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[足式机器人]Part4 南科大高等机器人控制课 CH12 Robotic Motion Control

本文仅供学习使用
本文参考:
B站:CLEAR_LAB
笔者带更新-运动学
课程主讲教师:
Prof. Wei Zhang
课程链接 :
https://www.wzhanglab.site/teaching/mee-5114-advanced-control-for-robotics/

南科大高等机器人控制课 Ch12 Robotic Motion Control

  • 1. Basic Linear Control Design
    • 1.1 Error Response
    • 1.2 Standard Second-Order Systems
    • 1.3 Second-Order Response Characteristics
    • 1.4 State-Space Controller Design
  • 2. Motion Control Problems
    • 2.1 Robotic Motion Control Problem
    • 2.2 Variations in Robot Motion Control
  • 3. Motion Control with Velocity/Acceleration as Input
    • 3.1 Velocity-Resolved Control
      • 3.2.1 Velocity-Resolved Joint Space Control
      • 3.2.2 Velocity-Resolved Task Space Control
    • 3.2 Acceleration-Resolved Control
      • 3.2.1 Acceleration-Resolved Control in Joint Space
      • 3.2.2 Acceleration-Resolved Control in Task Space
  • 4. Motion Control with Torque as Input and Task Space Inverse Dynamics
    • 4.1 Recall Properties of Robot Dynamics
    • 4.2 Computed Torque Control
    • 4.3 Inverse Dynamics Control


机器人——运动能力、计算能力、感知决策能力 的机电系统

1. Basic Linear Control Design

1.1 Error Response

在这里插入图片描述
Steady-state error : e s s = lim ⁡ t → ∞ θ e ( t ) e_{\mathrm{ss}}=\underset{t\rightarrow \infty}{\lim}\theta _{\mathrm{e}}\left( t \right) ess=tlimθe(t)

Precent overshoot : P.O.

Rise time / Peak time :

Settling time : T s T_{\mathrm{s}} Ts

1.2 Standard Second-Order Systems

详细推导见 : (待补充)
在这里插入图片描述

1.3 Second-Order Response Characteristics

详细推导见 : (待补充)
在这里插入图片描述

1.4 State-Space Controller Design

在这里插入图片描述

  • Eigenvalue assignment : Find control gain K K K such that e i g ( A − B K ) = e i g d e s i r e d eig\left( A-BK \right) =eig_{\mathrm{desired}} eig(ABK)=eigdesired
  • Solvability : We can always find such K K K if ( A , B ) \left( A,B \right) (A,B) is controllable ( r a n k ( m c ) = n rank\left( m_{\mathrm{c}} \right) =n rank(mc)=n)
  • How to choose desired eigs? —— refer to 2nd-order system
    specification (P.O. T s T_{\mathrm{s}} Ts T p T_{\mathrm{p}} Tp) ⇒ a r t \overset{art}{\Rightarrow} art dominant poles + other poles ⇒ \Rightarrow e i g d e s i r e d eig_{\mathrm{desired}} eigdesired ⇒ s c i e n c e \overset{science}{\Rightarrow} science K K K

2. Motion Control Problems

2.1 Robotic Motion Control Problem

Dynamic equation of fully-acuated robot (with external force) : { τ = M ( q ) q ¨ + c ( q , q ˙ ) q ˙ + g ( q ) + J T ( q ) F e x t y = h ( q ) \begin{cases} \tau =M\left( q \right) \ddot{q}+c\left( q,\dot{q} \right) \dot{q}+g\left( q \right) +J^{\mathrm{T}}\left( q \right) \mathcal{F} _{\mathrm{ext}}\\ y=h\left( q \right)\\ \end{cases} {τ=M(q)q¨+c(q,q˙)q˙+g(q)+JT(q)Fexty=h(q)
q ∈ R n q\in \mathbb{R} ^n qRn : joint positions (generalized coordinate)
τ ∈ R n \tau \in \mathbb{R} ^n τRn : joint torque (generalized input)
y y y : output (variable to be controlled) —— can be any func of q q q , e.g. y = q , y = [ T ( q ) ] ∈ S E ( 3 ) y=q,y=\left[ T\left( q \right) \right] \in SE\left( 3 \right) y=q,y=[T(q)]SE(3)

  • Motion Control Problems : Let y y y track given reference y d y_{\mathrm{d}} yd
    在这里插入图片描述
    often times q d q_{\mathrm{d}} qd is given by planner represented by polynomials , so that q ˙ d , q ¨ d \dot{q}_{\mathrm{d}},\ddot{q}_{\mathrm{d}} q˙d,q¨d can be easily obtained

2.2 Variations in Robot Motion Control

  • Joint-space vs. Task-space control
    Joint-space : y ( t ) = q ( t ) y\left( t \right) =q\left( t \right) y(t)=q(t) , i.e. , want q ( t ) q\left( t \right) q(t) to track a given q d ( t ) q_{\mathrm{d}}\left( t \right) qd(t) joint reference
    Task-space : y ( t ) = [ T ( q ( t ) ) ] ∈ S E ( 3 ) y\left( t \right) =\left[ T\left( q\left( t \right) \right) \right] \in SE\left( 3 \right) y(t)=[T(q(t))]SE(3) denotes end-effector pose/configuration, we want y ( t ) y\left( t \right) y(t) to track y d ( t ) y_{\mathrm{d}}\left( t \right) yd(t)

