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网络流总结

网络流总结

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      • 费用流建图实战
  • 最小割树

基础知识

\qquad 流网络是一个有源点 s s s 和汇点 t t t 的有向图(不考虑反向边),记为 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)。其中每一条边都有一个容量 c ( u , v ) c(u,v) c(u,v) 和一个流量 f ( u , v ) f(u,v) f(u,v)。对于该网络中的一个流 f f f,如果其满足两个条件:1、容量限制,即每条边都满足 0 ≤ f ( u , v ) ≤ c ( u , v ) 0\leq f(u,v)\leq c(u,v) 0f(u,v)c(u,v);2、流量守恒,即除去源点汇点以外,每个点 x x x 都满足 ∑ u ∈ V f ( u , x ) = ∑ v ∈ V f ( x , v ) \sum_{u\in V}f(u,x)=\sum_{v\in V}f(x,v) uVf(u,x)=vVf(x,v),那么我们称流 f f f 是流网络 G G G 的一个可行流。可行流的流量 ∣ f ∣ = ∑ u ∈ V f ( s , u ) − ∑ v ∈ V f ( v , s ) |f|=\sum_{u\in V}f(s,u)-\sum_{v\in V}f(v,s) f=uVf(s,u)vVf(v,s),即从源点流出的流量减去流入源点的流量。

\qquad 残留网络是针对于原图中的一个流来说的。即,我们只能说“流 f f f 的残留网络 G f G_f Gf”。残留网络对于原图中的每一条边都增加一条反向边,这条反向边的流量与原图中边的流量相等。可以将残留网络中的边理解为“退流”。

\qquad 两个可行流是可以相加减的,叠加的方式就是每条边上的流量对应相加减,而且得到的结果也一定是原图的一个可行流。

\qquad 如果一个流网络中存在一条路径,这条路径中的任意一条边都没有达到满流(即 f ( u , v ) < c ( u , v ) f(u,v)<c(u,v) f(u,v)<c(u,v)),那么我们称这条路径为一条增广路径

\qquad 流网络中的最大流指的是最大可行流,即第一要满足此流是一条可行流,其次要满足它的流量是本图所有可行流中最大的一个。

\qquad 流网络中的指的是将图中的所有点分为 S , T S,T S,T 两个点集,记作 C ( S , T ) C(S,T) C(S,T)。这两个点集要满足:1、 s ∈ S , t ∈ T s\in S,t\in T sS,tT;2、 S ∩ T = ∅ S\cap T=\emptyset ST=;3、 S ∪ T = V S\cup T=V ST=V。割的容量定义为: ∑ u ∈ S , v ∈ T c ( u , v ) \sum_{u\in S,v\in T}c(u,v) uS,vTc(u,v),割的流量定义为: ∑ u ∈ S , v ∈ T f ( u , v ) − ∑ u ∈ T , v ∈ S f ( u , v ) \sum_{u\in S,v\in T}f(u,v)-\sum_{u\in T,v\in S}f(u,v) uS,vTf(u,v)uT,vSf(u,v)。流网络中的最小割指的是容量最小

最大流最小割定理

\qquad 最大流最小割定理包含三条内容,这三条内容知一推二,分别是:1、可行流 f f f 是最大流;2、可行流 f f f 的残留网络中不存在增广路;3、存在某个割 C ( S , T ) C(S,T) C(S,T),满足 ∣ f ∣ = C ( S , T ) |f| = C(S,T) f=C(S,T)

最大流

\qquad 求最大流有两种算法: E K EK EK d i n i c dinic dinic

EK

\qquad 根据最大流最小割定理,我们可以得知,当残留网络中不存在增广路时,该残留网络对应的流 f f f 一定是最大流。 E K EK EK 算法便是基于这个原理,每次 b f s bfs bfs 找残留网络中的增广路并将其增广,直到网络中不存在增广路为止。

