【数学笔记】一元n次不等式，分式不等式，绝对值不等式

基本性质

性质
$a>b\iff b<a$
$a>b,b>c\Rightarrow a>c$
$a>b,c\in R\Rightarrow a\pm c>b\pm c$
$a>b,c>0\Rightarrow ac>bc$
$a>b,c<0\Rightarrow ac<bc$
$a>b,c>d\Rightarrow a+c>b+d$
$a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd$
$a>b>0,x>0\Rightarrow a^x>b^x$

比较大小：

1. 作差法：$\{\begin{array}{c}a-b>0\iff a>b\\ a-b<0\iff a<b\\ a-b=0\iff a=b\end{array}$
2. 作商法：$\{\begin{array}{c}\frac{a}{b}>1\iff a>b\\ \frac{a}{b}<1\iff a<b\\ \frac{a}{b}=1\iff a=b\end{array}(a\in R,b>0)$

一元n次不等式

一元二次不等式

e.g.
$a{x}^2+bx+c>0(a\ne 0)$

1. $a>0$
   设方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 存在实根，且为 $x_1,x_2,x_1\le x_2$
   显然原不等式的解集为：$x\in (-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty )$
   若不存在实根，则解集为 $x\in (-\infty ,+\infty )$
2. $a<0$
   设方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 存在实根，且为 $x_1,x_2,x_1\le x_2$
   显然原不等式的解集为：$x\in (x_1,x_2)$
   若不存在实根，则解集为 $x\in \varnothing$

稍微理解一下，结合二次函数$y=a{x}^2+b+c$的图像即可。

例题

1. $x^2<1$
2. $x^2+3x+2\ge 0$
3. $x^2+4x-2<0$

答案：

1. $x\in (-1,1)$
2. $x\in (-\infty ,-2]\cup [-1,+\infty )$
3. $x\in (-2-\sqrt{6},-2+\sqrt{6})$

一元高次不等式

通常我们将其化成 ${\prod }_{i=1}^k(x-a_i{)}^{b_i}$ 和 $0$ 的大小关系式，并使用穿针引线法。
比如说 $(x-1{)}^2(x-2)(x-3)(x-4)\le 0$
分类：

1. 当$x\in$ {$1,2,3,4$}时，不等式成立。
2. 当$x\in (4,+\infty )$时，不等式显然不成立。
3. 当$x\in (3,4)$时，不等式显然成立。
4. 当$x\in (2,3)$时，不等式显然不成立。
5. 当$x\in (1,2)$时，不等式显然成立。
6. 当$x\in (-\infty ,1)$时，不等式显然成立。

如图：

所以解集为 $x\in (-\infty ,1]\cup [1,2]\cup [3,4]$ 即 $x\in (-\infty ,2]\cup [3,4]$
口诀为“奇穿偶不穿”。

分式不等式

对于一个分式方程 $\frac{f(x)}{g(x)}<0$或$>0$：
因为 $\frac{a}{b}$ 和 $ab$ 同号，所以 $\frac{f(x)}{g(x)}>0\iff f(x)g(x)>0$
然后就跟上面一样了。

绝对值不等式

这个采取分类讨论，类比一下 $|x|>4$的解集即可。