  • Actuation models:
    Velocity source : u = q ˙ u=\dot{q} u=q˙ —— directly control velocity
    Acceleration sources : u = q ¨ u=\ddot{q} u=q¨ —— directly control acceleration
    Torque sources : u = τ u=\tau u=τ —— directly control torque
    在这里插入图片描述
    Acutation model make sense if for ant given u u u , the joint velocity q ˙ \dot{q} q˙ can immediatly reach u u u

Motion Control Problem
Design u u u to set y y y track desired reference y d y_{\mathrm{d}} yd

  • Depending on our assumption on u / y u/y u/y
    output y y y —— 6大基本问题
    y ↔ q ∈ R n y\leftrightarrow q\in \mathbb{R} ^n yqRn - joint variable : Joint space motion control (Velocity-resolved Joint-space control ; Acceleration-resolved Joint-space control ; Torque-resolved Joint-space control ; )
    y ↔ [ T ( q ) ] ∈ S E ( 3 ) y\leftrightarrow \left[ T\left( q \right) \right] \in SE\left( 3 \right) y[T(q)]SE(3) or y = f ( q ) y=f\left( q \right) y=f(q) - task space variable - e.g. origin of end-effector frame : Task space motion control (Velocity-resolved Task-space ; Acceleration-resolved Task-space ; Torque-resolved Task-space ; )

Linear control / feedback lineariazation

3. Motion Control with Velocity/Acceleration as Input

3.1 Velocity-Resolved Control

Each joints’ velocity q ˙ i \dot{q}_{\mathrm{i}} q˙i can be directly controlled

Good approximation for hydraulic actuators

Common approxiamtion of the outer-loop control for the Inner / outer loop control setup
在这里插入图片描述

3.2.1 Velocity-Resolved Joint Space Control

Joint-space ‘dynamics’ : single integrator q ˙ = u \dot{q}=u q˙=u

Joint-space tracking becomes standard linear tracking control problem : u = q ˙ d + K 0 q ¨ ⇒ q ~ ˙ + K 0 q ¨ = 0 u=\dot{q}_{\mathrm{d}}+K_0\ddot{q}\Rightarrow \dot{\tilde{q}}+K_0\ddot{q}=0 u=q˙d+K0q¨q~˙+K0q¨=0 , where q ~ = q d − q \tilde{q}=q_{\mathrm{d}}-q q~=qdq is the joint position error. —— stable if e i g ( − K 0 ) ∈ O L H P eig\left( -K_0 \right) \in OLHP eig(K0)OLHP

The error dynamic is stable if − K 0 -K_0 K0 is Hurwitz

3.2.2 Velocity-Resolved Task Space Control

For task space control , y = [ T ( q ) ] y=\left[ T\left( q \right) \right] y=[T(q)] needs to track y d y_{\mathrm{d}} yd , y y y can be ant function of q q q, in particular , it can represents position and/or the end-effector frame

Taking derivatives of y y y , and letting u = q ˙ u=\dot{q} u=q˙ , we have : y ˙ = J a ( q ) u \dot{y}=J_{\mathrm{a}}\left( q \right) u y˙=Ja(q)u
Note that q q q is function of y y y through inverse kinematics ( q = I K ( y ) q=IK\left( y \right) q=IK(y))
So the above dynamics can be written in terms of y y y and u u u only. The detailed form can be quite complex in general y ˙ = J a ( I K ( y ) ) u \dot{y}=J_{\mathrm{a}}\left( IK\left( y \right) \right) u y˙=Ja(IK(y))u

  1. Let v y v_{\mathrm{y}} vy be virtual control y ˙ = v y \dot{y}=v_{\mathrm{y}} y˙=vy design v y v_{\mathrm{y}} vy to track y d y_{\mathrm{d}} yd (same as above)
  2. Find actual control u u u such that J a ( I K ( y ) ) u ≈ v y J_{\mathrm{a}}\left( IK\left( y \right) \right) u\approx v_{\mathrm{y}} Ja(IK(y))uvy

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
We can design outer-loop controller as if we can directly control y ˙ \dot{y} y˙
y ˙ = v y = y ˙ d + K ( y d − y ) ⟹ p l u g i n y ˙ = v y y ~ ˙ = − K y ~ \dot{y}=v_{\mathrm{y}}=\dot{y}_{\mathrm{d}}+K\left( y_{\mathrm{d}}-y \right) \overset{plug\,\,in\,\,\dot{y}=v_{\mathrm{y}}\,\,}{\Longrightarrow}\dot{\tilde{y}}=-K\tilde{y} y˙=vy=y˙d+K(ydy)pluginy˙=vyy~˙=Ky~
We can select K K K such that − K -K K is Hurtwiz , object of inner loop : determine u = q ˙ u=\dot{q} u=q˙ such that y ˙ ≈ v y \dot{y}\approx v_{\mathrm{y}} y˙vy

System(2) is nonlinear system , a commeon way is to break it into inner-outer loop , where the outer loop directly control velocity of y y y, and the inner loop tries to find u u u to generate desired task space velocity

