传递指针的引用。

1.1 定义（具有递归性质）：

二叉排序树或是一颗空树，或是一棵具有以下性质的树

（1）若它的左子树不空，则它左子树上所有结点的值均小于根结点的值。

（2）若它的右子树不空，则它右子树上所有结点的值均大于根结点的值。

（3）它的左右子树都是二叉排序树

1.2 二叉排序树的查找：

在二叉排序树中查找给定k值的过程是：

1）若root是空树，则查找失败

2）若k=root->data,则查找成功，否则

3）若k<root->data，则在root的左子树上查找；否则

4）在root的右子树上查找。

上述过程一直持续到k被找到或者待查找的子树为空。如果待查找的子树为空，则查找失败。

只需要查找两个子树之一。

BiNode* search(BiNode *root,int key){if(root==NULL){return NULL;}else{while(key!=root->data){if(key>root->data){root=root->rchild;}else if(key<root->data){root=root->lchild;}else{break;}}return root;}
}

1.3 二叉排序树的插入：

若二叉排序树为空树，则新插入的结点为新的根结点；否则新插入的结点必为一个新的叶子结点，其插入位置由查找过程得到。

void insert(BiNode *&root,int key){BiNode *p;if(root==NULL){p=new BiNode;p->data=key;p->lchild=NULL;p->rchild=NULL;}else{if(key<root->data){insert(root->lchild, key);}else{insert(root->rchild,key);}}
}

二叉排序树的构造：

BiSortTree::BiSortTree(int array[],int n){root=NULL;for(int i=0;i<n;i++){insertBST(root, array[i]);}
}

二叉排序树构造算法总结：
1）一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树而变成一个有序序列

2）每次插入的新结点都是二叉排序树上新的叶子结点

3）找到插入位置后，不必移动其它结点，仅需修改某个结点的指针

4）在左子树/右子树的查找过程与在整棵树上查找过程相同

5）新插入的结点没有破坏原有结点之间的关系
 

注：

此处函数参数为指针的引用类型

1）只传指针的话，只能改变指针最初的指向的内容，而不能够改变指针所指向的地址。

2）而采用指针的引用，实际上改变指针，就改变了指针指向的地址。

3）这样做，还能够直接链接起根结点和孩子之间的指针关系。（bt->lchild/rchild 就被赋值为下一级函数所开辟出空间的地址） 

1.4 二叉排序树的删除：

在二叉排序树上删除某个结点之后，仍然保持二叉排序树的特性。

1）被删除的结点是叶子

删除该结点，并将该结点的双亲的孩子指针域赋值为空

2）被删除的结点只有左子树或只有右子树

将双亲结点相应的指针域的值指向被删除结点的左/右孩子

3）被删除的结点既有左子树，又有右子树

以其左子树的最大值或右子树的最小值来代替该结点

以其前驱替代，然后再删除前驱结点

void deleteNode(BiNode *&bt){BiNode *p=bt;if(bt->lchild==NULL&&bt->rchild==NULL){//叶子结点bt=NULL;//该结点的双亲结点的相应孩子指针被赋值为空delete p;//返回时，其双亲的左右孩子指针均被赋值为NULL}if(bt->lchild==NULL){//该结点的左孩子为空，只有右子树bt=bt->rchild;delete p;}if(bt->rchild==NULL){//该结点的右孩子为空，只有左子树bt=bt->lchild;delete p;}else{//左右子树均存在，选取其前驱作为新的根结点BiNode *parent=bt,*pre=bt->lchild;while(pre->rchild){//找到左子树值最大的结点，parent保存这个结点的双亲结点parent=pre;pre=pre->rchild;}bt->data=pre->data;//用该结点的直接前驱替代该结点，并删除该结点的直接前驱if(parent==bt){parent->lchild=pre->lchild;}else{parent->rchild=NULL;}delete pre;}
}