\qquad E K EK EK 算法时间复杂度为 O ( n m 2 ) O(nm^2) O(nm2),不过网络流算法记时间复杂度用处不大。思路很简单,实现也很容易。

const int maxn = 110;
const int maxm = 5010;
typedef long long LL;
int n, m, S, T;
struct pic {int to, lst;LL cap;
}edge[maxm << 1];
int head[maxn], tot = -1/*边从0开始编号,目的是方便成对变换*/, pre[maxn]/*记录每个点第一次被搜到的前驱边是哪一条*/;
queue < int > q;
LL d[maxn];//记录到达当前点时当前增广路径的最大流量inline void add(int x, int y, int z) {edge[++ tot] = {y, head[x], 1LL * z};head[x] = tot;
}bool bfs() {//寻找增广路memset(vis, 0, sizeof vis);while(!q.empty()) q.pop();q.push(S), vis[S] = 1, d[S] = 1e9 + 7;while(!q.empty()) {int x = q.front(); q.pop();for(int i = head[x]; ~i; i = edge[i].lst) {int y = edge[i].to;if(!vis[y] && edge[i].cap/*有流量时才有意义去搜*/) {d[y] = min(d[x], edge[i].cap);//更新最大流量vis[y] = 1, pre[y] = i;if(y == T) return 1;//找到了一条增广路q.push(y);}}}return 0;
}LL EK() {LL ans = 0;while(bfs()) {ans += d[T];for(int x = T; x != S; x = edge[pre[x] ^ 1/*成对变换*/].to) edge[pre[x]].cap -= d[T], edge[pre[x] ^ 1].cap += d[T];//对增广路进行增广操作}return ans;
}
//main中
memset(head, -1, sizeof head);
scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);
for(int i = 1, x, y, z; i <= m; i ++) {scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);add(x, y, z), add(y, x, 0)/*建残留网络,一开始流量都是0*/;
}
printf("%lld\n", EK());
}

dinic

\qquad E K EK EK 的基础之上,我们考虑优化。

\qquad E K EK EK 每次 b f s bfs bfs 只找出来了一条增广路进行增广,效率较低。 d i n i c dinic dinic 算法依据分层思想,每次找出多条增广路同时进行增广,而且还有三处小优化,总体时间复杂度 O ( n 2 m ) O(n^2m) O(n2m)不过法律规定网络流不许卡 dinic

bool bfs() {//找增广路memset(d, -1, sizeof d);//分层while(!q.empty()) q.pop();d[1] = 0/*源点层数为0*/, q.push(1), cur[1] = head[1];//当前弧优化while(!q.empty()) {int x = q.front(); q.pop();for(int i = head[x]; ~i; i = edge[i].lst) {int v = edge[i].to; LL w = edge[i].cap;if(d[v] == -1 && w) {d[v] = d[x] + 1/*记录点v在点x下一层*/, cur[v] = head[v];//记录从哪一条边开始跑if(v == n) return 1;q.push(v);}}}return 0;
}LL Find(int x, LL limit) {//limit:当前增广路径的最大流量if(x == n) return limit;//到了汇点LL flow = 0;//增广了多少流量for(int i = cur[x]; ~i && flow < limit/*优化1(最重要):当flow>limit,再搜下去就无意义了,因为无法继续增广了*/; i = edge[i].lst) {cur[x] = i;//优化2:当前弧优化int v = edge[i].to; LL w = edge[i].cap;if(d[v] == d[x] + 1/*判断点v是否是点x的下一层*/ && w) {LL t = Find(v, min(w, limit - flow));if(!t) d[v] = -1;//优化3:如果这个点往后的流量是0,说明通过此点无法进行增广,直接删除即可edge[i].cap -= t, edge[i ^ 1].cap += t, flow += t;}}return flow;
}LL dinic() {LL flow = 0, ans = 0;while(bfs()) while(flow = Find(1, INF)) ans += flow;return ans;
}

模型

二分图匹配

\qquad 例题:飞行员配对方案问题,圆桌问题。

\qquad 套路:用最大流中边的容量来对边进行限制。

无源汇上下界可行流

\qquad 问题:给定一个包含 n n n 个点 m m m 条边的有向图,每条边都有一个流量下界和流量上界。求一种可行方案使得在所有点满足流量平衡条件的前提下,所有边满足流量限制。