Outer loop : y ˙ = v y \dot{y}=v_{\mathrm{y}} y˙=vy , where control v y = y ˙ d + K 0 y ~ v_{\mathrm{y}}=\dot{y}_{\mathrm{d}}+K_0\tilde{y} vy=y˙d+K0y~ , resulting in task-space closed-loop error dynamics: y ~ ˙ + K 0 y ~ = 0 \dot{\tilde{y}}+K_0\tilde{y}=0 y~˙+K0y~=0

Above task space tracking relies on a fictitious control v y v_{\mathrm{y}} vy , i.e. , it assumes y ˙ \dot{y} y˙ can be arbitrarily controlled by selecting appropriate u = q ˙ u=\dot{q} u=q˙ , which is true if J a J_{\mathrm{a}} Ja is full-row rank

Inner loop : Given v y v_{\mathrm{y}} vy from the outer loop, find the joint velocity control by solving
{ min ⁡ u ∥ v y − J a ( q ) u ∥ 2 + r e g u l a r i z a t i o n t e r m s u b j . t o : C o n s t r a i n t s o n u , e . g . { q ˙ min ⁡ ⩽ u ⩽ q ˙ max ⁡ q min ⁡ ⩽ q + u Δ t ⩽ q max ⁡ \begin{cases} \min _{\mathrm{u}}\left\| v_{\mathrm{y}}-J_{\mathrm{a}}\left( q \right) u \right\| ^2+regularization\,\,term\\ subj.to\,\,: Constraints\,\,on\,\,u\,\,, e.g.\begin{cases} \dot{q}_{\min}\leqslant u\leqslant \dot{q}_{\max}\\ q_{\min}\leqslant q+u\varDelta t\leqslant q_{\max}\\ \end{cases}\\ \end{cases} minuvyJa(q)u2+regularizationtermsubj.to:Constraintsonu,e.g.{q˙minuq˙maxqminq+uΔtqmax
Inner-loop is essentially a differential IK controller
One can also use the pseudo-inverse control u = J a † v y u={J_{\mathrm{a}}}^{\dagger}v_{\mathrm{y}} u=Javy

3.2 Acceleration-Resolved Control

3.2.1 Acceleration-Resolved Control in Joint Space

Joint acceleration cna be directly controlled , resulting in double-integrator dynamics q ¨ = u \ddot{q}=u q¨=u . Given q d q_{\mathrm{d}} qd reference , we want q → q d q\rightarrow q_{\mathrm{d}} qqd (double integartor)

Joint-space tracking becomes standard linear tracking control problem for double-integrator system:
u = q ¨ d + K 1 q ~ ˙ + K 0 q ~ = 0 , q ~ ∈ R n u=\ddot{q}_{\mathrm{d}}+K_1\dot{\tilde{q}}+K_0\tilde{q}=0,\tilde{q}\in \mathbb{R} ^n u=q¨d+K1q~˙+K0q~=0,q~Rn
—— PD control , closed-loop system , where q ~ = q d − q \tilde{q}=q_{\mathrm{d}}-q q~=qdq is the joint position error.

Stablility condition : Let x = [ q ~ q ~ ˙ ] ∈ R 2 n x=\left[ \begin{array}{c} \tilde{q}\\ \dot{\tilde{q}}\\ \end{array} \right] \in \mathbb{R} ^{2n} x=[q~q~˙]R2n , [ 0 E − K 0 − K 1 ] [ q ~ q ~ ˙ ] , x ˙ = A x \left[ \begin{matrix} 0& E\\ -K_0& -K_1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \tilde{q}\\ \dot{\tilde{q}}\\ \end{array} \right] ,\dot{x}=Ax [0K0EK1][q~q~˙],x˙=Ax
closed-loop system is stable . if e i g ( A ) ∈ O L H P eig\left( A \right) \in OLHP eig(A)OLHP or A A A is Hurwitz

3.2.2 Acceleration-Resolved Control in Task Space

For task space control , y = [ T ( q ) ] ∈ S E ( 3 ) y=\left[ T\left( q \right) \right] \in SE\left( 3 \right) y=[T(q)]SE(3) needs to track y d y_{\mathrm{d}} yd
在这里插入图片描述
Note : For y = f ( q ) y=f\left( q \right) y=f(q) y ˙ = J a ( q ) q ˙ \dot{y}=J_{\mathrm{a}}\left( q \right) \dot{q} y˙=Ja(q)q˙ and y ¨ = J ˙ a ( q ) q ˙ + J a ( q ) q ¨ ⇒ y ¨ = J ˙ a ( q ) q ˙ + J a ( q ) u ⇐ \ddot{y}=\dot{J}_{\mathrm{a}}\left( q \right) \dot{q}+J_{\mathrm{a}}\left( q \right) \ddot{q}\Rightarrow \ddot{y}=\dot{J}_{\mathrm{a}}\left( q \right) \dot{q}+J_{\mathrm{a}}\left( q \right) u\Leftarrow y¨=J˙a(q)q˙+Ja(q)q¨y¨=J˙a(q)q˙+Ja(q)u nonlinear dynamics