二叉排序树的性能取决于二叉树的形状 

2.平衡二叉树 

2.1 定义：

平衡二叉树或者是一颗空树，或者是具有下列性质的二叉树：

• 是一棵二叉排序树
• 并且任何结点的左右子树的深度之差不超过1

2.2 构造平衡二叉树：

在插入过程中，采用平衡旋转技术。

1）平衡因子BF（Balance Factor）：

左子树高度 - 右子树高度的值

平衡因子的绝对值大于1，就需要进行调整。

2）最小不平衡子树：

距离插入结点最近的，且BF的绝对值大于1的结点。

旋转只需要纠正最小不平衡子树即可。

3）右旋：

• 旧根结点为新根结点的右子树
• 新根结点的右子树（如果存在）为旧根结点的左子树

4）左旋：

• 旧根结点为新根结点的左子树
• 新根结点的左子树（如果存在）为旧根结点的右子树

2.3 四种类型的旋转

1）LL型

2）RR型

3）LR型

最小不平衡子树根结点左子树先左旋，最小不平衡子树再右旋

4）RL型

最小不平衡子树根结点右子树先右旋，最小不平衡子树再左旋

 3.最优树——哈夫曼树

3.1哈夫曼编码

1）前缀码：

对每一个字符规定一个0，1串作为其代码，并要求任一字符的代码都不是其他字符代码的前缀。

2）前缀码的平均码长：

每个字符频率乘以该字符编码的bit数之和。

3）最优前缀码：

寻找最小的前缀码的平均码长。

4）最优树：

称树的带权路径长度最短的一类树为“最优树”。

3.2 哈夫曼树的构造

（1）初始化：
由给定的 n个权值构造n棵只有一个根结点的二叉树，从而得到一个二叉树集合。

（2）选取与合并：
在二叉树集合中选取根结点的权值最小的两颗二叉树分别作为左、右子树构造一颗新的二叉树，这颗新的二叉树的根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和。

（3）删除与加入
在二叉树集合中删去作为左、右子树的二叉树，并将新建立的二叉树加入到二叉树结合中。

（4）重复
重复（2）（3）两步，直到二叉树集合中只剩下一颗二叉树。

哈夫曼树的左右子树可以进行交换。

有n个叶子结点的哈夫曼树有2n-1个结点。
 

3.3 哈夫曼算法的实现：

1）存储结构：

weight

lchild

rchild

parent

 由于有n个叶子结点的哈夫曼树有2n-1个结点，设置数组长度为2n-1。

2）伪代码：

1.数组huffTree初始化：

所有元素结点的双亲、左右孩子都置为-1.

2.权值给定：

数组huffTree的前n个元素的权值给定

3.进行n-1次合并：

3.1 在二叉树集合中选取两个权值最小的根结点，其下标为i1，i2

3.2 将二叉树i1，i2合并为一棵新的二叉树

struct element{int weight;int lchild,rchild,parent;
};
void select(struct element huffTree[],int k,int &i1,int &i2){for(int i=0;i<k;i++){//初始化i1，i2if(huffTree[i].parent==-1){i1=i2=i;break;}}for(int i=0;i<k;i++){if(huffTree[i].parent==-1&&huffTree[i].weight<huffTree[i1].weight){i1=i;}}for(int i=0;i<k;i++){if(huffTree[i].parent==-1&&i!=i1&&huffTree[i].weight<huffTree[i2].weight){i2=i;}}
}
void huffmanTree(struct element huffTree[],int w[],int n){int i1,i2,i;for(i=0;i<2*n-1;i++){huffTree[i].parent=huffTree[i].lchild=huffTree[i].rchild=-1;}for(i=0;i<n;i++){huffTree[i].weight=w[i];}for(i=n;i<2*n-1;i++){select(huffTree, i, i1, i2);huffTree[i].weight=huffTree[i1].weight+huffTree[i2].weight;huffTree[i1].parent=i;huffTree[i2].parent=i;huffTree[i].lchild=i1;huffTree[i].rchild=i2;}
}

4.堆排序

 4.1 堆的定义：

堆通常是一个可以被看作一棵完全二叉树的数组对象。

每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值（称为小根堆）

或每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值（称为大根堆）

特点：

1.大根堆的根结点是所有结点中值最大的结点。

2.较大结点靠近根节点，但不绝对。

3.每次创建一个堆，都使数据基本有序。

4.2 堆排序的思想：

首先，将待排序的记录序列构造成一个堆（大根堆），此时，选出了堆中所有记录的最大者，然后将它从堆中移走，并将剩余的记录再调整成堆，这样，又找出了次大的记录，以此类推，直到堆中只有一个记录。

4.3 堆的存储：

将堆用顺序结构存储，则堆就对应了一组序列。

根据完全二叉树的性质：

结点i的双亲结点编号为i/2，左孩子为2i，右孩子为2i+1

4.4 堆调整：

在一棵完全二叉树中，根结点的左右子树均是堆，如何调整根结点，使整个完全二叉树成为一个堆？

建立堆，从下向上调整；调整堆时，从上向下处理。

首先，根和他两个孩子中较大的那个比较，如果根比较大，不做处理；如果根比较小，则交换，交换后，再去看交换的结果是否影响下面的堆。

4.5 如何处理堆顶元素？

堆顶就是r[1]。

第k次处理堆顶，就是将堆顶记录r[1]与r[n-k+1]交换。

4.6 代码：

void sift(int r[],int k,int end){//当前处理的根结点的编号为k，堆中最后一个结点的编号为kint i=k;int j=2*i;int temp;while(j<=end){if(j<end&&r[j]<r[j+1]){//找到左右孩子中较大的那个j++;}if(r[i]<r[j]){temp=r[i];r[i]=r[j];r[j]=temp;}i=j;j=2*i;}
}
void heapsort(int r[],int n){//初始化，得到一个初始堆for(int k=n/2;k>=1;k--){sift(r,k,n);}for(int k=1;k<n;k++){//最大的元素往后挪，堆逐渐缩小r[0]=r[1];r[1]=r[n-k+1];r[n-k+1]=r[0];sift(r,1,n-k);}
}

时间复杂度：

不稳定排序