\qquad 对于上下界的限制,形式化写出来是: c l o w ( u , v ) ≤ f ( u , v ) ≤ c u p ( u , v ) c_{low}(u,v)\leq f(u,v)\leq c_{up}(u,v) clow(u,v)f(u,v)cup(u,v),我们可以选择让不等式同时减去 c l o w ( u , v ) c_{low}(u,v) clow(u,v) 从而变成只有上界的问题。但是减完之后可能会有点不满足流量守恒,此时我们需要建立超级源点、超级汇点,根据每个点是少流还是多流来对它们进行补偿或减少(即与源点连还是与汇点连)。而且为了保证这些点一定流量守恒,与源点、汇点相连的边必须要是满流的。所以我们连好与超级源点、汇点的边后,直接在新网络上跑最大流,如果跑出来的不是满流,那么原问题一定无解;否则,让新网络中每条边的流量加上原来的下界,就是原问题的一个可行流。

\qquad 核心 C o d e Code Code

for(int i = 1, a, b, c, d; i <= m; i ++) {scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d);add(a, b, d - c/*减去下节*/, c/*同时储存下界*/), add(b, a, 0, 0);A[a] -= c, A[b] += c;//记录每条边减去下界后,每个点流量的变化
}
int all = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++) {if(A[i] > 0) add(S, i, A[i], 0), add(i, S, 0, 0), all += A[i];//少流了,需要补else if(A[i] < 0) add(i, T, -A[i], 0), add(T, i, 0, 0);//多留了,需要放
}
if(dinic() < all) puts("NO");//不满流,无解
else {puts("YES");for(int i = 1; i <= (m << 1); i += 2) printf("%d\n", edge[i].cap + edge[i ^ 1].lower);//加上下界
}

有源汇上下界最大、最小流

\qquad 面对上下界,我们可以考虑建一条从汇点指向源点,容量为 I N F INF INF 的边,这样就转化为了无源汇上下界问题。我们可以先沿用无源汇上下界可行流的算法跑出一个可行流,然后将新添的边删去,再从源点向汇点跑出一个最大流,将这两个流相加便是答案。证明我也不太会……

\qquad 核心 C o d e Code Code

for(int i = 1, a, b, c, d; i <= m; i ++) {scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d);add(a, b, d - c), add(b, a, 0);A[a] -= c, A[b] += c;
}
int all = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++) {if(A[i] > 0) add(S, i, A[i]), add(i, S, 0), all += A[i];else if(A[i] < 0) add(i, T, -A[i]), add(T, i, 0);
}
add(t, s, INF), add(s, t, 0);//添加一条t->s,INF的边
if(dinic() < all) puts("No Solution");
else {int res = edge[tot].cap;//跑出来的可行流,注意不是dinic返回的流,因为dinic返回的是S到T的,我们需要的是s到t的edge[tot].cap = edge[tot ^ 1].cap = 0, S = s, T = t;printf("%d\n", res + dinic());
}

\qquad 对于最小流,我们让上述代码输出 r e s − d i n i c ( ) res-dinic() resdinic() 即可。证明我还是不会……

多源汇最大流

\qquad 超级源点指向各个源点,各个汇点指向超级汇点,然后跑最大流即可。

最大流之关键边

\qquad 问题:如果升高一条边的容量可以使得最大流变大,那么我们称这条边为“关键边”。现在求网络中有几条“关键边”。

\qquad 我们思考,什么样的边可以成为关键边?

\qquad 在跑完最大流后,如果存在一条路径,这条路径中只有一条边是满流的,那么这条边一定是关键边。证明也很显然。那么,我们只需跑完最大流后,分别从源点和汇点开始 d f s dfs dfs,每次只走没满流的边。搜完之后,如果一条边的两端点分别被源点和汇点搜到,那么它一定是关键边。

最大流之拆点

\qquad 当我们有时要对点进行限制时,我们可以考虑拆点,在拆出的点之间加边来满足对点的限制。

\qquad 例题:[USACO07OPEN] Dining G,最长不下降子序列问题。

最大流建图实战

\qquad 例题:MPIGS - Sell Pigs,[SCOI2007] 蜥蜴,清理雪道。

最小割

\qquad 根据“最大流最小割定理”,我们可以得知,网络中最小割的容量就是最大流的流量,所以我们完全可以用求最大流的方法求最小割。

\qquad 但是,如果让求最小割的方案,怎么办呢?