Following the same inner-outer loop strategy deiscussed before . Introduce virtual control , a y a_{\mathrm{y}} ay such that y ¨ = a y \ddot{y}=a_{\mathrm{y}} y¨=ay , we can design controller for a y a_{\mathrm{y}} ay to let y → y d y\rightarrow y_{\mathrm{d}} yyd

Outer-loop dynamics : y ¨ = a y \ddot{y}=a_{\mathrm{y}} y¨=ay , with a y a_{\mathrm{y}} ay being the outer-loop control input a y = y ¨ d + K 1 y ~ ˙ + K 0 y ~ ⇒ y ~ ¨ + K 1 y ~ ˙ + K 0 y ~ = 0 a_{\mathrm{y}}=\ddot{y}_{\mathrm{d}}+K_1\dot{\tilde{y}}+K_0\tilde{y}\Rightarrow \ddot{\tilde{y}}+K_1\dot{\tilde{y}}+K_0\tilde{y}=0 ay=y¨d+K1y~˙+K0y~y~¨+K1y~˙+K0y~=0
在这里插入图片描述
—— PD control , stable if [ 0 E − K 0 − K 1 ] \left[ \begin{matrix} 0& E\\ -K_0& -K_1\\ \end{matrix} \right] [0K0EK1] Hurwitz

Inner-loop : given a y a_{\mathrm{y}} ay from outer loop , find the “best” joint acceleration:
{ min ⁡ u ∥ a y − J ˙ a ( q ) q ˙ − J a ( q ) u ∥ 2 + r e g u l a r i z a t i o n t e r m s u b j . t o : C o n s t r a i n t s o n u \begin{cases} \min _{\mathrm{u}}\left\| a_{\mathrm{y}}-\dot{J}_{\mathrm{a}}\left( q \right) \dot{q}-J_{\mathrm{a}}\left( q \right) u \right\| ^2+regularization\,\,term\\ subj.to\,\,: Constraints\,\,on\,\,u\,\,\\ \end{cases} minu ayJ˙a(q)q˙Ja(q)u 2+regularizationtermsubj.to:Constraintsonu
—— u u u : optimization variable , J ˙ a ( q ) , q ˙ , q \dot{J}_{\mathrm{a}}\left( q \right) ,\dot{q},q J˙a(q),q˙,q - known
{ A c c : q ¨ min ⁡ ⩽ u ⩽ q ¨ max ⁡ V e l : q ˙ min ⁡ ⩽ q + u Δ t ⩽ q ˙ max ⁡ \begin{cases} Acc\,\,: \ddot{q}_{\min}\leqslant u\leqslant \ddot{q}_{\max}\\ Vel\,\,: \dot{q}_{\min}\leqslant q+u\varDelta t\leqslant \dot{q}_{\max}\\ \end{cases} {Acc:q¨minuq¨maxVel:q˙minq+uΔtq˙max

Mathematically , the above problem is the same as the Differential IK problem

At any given time , q ˙ , q \dot{q},q q˙,q can be measured , and then y , y ˙ y,\dot{y} y,y˙ can be computed, which allows us to compute outer loop control a y a_{\mathrm{y}} ay and inner loop control u u u

4. Motion Control with Torque as Input and Task Space Inverse Dynamics

4.1 Recall Properties of Robot Dynamics

For fully actuated robot :
τ = M ( q ) q ¨ + C ( q , q ˙ ) q ˙ + g ( q ) \tau =M\left( q \right) \ddot{q}+C\left( q,\dot{q} \right) \dot{q}+g\left( q \right) τ=M(q)q¨+C(q,q˙)q˙+g(q)
M ( q ) = ∑ J i T [ I i ] 6 × 6 J i ∈ R n × n M\left( q \right) =\sum{{J_{\mathrm{i}}}^{\mathrm{T}}\left[ \mathcal{I} _{\mathrm{i}} \right] _{6\times 6}J_{\mathrm{i}}}\in \mathbb{R} ^{n\times n} M(q)=JiT[Ii]6×6JiRn×n

There are many valid difinitions of C ( q , q ˙ ) C\left( q,\dot{q} \right) C(q,q˙) , typical choice for C C C include:
C i j = ∑ k 1 2 ( ∂ M i j ∂ q k + ∂ M i k ∂ q j − ∂ M j k ∂ q i ) C_{\mathrm{ij}}=\sum_k^{}{\frac{1}{2}\left( \frac{\partial M_{\mathrm{ij}}}{\partial q_{\mathrm{k}}}+\frac{\partial M_{\mathrm{ik}}}{\partial q_{\mathrm{j}}}-\frac{\partial M_{\mathrm{jk}}}{\partial q_{\mathrm{i}}} \right)} Cij=k21(qkMij+qjMikqiMjk)
For the above defined C C C , we have M ˙ − 2 C \dot{M}-2C M˙2C is skew symmetric
For all valid C C C, we have q ˙ T [ M ˙ − 2 C ] q ˙ = 0 \dot{q}^{\mathrm{T}}\left[ \dot{M}-2C \right] \dot{q}=0 q˙T[M˙2C]q˙=0
These properties play improtant role in designing motion controller

