《统计学简易速速上手小册》第6章：多变量数据分析（2024 最新版）

6.1 主成分分析（PCA）

主成分分析（PCA）是一种强大的统计工具，用于数据降维和模式识别。它能帮助我们在减少数据复杂度的同时，保留最重要的信息。

6.1.1 基础知识

• PCA的目的和原理：PCA的主要目的是识别数据中的模式，并将数据从原始空间转换到一个新的空间，这个新空间的基是数据的主成分。这可以通过寻找数据最大方差的方向并将其作为第一个主成分，然后寻找与第一个主成分正交且方差最大的方向作为第二个主成分，以此类推。
• PCA的步骤：PCA的步骤包括标准化原始数据、计算协方差矩阵、提取特征值和特征向量、选择主成分、转换到新的空间。
• 解释主成分：每个主成分都能够解释数据的一部分变异性，第一个主成分解释最大的变异性，每个后续的主成分都解释剩余变异性中最大的部分。

6.1.2 主要案例：客户细分

场景：一家零售公司希望通过客户购买历史数据进行客户细分，以便更好地理解客户群体和优化营销策略。

Python 示例：

from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import pandas as pd# 假设 df 是包含客户购买历史数据的DataFrame
# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
df_scaled = scaler.fit_transform(df)# 应用PCA
pca = PCA(n_components=2)  # 选择两个主成分
principalComponents = pca.fit_transform(df_scaled)# 将主成分转换为DataFrame
principalDf = pd.DataFrame(data=principalComponents, columns=['principal component 1', 'principal component 2'])# 输出解释的方差比
print(pca.explained_variance_ratio_)

6.1.3 拓展案例 1：面部识别

场景：一个安全系统使用面部识别技术来验证个人身份。由于面部图像数据维度很高，使用PCA来降低数据维度，提高识别算法的效率。

Python 示例：

# 假设 face_images 是面部图像数据集的变量
# 此处代码省略数据加载步骤# 应用PCA进行降维
pca = PCA(n_components=150)  # 选择150个主成分
faces_pca = pca.fit_transform(face_images)# 使用降维后的数据进行面部识别处理
# 此处代码省略面部识别具体实现

6.1.4 拓展案例 2：基因数据分析

场景：生物学家使用PCA来分析和可视化基因表达数据，以探索不同样本之间的相似性和差异性。

Python 示例：

# 假设 gene_expression 是基因表达数据的DataFrame
# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
gene_expression_scaled = scaler.fit_transform(gene_expression)# 应用PCA
pca = PCA(n_components=3)  # 选择三个主成分进行分析
gene_pca = pca.fit_transform(gene_expression_scaled)# 将主成分转换为DataFrame，用于后续分析和可视化
gene_pca_df = pd.DataFrame(data=gene_pca, columns=['PC1', 'PC2', 'PC3'])# 可视化代码省略

通过这些案例，我们可以看到PCA如何在不同领域内帮助我们简化数据，揭示数据结构和模式。无论是进行客户细分、面部识别还是基因数据分析，PCA都是一种有效的工具，使我们能够在降低数据复杂度的同时，捕捉到最关键的信息。

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6.2 聚类分析

聚类分析是一种探索性数据分析技术，它试图将数据集中的对象分组，使得组内的对象比组间的对象更为相似。这就像是将一堆不同的水果根据颜色、形状或大小分类，以便更好地管理和使用它们。

6.2.1 基础知识

• 聚类的目的：聚类的主要目的是发现数据内部的自然分组，以揭示数据的结构，为进一步的分析和决策提供依据。
• 常见的聚类算法：
  • K-均值聚类（K-means Clustering）：通过将数据点分配到K个簇中，使得每个点与其所属簇的中心（质心）之间的距离之和最小化。
  • 层次聚类（Hierarchical Clustering）：通过连续合并或分割簇来构建簇的层次结构。
  • DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）：基于密度的聚类方法，能够识别噪声数据，对簇的形状和大小没有假设。
• 聚类分析的应用：聚类分析广泛应用于市场细分、社交网络分析、图像分割、生物信息学等领域。

6.2.2 主要案例：市场细分

场景：一家电子商务公司希望通过聚类分析对其客户进行市场细分，以便实施针对性的营销策略。

Python 示例：

from sklearn.cluster import KMeans
import pandas as pd# 假设 df 是包含客户购买行为数据的DataFrame
# 使用K-均值算法进行聚类
kmeans = KMeans(n_clusters=5)  # 假设我们想将客户分成5个群体
df['cluster'] = kmeans.fit_predict(df[['feature1', 'feature2', 'feature3']])# 查看聚类结果
print(df.groupby('cluster').mean())