\qquad 参考最大流求关键边的做法,我们可以从源点开始 d f s dfs dfs,每次只走没满流的边。最后如果有一条边的两个端点有一个被搜到了,另一个没有,那么这条边就要被割开。这也就意味着,整个图可以被分为“被搜到的点”和“没被搜到的点”两个点集。这样,其中一个合法方案就求出来了。

模型

最大权闭合子图

\qquad 对于图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E),如果它的一个子图 G ′ = ( V ′ , E ′ ) G'=(V',E') G=(V,E) 满足 V ′ V' V 中的任意一个点的任意一条出边都在 E ′ E' E 内,那么就称 G ′ G' G G G G 的一个闭合子图。如果给每个点附上点权(可为负),那么点权最大的一个闭合子图称为最大权闭合子图

\qquad 如果给出一个带点权的图,我们怎么求解它的最大权闭合子图呢?

\qquad 首先,我们分别建立超级源点、超级汇点,超级源点指向所有正点权的点,边权为这个点的点权;所有负点权的点指向超级汇点,边权为这个点点权的绝对值;对于原图中的边,正常建在网络上,边权为 I N F INF INF。此时,我们设所有正点权的点的点权和为 r r r。建好图之后,在图上跑一个最小割,设这个最小割的权值是 s s s,那么原图的最大权闭合子图的权值便是 r − s r-s rs

\qquad 例题:[NOI2006] 最大获利,太空飞行计划问题,[NOI2009] 植物大战僵尸。

最大密度子图

\qquad 我们定义一个图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 的密度为 ∣ E ∣ ∣ V ∣ \frac{|E|}{|V|} VE,最大密度子图指的便是图 G G G 中使得 ∣ E ′ ∣ ∣ V ′ ∣ \frac{|E'|}{|V'|} VE 最大的子图 G ′ = ( V ′ , E ′ ) G'=(V',E') G=(V,E)

\qquad 既然是要让一个分式最大,那么就一定要用到 0 / 1 0/1 0/1 分数规划。设当前二分的值为 g g g,那么我们就要尽可能找到 ∣ E ′ ∣ − g ∣ V ′ ∣ |E'|-g|V'| EgV 的最大值。在求最大值的过程中,我们可以借助最小割来推导式子并求解。

\qquad 核心 C o d e Code Code

bool check(db x) {memset(head, -1, sizeof head), tot = -1;for(int i = 1; i <= m; i ++) add(E[i].first, E[i].second, 1), add(E[i].second, E[i].first, 1);for(int i = 1; i <= n; i ++) add(S, i, m), add(i, S, m), add(i, T, 1.0 * m + 2 * x - du[i]), add(T, i, 1.0 * m + 2 * x - du[i]);//m:赋的一个偏移量return 1.0 * m * n - dinic() > 0.0;
}

最小点权覆盖集

\qquad 问题:给定一张有向图,我们现在需要覆盖这张有向图中的所有边。对于一个点 i i i,我们可以花费 W i + W_i^+ Wi+ 的代价覆盖所有指向它的边,花费 W i − W_i^- Wi 的代价覆盖所有它指出的边,问最小需要花费多少代价?

\qquad 对于这种有向图问题,我们可以考虑拆点套路,将一个点拆成 i i i i + n i+n i+n 两个点。如果是无向图,那就直接连边即可。然后我们建立超级源点,从超级源点引一条容量为 W i + W_i^+ Wi+ 的边指向点 i i i;再建立超级汇点,从 i + n i+n i+n 引一条容量为 W i − W_i^- Wi 的边指向超级汇点。对于原图中的一条有向边 ( x , y ) (x,y) (x,y),我们引一条从 x x x 指向 y + n y+n y+n,容量为 I N F INF INF 的边。此时,我们跑出的最小割便是最小代价。