4.2 Computed Torque Control

For fully-actuated robot, we have M ( q ) ≻ 0 M\left( q \right) \succ 0 M(q)0 and q ¨ \ddot{q} q¨ can be arbitrarily specified through torque control u = τ u=\tau u=τ
q ¨ = M − 1 ( q ) [ u − C ( q , q ˙ ) q ˙ − g ( q ) ] \ddot{q}=M^{-1}\left( q \right) \left[ u-C\left( q,\dot{q} \right) \dot{q}-g\left( q \right) \right] q¨=M1(q)[uC(q,q˙)q˙g(q)]

we know how to design controller if u = q ¨ u=\ddot{q} u=q¨
在这里插入图片描述
Thus , for fully-acuated robot, torque controlled case can be reduced to the acceleration-resolved case

Outer loop: q ¨ = a q \ddot{q}=a_{\mathrm{q}} q¨=aq with joint acceleration as control input
a q = q ¨ + K 1 y ~ ˙ + K 0 y ~ ⇒ q ~ ¨ + K 1 q ~ ˙ + K 0 q ~ = 0 a_{\mathrm{q}}=\ddot{q}+K_1\dot{\tilde{y}}+K_0\tilde{y}\Rightarrow \ddot{\tilde{q}}+K_1\dot{\tilde{q}}+K_0\tilde{q}=0 aq=q¨+K1y~˙+K0y~q~¨+K1q~˙+K0q~=0

Inner loop : since M ( q ) M\left( q \right) M(q) is square and nonsingular , inner loop control u u u can be found analytically:
u = M ( q ) ( q ¨ d + K 1 q ~ ˙ + K 0 q ~ ) + C ( q , q ˙ ) q ˙ + g ( q ) u=M\left( q \right) \left( \ddot{q}_{\mathrm{d}}+K_1\dot{\tilde{q}}+K_0\tilde{q} \right) +C\left( q,\dot{q} \right) \dot{q}+g\left( q \right) u=M(q)(q¨d+K1q~˙+K0q~)+C(q,q˙)q˙+g(q)
在这里插入图片描述
The control law is a function of q , q ˙ q,\dot{q} q,q˙ and the reference q d q_{\mathrm{d}} qd. It is called computed-torque control.

The control law also relies on system model M , C , g M,C,g M,C,g if these model information are not accurate, the control will not perform well.
y = f ( q ) , y ¨ = J ˙ a ( q ) q ˙ + J a ( q ) M − 1 ( u − C − g ) y=f\left( q \right) ,\ddot{y}=\dot{J}_{\mathrm{a}}\left( q \right) \dot{q}+J_{\mathrm{a}}\left( q \right) M^{-1}\left( u-C-g \right) y=f(q),y¨=J˙a(q)q˙+Ja(q)M1(uCg)
Idea easily extends to task space : y ˙ = J a ( q ) q ˙ \dot{y}=J_{\mathrm{a}}\left( q \right) \dot{q} y˙=Ja(q)q˙ and y ¨ = J ˙ a ( q ) q ˙ + J a ( q ) q ¨ \ddot{y}=\dot{J}_{\mathrm{a}}\left( q \right) \dot{q}+J_{\mathrm{a}}\left( q \right) \ddot{q} y¨=J˙a(q)q˙+Ja(q)q¨ —— τ = u = τ , q ¨ = M − 1 [ u − C − g ] \tau =u=\tau ,\ddot{q}=M^{-1}\left[ u-C-g \right] τ=u=τ,q¨=M1[uCg]

Outer loop : y ¨ = a y \ddot{y}=a_{\mathrm{y}} y¨=ay and a y = y ¨ d + K 1 y ~ ˙ + K 0 y ~ a_{\mathrm{y}}=\ddot{y}_{\mathrm{d}}+K_1\dot{\tilde{y}}+K_0\tilde{y} ay=y¨d+K1y~˙+K0y~

Inner loop : sekect torque control u = τ u=\tau u=τ by
{ min ⁡ u ∥ a y − J ˙ a ( q ) q ˙ − J a ( q ) M − 1 ( u − C q ˙ − g ) ∥ 2 s u b j . t o : C o n s t r a i n t s \begin{cases} \min _{\mathrm{u}}\left\| a_{\mathrm{y}}-\dot{J}_{\mathrm{a}}\left( q \right) \dot{q}-J_{\mathrm{a}}\left( q \right) M^{-1}\left( u-C\dot{q}-g \right) \right\| ^2\\ subj.to\,\,: Constraints\,\,\\ \end{cases} minu ayJ˙a(q)q˙Ja(q)M1(uCq˙g) 2subj.to:Constraints
If J a J_{\mathrm{a}} Jais invertible and we don’t impose additional torque constraints, analytical control law can be easily obtained —— u = ( J a ( q ) M − 1 ) − 1 ( a y − J ˙ a ( q ) q ˙ . . . ) u=\left( J_{\mathrm{a}}\left( q \right) M^{-1} \right) ^{-1}\left( a_{\mathrm{y}}-\dot{J}_{\mathrm{a}}\left( q \right) \dot{q}... \right) u=(Ja(q)M1)1(ayJ˙a(q)q˙...)

