4.6 BOUNDARY CHECKS

我们现在扩展了tile矩阵乘法内核，以处理具有任意宽度的矩阵。扩展必须允许内核正确处理宽度不是tile宽度倍数的矩阵。通过更改图4.14中的示例至3×3 M、N和P矩阵，图4.18创建了矩阵的宽度为3，不是tile宽度（2）的倍数。图4.18显示了block0,.0.第1阶段的内存访问模式。Thread0,1和thread1,1，我将尝试加载不存在的M元素。同样，thread1,0和thread1,1将尝试访问N个不存在的元素。
访问不存在的元素在两个方面存在问题。访问行末尾的非现有元素（M通过thred1.0和thread,1访问，在图4.18中。）将对不正确的元素进行处理。在我们的示例中，线程将尝试访问M0.3和M1.3，两者都不存在。在这种情况下，这些内存负载会发生什么？为了回答这个问题，我们需要回到二维矩阵的线性化布局。在线性化布局中，M0.2之后的元素是M1.0。虽然thred01正在尝试访问M0.3，但它将获得M1,0.在子内积计算中使用该值肯定会腐蚀输出值。

从我们到目前为止的讨论来看，有问题的访问似乎只出现在线程执行的最后阶段。这一观察表明，可以在平铺内核执行的最后阶段采取特殊行动来解决这个问题。不幸的是，所有阶段都可能出现有问题的访问。图4.19显示了0阶段block1,1的内存访问模式。我们看到thread1,0和thread1,1试图访问不存在的M元素Ms3,0和Ms3.1，而thread0.1和thread1,1试图访问N0,3和N1,3，它们不存在。

请注意，无法通过排除不计算有效P元素的线程来防止这些有问题的访问。例如，block1,1中的thread1,0不计算任何有效的P元素。然而，它需要在0阶段加载M2,1。此外，一些计算有效P元素的线程将尝试访问不存在的M或N元素。如图4.18所示。0,0 block的，thread0,1计算一个有效的P元素P0.1。然而，它试图在第1阶段访问不存在的M0,3。这些观察表明，需要进行不同的边界条件测试，以加载M tiles、加载N tiles和计算/存储P元素。

我们从加载输入tile的边界测试条件开始。当线程打算加载输入tile元素时，它应该测试该输入元素的有效性，这很容易通过检查y和x索引来完成。举例来说，在图4.16中的第9行，线性化索引来自行的y索引和phTILE _WIDTH + tx的x索引。边界条件测试是两个索引都小于宽度：(Row<Width) && (phTILE_WIDTH+tx)<Width。如果条件满足，线程应该加载M元素。读者应该验证加载N元素的条件测试是(ph*TILE_WIDTH+ty)<Width && Col<Width。

如果条件不满足，线程不应加载元素，在这种情况下，问题是应该将什么放在共享内存位置。答案是0.0，如果在内积计算中使用，这个值不会造成任何伤害。如果任何线程在计算其内积时使用此0.0值，则不会观察到内积值的变化。

最后，线程只有在负责计算有效的P元素时才应存储其最终的内积值。此条件的测试是（Row < Width）&&（Col < Width）。带有附加边界条件检查的内核代码如图4.20.所示。

Tile（瓷砖）的思想是将大的矩阵操作分解为更小的子矩阵（或“瓷砖”）的操作。这样做可以充分利用CUDA架构的共享内存，这是一种比全局内存访问速度快得多的内存类型。通过使用共享内存，可以显著减少对全局内存的访问次数，从而减少内存延迟，并提高整体的内存带宽效率。
选择TILE_WIDTH的原因包括：

1. 共享内存限制：每个CUDA核心的共享内存是有限的。例如，早期的CUDA硬件每个block只有16KB的共享内存。如果你尝试一次性加载整个矩阵，你可能会超过这个限制，从而导致错误或性能下降。
2. 线程块大小限制：CUDA核心对每个线程块可以包含的线程数量也有限制。例如，如果每个核心允许的最大线程块大小是1024个线程，那么使用32×32（即1024）的TILE_WIDTH就是这个限制的上限。如果尝试一次性加载更大的瓷砖，你将无法在一个线程块中为每个瓷砖元素分配一个线程。
3. 内存带宽利用：通过分块（tiling）可以使得每次从全局内存中加载的数据都能被多次使用，这样可以减少内存访问的次数，从而更高效地利用内存带宽。
4. 缓存局部性：共享内存可以被看作是用户可控的缓存。使用瓷砖技术可以增加缓存命中率，因为一旦一个瓷砖被加载到共享内存中，它的数据可以被同一个线程块中的多个线程重复使用。
5. 计算与内存访问的重叠：在计算当前瓷砖的同时，下一个瓷砖的数据可以从全局内存中预取，这样可以隐藏内存访问延迟。

为什么不一次性加载整个矩阵：

• 共享内存大小：如上所述，共享内存的大小是有限的，通常不足以存储整个矩阵。

• 线程资源管理：更小的瓷砖允许更细粒度的线程管理和更高的线程并行度。

• 内存访问模式：一次性加载可能会导致内存访问模式不佳，从而降低缓存效率。

因此，TILE_WIDTH的选择是一个权衡的结果，它需要考虑硬件的限制、内存的效率和算法的并行性。通常，开发人员会根据具体的硬件配置来调整TILE_WIDTH的大小，以达到最佳性能。