\qquad 跑完之后,我们遍历从源点指出的边。如果源点指向 v v v 的边满流了,就说明我们要选择 W u + W_u^+ Wu+;最后,我们遍历一遍所有边,如果边 ( x , y ) (x,y) (x,y) 此时没有选 W y + W_y^+ Wy+,那么我们就要选择 W x − W_x^- Wx。这样我们就得到了一组合法方案。

最大点权独立集

\qquad 问题:给定一张图,每个点有点权,我们需要选出一些点使得这些点在没有边相连的基础上点权和最大。

\qquad 根据经典结论:最大权独立=总-最小权覆盖,所以我们还按照上一种类型建边,跑出最小覆盖后用总点权减去最小覆盖即可。

最小割建图实战

\qquad 例题:CABLETV - Cable TV Network,骑士共存问题,文理分科。

费用流

\qquad 费用流全称为“最小费用最大流”或“最大费用最大流”,它是建立在最大流的基础之上的。费用流问题中,每条边不仅有容量,还有一个费用 w w w,表示每流过单位流量,就会产生 w w w 的费用。费用流的算法基础是最大流的 E K EK EK,只不过把中间 b f s bfs bfs 的过程改为了 s p f a spfa spfa 求最短路(即最小花费)。

EK

\qquad 大体跟最大流的 E K EK EK 很像,只是改了 b f s bfs bfs s p f a spfa spfa,还是很好理解的。

\qquad 核心 C o d e : Code: Code:

inline void add(int a, int b, int c, int d) {edge[++ tot] = {b, head[a], c, d}, head[a] = tot;edge[++ tot] = {a, head[b], 0, -d}, head[b] = tot;//注意,残留网络中边的费用是-d
}bool spfa() {memset(incf, 0, sizeof incf), memset(dis, 0x7f, sizeof dis);//incf:最大流量 dis:最小费用dis[S] = 0, incf[S] = INF, q.push(S), vis[S] = 1;while(!q.empty()) {int x = q.front(); q.pop(), vis[x] = 0;for(int i = head[x]; ~i; i = edge[i].lst) {int To = edge[i].to, Val = edge[i].val, Cost = edge[i].cost;if(Val && dis[To] > dis[x] + Cost) {dis[To] = dis[x] + Cost;incf[To] = min(incf[x], Val);pre[To] = i;if(!vis[To]) q.push(To), vis[To] = 1;}}}return incf[T] > 0;//判断能否跑到汇点
}void EK(int &flow, int &cost) {
[添加链接描述](https://www.luogu.com.cn/problem/P4015)	while(spfa()) {flow += incf[T], cost += incf[T] * dis[T];//flow:最大流 cost:最小费用for(int i = T; i != S; i = edge[pre[i] ^ 1].to) edge[pre[i]].val -= incf[T], edge[pre[i] ^ 1].val += incf[T];}return ;
}

模型

\qquad 费用流的题目较好写(?),主要有一类是费用流与上下界最大流的结合。

费用流与上下界最大流结合

\qquad 例题:[NOI2008]志愿者招募。

\qquad 带上下界,我们仍旧采取减去下界的方式转化。但是本题还有一个最主要的问题在于:一个志愿者工作的是一段区间,是“一对多”,这是正常建边无法做到的。遇到这种情况,我们可以考虑从区间终点向区间起点连一条边,转化为无源汇可行流来做即可。

费用流建图实战

\qquad 例题:餐巾计划问题,运输问题,负载平衡问题,分配问题,深海机器人问题,数字梯形问题,K取方格数。

最小割树

\qquad 最小割树上,任意两点路径上边权最小值为这两点的最小割权值。

\qquad 模板(核心 C o d e Code Code):

void build(int l, int r) {if(l == r) return ;S = id[l], T = id[r];Add(id[l], id[r], dinic());int tmps1 = 0, tmps2 = 0;for(int i = l; i <= r; i ++) {if(d[id[i]] != -1) tmp1[++ tmps1] = id[i];else tmp2[++ tmps2] = id[i];}for(int i = l; i <= l + tmps1 - 1; i ++) id[i] = tmp1[i - l + 1];for(int i = l + tmps1; i <= r; i ++) id[i] = tmp2[i - (l + tmps1) + 1];build(l, l + tmps1 - 1), build(l + tmps1, r);
}