4.3 Inverse Dynamics Control

The computed-torque controller above is also canned inverse dynamics control

Forward dynamics : given τ \tau τ to compute q ¨ \ddot{q} q¨ —— from torque to motion

Inverse dynamics : given desired acceleration a q a_{\mathrm{q}} aq, we inverted it to find the required control by u = M a q + C q ˙ + g u=Ma_{\mathrm{q}}+C\dot{q}+g u=Maq+Cq˙+g

Task space case can be viewed as inverting the task space dynamics —— Given a y a_{\mathrm{y}} ay ( y y y task space) , find τ \tau τ such that y ¨ = a y \ddot{y}=a_{\mathrm{y}} y¨=ay

With recent advances in optimization , it is often preferred to do ID with quedratic program
在这里插入图片描述
For example, above equation can be viewed as task-space ID. We can incorporate torque contraints explicitly as follows:
{ min ⁡ u ∥ a y − J ˙ a ( q ) q ˙ − J a M − 1 ( u − C q ˙ − g ) ∥ 2 s u b j . t o : u − ⩽ u ⩽ u + \begin{cases} \min _{\mathrm{u}}\left\| a_{\mathrm{y}}-\dot{J}_{\mathrm{a}}\left( q \right) \dot{q}-J_{\mathrm{a}}M^{-1}\left( u-C\dot{q}-g \right) \right\| ^2\\ subj.to\,\,: u_-\leqslant u\,\,\leqslant u_+\,\,\\ \end{cases} minu ayJ˙a(q)q˙JaM1(uCq˙g) 2subj.to:uuu+
optimization variable u ∈ R n u\in \mathbb{R} ^n uRn

This is equivalent to the following more popular form:
{ min ⁡ u , q ¨ ∥ a y − J ˙ a q ˙ − J a q ¨ ∥ 2 s u b j . t o : M q ¨ + C q ˙ + g = u u − ⩽ u ∈ R n ⩽ u + \begin{cases} \underset{u,\ddot{q}}{\min}\left\| a_{\mathrm{y}}-\dot{J}_{\mathrm{a}}\dot{q}-J_{\mathrm{a}}\ddot{q} \right\| ^2\\ subj.to\,\,: \begin{array}{c} M\ddot{q}+C\dot{q}+g=u\\ u_-\leqslant u\in \mathbb{R} ^n\,\,\leqslant u_+\,\,\\ \end{array}\\ \end{cases} u,q¨min ayJ˙aq˙Jaq¨ 2subj.to:Mq¨+Cq˙+g=uuuRnu+
optimization variable u , q ¨ ∈ R n u,\ddot{q}\in \mathbb{R} ^n u,q¨Rn

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43 tmpfs/devtmpfs 文件系统

前言 在 linux 中常见的文件系统 有很多, 如下 基于磁盘的文件系统, ext2, ext3, ext4, xfs, btrfs, jfs, ntfs 内存文件系统, procfs, sysfs, tmpfs, squashfs, debugfs 闪存文件系统, ubifs, jffs2, yaffs 文件系统这一套体系在 linux 有一层 vfs 抽象, 用户程序不用…...

C语言编译器(C语言编程软件)完全攻略(第十二部分:VS2010下载地址和安装教程(图解))

介绍常用C语言编译器的安装、配置和使用。 十二、VS2010下载地址和安装教程(图解) 为了更好地支持 Win7 程序的开发,微软于2010年4月12日发布了 VS2010,它的界面被重新设计,变得更加简洁。需要注意的是,V…...

【VRTK】【VR开发】【Unity】18-VRTK与Unity UI控制的融合使用

课程配套学习项目源码资源下载 https://download.csdn.net/download/weixin_41697242/88485426?spm=1001.2014.3001.5503 【背景】 VRTK和Unity自身的UI控制包可以配合使用发挥效果。本篇就讨论这方面的实战内容。 之前可以互动的立体UI并不是传统的2D UI对象,在实际使用中…...

BERT(从理论到实践): Bidirectional Encoder Representations from Transformers【3】

这是本系列文章中的第3弹,请确保你已经读过并了解之前文章所讲的内容,因为对于已经解释过的概念或API,本文不会再赘述。 本文要利用BERT实现一个“垃圾邮件分类”的任务,这也是NLP中一个很常见的任务:Text Classification。我们的实验环境仍然是Python3+Tensorflow/Keras…...

静态网页设计——校园官网(HTML+CSS+JavaScript)

前言 声明:该文章只是做技术分享,若侵权请联系我删除。!! 使用技术:HTMLCSSJS 主要内容:对学校官网的结构进行模仿,对布局进行模仿。 主要内容 1、首页 首页以多个div对页面进行分割和布局…...

phpstudy_pro 关于多版本php的问题

我在phpstudy中安装了多个PHP版本 我希望不同的网站可以对应不同的PHP版本,则在nginx配置文件中需要知道不同的PHP版本的监听端口是多少,如下图所示 然而找遍了php.ini配置,并未对listen进行设置,好奇是怎么实现不同的PHP监听不同…...

TemporalKit的纯手动安装

最近在用本地SD安装temporalkit插件 本地安装插件最常见的问题就是,GitCommandError:… 原因就是,没有科学上网,而且即使搭了ladder,在SD的“从网址上安装”或是“插件安装”都不行,都不行!!&am…...