6.2.3 拓展案例 1：文档聚类

场景：一家新闻机构希望自动对成千上万的新闻文章进行分类，以改进文章的组织和推荐。

Python 示例：

from sklearn.feature_extraction.text import TfidfVectorizer
from sklearn.cluster import KMeans# 假设 documents 包含了需要聚类的文档集合
vectorizer = TfidfVectorizer(stop_words='english')
X = vectorizer.fit_transform(documents)# 使用K-均值算法进行文档聚类
kmeans = KMeans(n_clusters=10)  # 分成10个类别
kmeans.fit(X)# 获取聚类结果
clusters = kmeans.labels_

6.2.4 拓展案例 2：基因表达数据的聚类

场景：生物学家希望通过聚类分析来探索在不同条件下表达的基因，以发现功能相关的基因群体。

Python 示例：

from sklearn.cluster import AgglomerativeClustering
import numpy as np# 假设 gene_expression 是基因表达数据的numpy数组
# 使用层次聚类算法
clustering = AgglomerativeClustering(n_clusters=5)
gene_clusters = clustering.fit_predict(gene_expression)# 分析聚类结果
# 此处可以进一步分析每个簇的基因和它们的功能

通过这些案例，我们可以看到聚类分析在不同领域的广泛应用，从市场细分到文档分类，再到基因表达数据的分析。聚类分析帮助我们发现数据中的隐藏模式和结构，为决策提供科学依据。使用Python进行聚类分析，我们可以轻松处理大量数据，快速得到有意义的结果。

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6.3 判别分析

判别分析是一种监督学习技术，用于模型构建，以预测或分类观测所属的组别。它基于不同类别之间的差异，确定哪些变量对于区分类别是重要的，并创建一个或多个判别函数来预测类别归属。

6.3.1 基础知识

• 判别分析的基本概念：判别分析通过分析自变量来预测类别变量。它尝试定义不同类别之间的边界，并利用这些边界来确定新观测所属的类别。
• 线性判别分析（LDA）：LDA是判别分析中最常用的方法之一，它寻找能最大化类别间分散度同时最小化类别内分散度的线性组合。LDA特别适用于当自变量是连续量且符合正态分布，各类具有相同协方差矩阵时。
• 判别分析的应用：判别分析可以应用于信用评分、客户分类、疾病诊断等多个领域，它帮助我们根据已有数据制定分类规则，并应用这些规则到新数据上。

6.3.2 主要案例：信用评分模型

场景：银行希望开发一个信用评分模型，以预测客户是否有违约的风险。

Python 示例：

from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
import pandas as pd# 加载数据集
data = pd.read_csv('credit_score_data.csv')
X = data.drop('Default', axis=1)  # 自变量
y = data['Default']  # 因变量，违约与否# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)# 构建LDA模型
lda = LinearDiscriminantAnalysis()
lda.fit(X_train, y_train)# 在测试集上评估模型
y_pred = lda.predict(X_test)
print("Accuracy:", accuracy_score(y_test, y_pred))

6.3.3 拓展案例 1：市场细分与目标客户识别

场景：一家营销公司希望通过判别分析识别潜在的目标客户群体，以便更有效地定位其营销策略。

Python 示例：

# 假设已有包含客户特征和是否为目标客户的标签的数据集
# 此处代码省略数据准备步骤lda = LinearDiscriminantAnalysis()
lda.fit(customer_features, target_label)# 使用模型识别新客户是否为目标客户
# 此处代码省略新客户数据的应用步骤

6.3.4 拓展案例 2：疾病诊断

场景：医疗研究人员希望开发一个模型，用于根据患者的各种生理指标来预测其是否患有特定疾病。

Python 示例：

from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
import pandas as pd# 假设 disease_data 是包含生理指标和疾病状态的DataFrame
# 此处代码省略数据准备步骤lda = LinearDiscriminantAnalysis()
lda.fit(disease_data_features, disease_status)# 使用模型对患者进行诊断
# 此处代码省略诊断应用步骤

通过这些案例，我们可以看

到判别分析在不同场景下的实际应用，从银行的信用评分到营销的目标客户识别，再到医疗领域的疾病诊断。判别分析为我们提供了一种强大的方法，以数据驱动的方式来预测分类，并帮助我们做出更加精准的决策。使用Python进行判别分析，我们可以利用现有的库和工具，快速构建和评估模型。