\qquad 例题:最小割树模板,[CQOI2016] 不同的最小割,[ZJOI2011]最小割,Pumping Stations。

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Vue3.0Echarts &#xff08;可视化界面&#xff09; 1. 简介2. 安装2.1 下载安装Node.js2.2 全局下载项目脚手架2.3 创建项目 1. 简介 2. 安装 2.1 下载安装Node.js 2.2 全局下载项目脚手架 以管理员身份执行 npm install -g vue/cli vue --version2.3 创建项目 vue crea…...

编程语言的未来:探索技术进步的轨迹

编程语言的未来&#xff1a;探索技术进步的轨迹 随着科技的飞速发展&#xff0c;编程语言在计算机领域中扮演着至关重要的角色。它们是软件开发的核心&#xff0c;为程序员提供了与机器沟通的桥梁。然而&#xff0c;未来的技术进步将如何影响编程语言的走向呢&#xff1f;让我…...

SOLIDWORKS使用技巧——SOLIDWORKS草图绘制时一定要完全定义

SOLIDWORKS草图的定义状态有多种&#xff0c;按是否报错区分&#xff0c;如下&#xff1a; 1. 正常状态&#xff1a;欠定义、完全定义&#xff1b; 2. 错误状态的&#xff1a;过定义、悬空、无解&#xff1b; 其中&#xff0c;错误状态需要修复&#xff0c;不然会影响模型重…...

网络类型之GRE和MGRE和NHRP

GRE-通用路由封装 是一种简单的三层VPN封装技术&#xff0c;属于虚拟的点到点网络类型 优点&#xff1a;支持IP 网络作为承载网络、支持多种协议、支持IP 组播&#xff0c;配置简单&#xff0c;容易布署。 缺点&#xff1a;缺少保护功能&#xff0c;不能执行如认证、加密、以…...

uniapp获取日期

1.使用new Date()方法获取系统今天的日期&#xff0c;显示格式为&#xff1a;2023-10-28 <template><view class"content">{{date}}</view> </template> <script>export default {data() {return {date: new Date().toISOString().sl…...

编码和解码的未来之路

hello&#xff0c;我是小索奇。在计算机科学的世界中&#xff0c;编码和解码是无处不在的神奇力量&#xff0c;而现代技术的巅峰之一就是 ChatGPT。让我们一起探讨编码和解码如何与 ChatGPT 这一人工智能的杰作相互结合&#xff0c;打开了无限可能的数字世界之门。 ChatGPT的魔…...

Prometheus实战篇:Prometheus监控redis

准备环境 docker-compose安装redis docker-compose.yaml version: 3 services:redis:image:redis:5container_name: rediscommand: redis-server --requirepass 123456 --maxmemory 512mbrestart: alwaysvolumes:- /data/redis/data: /dataport:- "6379:6379"dock…...

Vue2.Hello World

步骤&#xff1a; 准备容器引包&#xff08;开发版本/生产版本&#xff09;创建实例new Vue()添加配置项 el指定挂载点data提供数据 准备容器 就是新建一个div标签 引包 vue2版本中文文档&#xff1a;https://v2.cn.vuejs.org/v2/guide/ 尝试 Vue.js 最简单的方法是使用 …...

【单片机项目实战】温度控制系统

本项目的主要作用是实现温度调控&#xff0c;通过设定一个预定的温度值&#xff0c;实现实时检测外界温度&#xff0c;当外界温度小于预定值时&#xff0c;电机正转&#xff0c;实现降温效果&#xff1b;当外界温度大于预定值时&#xff0c;电机反转&#xff0c;实现升温效果&a…...

SpringMVC-视图

SpringMVC中的视图实现了View接口&#xff0c;作用是渲染数据&#xff0c;将Model中的数据展示给用户。render是渲染方法&#xff0c;可以看到渲染的视图是一个View类型的对象。 SpringMVC视图的种类有很多&#xff0c;默认有转发视图和重定向视图。 如果配置了Thymeleaf视图解…...