人生重开模拟器

前言: 人生重开模拟器是前段时间非常火的一个小游戏,接下来我们将一起学习使用c语言写一个简易版的人生重开模拟器。 网页版游戏: 人生重开模拟器 (ytecn.com) 1.实现一个简化版的人生重开模拟器 (1) 游戏开始的时…...

优化算法3D可视化

编程实现优化算法,并3D可视化 1. 函数3D可视化 分别画出 和 的3D图 import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt import torch# 画出x**2 class Op(object):def __init__(self):passdef __call__(self, inputs):return self.forward(inputs)def for…...

魔术表演Scratch-第14届蓝桥杯Scratch省赛真题第1题

1.魔术表演(20分) 评判标准: 4分:满足"具体要求"中的1); 8分:满足"具体要求"中的2); 8分,满足"具体要求"中的3&#xff09…...

LLM 中的长文本问题

近期,随着大模型技术的发展,长文本问题逐渐成为热门且关键的问题,不妨简单梳理一下近期出现的典型的长文本模型: 10 月上旬,Moonshot AI 的 Kimi Chat 问世,这是首个支持 20 万汉字输入的智能助手产品; 10 月下旬,百川智能发布 Baichuan2-192K 长窗口大模型,相当于一次…...

深入了解Swagger注解:@ApiModel和@ApiModelProperty实用指南

在现代软件开发中,提供清晰全面的 API 文档 至关重要。ApiModel 和 ApiModelProperty 这样的代码注解在此方面表现出色,通过增强模型及其属性的元数据来丰富文档内容。它们的主要功能是为这些元素命名和描述,使生成的 API 文档更加明确。 Api…...

Linux学习第48天:Linux USB驱动试验:保持热情,保持节奏,持续学习是作为一个技术人员应有的基本素质和要求

Linux版本号4.1.15 芯片I.MX6ULL 大叔学Linux 品人间百味 思文短情长 最近更新的速度和频率大不如以前,主要原因还是自己有些懈怠了。学习是一个持续努力的过程,一旦中断,再想保持以往的状态可能要…...

数据库索引简析

文章目录 前言一、索引是什么二、索引的有什么用三、索引的分类四、索引的数据结构总结 前言 在我们使用数据库的过程中,往往会碰到一个叫做索引的东西,不管是表的设计,还是数据库性能的优化往往都会涉及到索引。那么他是个什么东西&#xff…...

leetcode贪心(单调递增的数字、监控二叉树)

738.单调递增的数字 给定一个非负整数 N&#xff0c;找出小于或等于 N 的最大的整数&#xff0c;同时这个整数需要满足其各个位数上的数字是单调递增。 &#xff08;当且仅当每个相邻位数上的数字 x 和 y 满足 x < y 时&#xff0c;我们称这个整数是单调递增的。&#xff…...

如何在win7同样支持Webview2 在 WPF 中使用本地 Webview2 ,如何不依赖系统 Runtime

项目运行环境&#xff1a; .Net Framework 4.5.2 Windows 7 x64 Service Pack 1 WebView2 Microsoft.WebView2.FixedVersionRuntime.120.0.2210.91.x64 考虑到很多老项目&#xff0c;本项目使用的是.Net Framework 4.5.2&#xff0c;.Net 更高版本的其实也是可以支持的。 …...

【docker】网络模式管理

目录 一、Docker网络实现原理 二、Docker的网络模式 1、host模式 1.1 host模式原理 1.2 host模式实操 2、Container模式 2.2 container模式实操 3、none模式 4、bridger模式 4.1 bridge模式的原理 4.2 bridge实操 5、overlay模式 6、自定义网络模式 6.1 为什么需要…...

LiveGBS国标GB/T28181流媒体平台功能-国标级联中作为下级平台对接海康大华宇视华为政务公安内网等GB28181国标平台查看级联状态及会话

LiveGBS国标级联中作为下级平台对接海康大华宇视华为政务公安内网等GB28181国标平台查看级联状态及会话 1、GB/T28181级联是什么2、搭建GB28181国标流媒体平台3、获取上级平台接入信息3.1、如何提供信息给上级3.2、上级国标平台如何添加下级域3.2、接入LiveGBS示例 4、配置国标…...

技术发展驱动编程语言走向

未来编程语言的走向可能会受到多种因素的影响&#xff0c;包括技术进步、市场需求、开发人员的偏好和生态系统的演变等。以下是一些可能的发展趋势&#xff1a; 简洁性和易用性 随着技术的进步&#xff0c;编程语言可能会变得越来越简洁和易于使用。一些语言可能会引入更高级的…...

tp5+workman(GatewayWorker) 安装及使用

一、安装thinkphp5 1、宝塔删除php禁用函数putenv、pcntl_signal_dispatch、pcntl_wai、pcntl_signal、pcntl_alarm、pcntl_fork&#xff0c;执行安装命令。 composer create-project topthink/think5.0.* tp5 --prefer-dist 2、配置好站点之后&#xff0c;浏览器打开访问成…...

vscode安装Prettier插件,对vue3项目进行格式化

之前vscode因为安装了Vue Language Features (Volar)插件&#xff0c;导致Prettier格式化失效&#xff0c;今天有空&#xff0c;又重新设置了一下 1. 插件要先安装上 2. 打开settings.json {"editor.defaultFormatter": "esbenp.prettier-vscode","…...

macOS跨进程通信: XPC 创建实例

一&#xff1a;简介 XPC 是 macOS 里苹果官方比较推荐和安全的的进程间通信机制。 集成流程简单&#xff0c;但是比较绕。 主要需要集成 XPC Server 这个模块&#xff0c;这个模块最终会被 apple 的根进程 launchd 管理和以独立进程的方法唤起和关闭&#xff0c; 我们主app 进…...