【React系列】Hook(一)基本使用

本文来自#React系列教程&#xff1a;https://mp.weixin.qq.com/mp/appmsgalbum?__bizMzg5MDAzNzkwNA&actiongetalbum&album_id1566025152667107329) 一. 认识hook 1.1. 为什么需要hook Hook 是 React 16.8 的新增特性&#xff0c;它可以让我们在不编写class的情况下…...

算法训练营Day28

#Java #贪心 开源学习资料 Feeling and experiences&#xff1a; 这周来到了贪心算法&#xff0c;简要概述&#xff1a; 贪心算法是一种在每个步骤中都采取最优解&#xff08;即&#xff0c;在当前看来最好的解&#xff09;的算法设计策略。它通常用于求解优化问题。这种方…...

鸿蒙OS应用开发之日期选择

前面学习了时间选择组件,实现了时间的选择,这样非常方便用户进行时间的输入,通过手动就可以输入时间,比直接文本输入要省不少时间,特别对于手机这样单手操作的设备,更加重要了。因此,日期的输入工作也不能落后,本文将要学习日期选择组件,这样就可以实现日期通过手上下…...

Mysql 查看表注释或字段注释

查看所有表的注释 SELECT table_name 表名, table_comment 表说明 FROM information_schema.TABLES WHERE table_schema ‘数据库名’ ORDER BY table_name 查询所有表及字段的注释 SELECT a.table_name 表名, a.table_comment 表说明, b.COLUMN_NAME 字段名, b.column_commen…...

求个网站没封的/百度搜索排行榜风云榜

jgit 打版本tagJGit和EGit实现的新版本发布 Git SCM的JGit和EGit实现的1.1版已经发布。 JGit 1.1添加了新的Git瓷器命令和命令选项&#xff0c;包括ReflogCommand&#xff0c;DeleteTagCommand和DiffCommand&#xff0c;并且ResetCommand现在支持在特定目录上进行递归重置。 在…...

自己做网站开微店可行吗/做百度推广的网络公司广州

症状&#xff1a;无法备份。 在 drop table 时报错&#xff1a; Location: AllocPageRef.cpp:62Expression: aid idSPID: 71Process ID: 4388 &#xff08;这个是sqlserver 的进程&#xff09; 消息 3624&#xff0c;级别 20&#xff0c;状态 1&#xff0c;第 1 行系统…...

广东省两学一做网站/油烟机seo关键词

写在前面 对 CSS 布局掌握程度决定你在 Web 开发中的开发页面速度。随着 Web 技术的不断革新&#xff0c;实现各种布局的方式已经多得数不胜数了。 最近利用碎片时间&#xff0c;大概用了半个月的时间整理了一个系列&#xff0c;本系列文章总结了 CSS 中的各种布局&#xff0…...

做网站优化好的网络公司/引擎优化是什么工作

原文链接&#xff1a;http://tecdat.cn/?p8287​tecdat.cn介绍缺失值被认为是预测建模的首要障碍。因此&#xff0c;掌握克服这些问题的方法很重要。估算缺失值的方法的选择在很大程度上影响了模型的预测能力。在大多数统计分析方法中&#xff0c;按列表删除是用于估算缺失值的…...

金昌市住房和城乡建设局网站/英文seo

今日主要简单了解面向对象思想以及类的介绍 万物皆对象 面向对象主要有三大特性 一、封装 二、继承 三、多态 将现实生活中实际存在的东西&#xff0c;抽象的提取成程序中的类&#xff0c;对类进行统一的操作&#xff0c;都是以类为基本单元。 面向对象使用的好处 1、使程序结构…...

南京便宜网站建设/百度关键词推广工具

好&#xff0c;能跑起来就说明两个问题&#xff0c;一&#xff0c;加载器成功了&#xff0c;二&#xff0c;我没蒙错。接下来就开始来点稍干的了&#xff0c;先看代码public function onRequest($request,$response){$response->end("hello");}这个 onRequest 是H…...