Ubuntu18.04 升级Ubuntu20.04

文章目录 背景升级方法遇到的问题 背景 因项目环境需要&#xff0c;欲将Ubuntu18.04升级至Ubuntu20.04&#xff0c;参考网上其他小伙伴的方法&#xff0c;也遇到了一个问题&#xff0c;特此记录一下&#xff0c;希望能帮助其他有同样问题的小伙伴。 升级方法 参考&#xff1a…...

自动化测试怎么做?看完你就懂了。。。

前言 我想应该有很多测试人员应该有这样的疑虑&#xff0c;自动化测试要怎么去做&#xff0c;现在我把自己的一些学习经验分享给大家&#xff0c;希望对你们有帮助&#xff0c;有说的不好的地方&#xff0c;还请多多指教&#xff01; 对于测试人员来说&#xff0c;不管进行功…...

小秋SLAM入门实战opencv所有文章汇总

opencv_core和 opencv_imgcodecs是 OpenCV&#xff08;开源计算机视觉库&#xff09;的两个主要模块 【如何使用cv::erode()函数对图像进行腐蚀操作】 头文件用途 用OpenCV创建一张类型为CV_8UC1的单通道随机灰度图像 用OpenCV创建一张灰度黑色图像并设置某一列为白色 OpenCV创…...

2023年终总结(脚踏实地,仰望星空)

回忆录 2023年&#xff0c;经历非常多的大事情&#xff0c;找工作、实习、研究生毕业、堂哥结婚、大姐买车、申博、读博、参加马拉松&#xff0c;有幸这一年全家人平平安安&#xff0c;在稳步前进。算是折腾的一年&#xff0c;杭州、赣州、武汉、澳门、珠海、遵义来回跑。完成…...

Transforer逐模块讲解

本文将按照transformer的结构图依次对各个模块进行讲解&#xff1a; 可以看一下模型的大致结构&#xff1a;主要有encode和decode两大部分组成&#xff0c;数据经过词embedding以及位置embedding得到encode的时输入数据 输入部分 embedding就是从原始数据中提取出单词或位置&…...

如何向百度提交网站/制作一个简单的html网页

一&#xff1a;关于设置window版找到设置很轻松&#xff0c;突然改用mac版死活找不到在哪里。2018.3版的mac webstorm setting换名字子了&#xff0c;叫preferences。在左上角苹果标志旁边&#xff0c;Webstorm目录下。点击就调出了window版那个setting界面了。二&#xff1a;第…...

删除wordpress文章日期/百度关键词推广方案

一、目的 减少操作系统安装过程中人机交互过程&#xff0c;实现选择光盘安装后&#xff0c;无需其他人机交互过程即可自动完成操作系统的安装。 二、环境和软件工具 环境&#xff1a;Linux Ubuntu/CentOS操作系统&#xff08;其他发行版未作尝试&#xff09; 软件&#xff…...

网站建设第三方平台/百度网盘资源搜索入口

今天主要学了爬虫技术&#xff0c;爬取mp4格式&#xff0c;爬取豆瓣电影。一、爬虫原理 1.什么是互联网? 指的是由一堆网络设备&#xff0c;把一台台的计算机互联网到一起称之为互联网。 2.互联网建立的目的? 互联网建立的目的是为了数据的传递以及数据的…...

网站定制开发是什么意思/网络推广有几种方法

配置了 log4j 在xml 中&#xff0c;但控制台输出为空的解决办法 1、 在Mybatis 的核心配置文件内添加&#xff1a; <setting name"logImpl" value"LOG4J"/> </settings>2、在当前工程的pom 文件内添加 <dependencies><dependency>…...

wordpress的根目录/关键词规划师工具

工作以来&#xff08;除了刚开头用过几个月Java&#xff09;一直走在微软.NET路线上&#xff0c;可惜至今也没能做出一点小小成就来。尤其发现了博客园以后&#xff0c;觉得天下高手何其多。虽然今年的工作重点可能不再是.NET开发&#xff0c;但不愿意就此放弃.NET。以前在项目…...

大兴做网站公司/危机公关处理五大原则

出租司机给我上的MBA课 from http://blog.csdn.net/psyl/archive/2006/03/17/627496.aspx我要从徐家汇赶去机场&#xff0c;于是匆匆结束了一个会议&#xff0c;在美罗大厦前搜索出租车。一辆大众发现了我&#xff0c;非常专业的、径直的停在我的面前。这一停&#xff0c;于是有…...