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【动态规划】【记忆化搜索】【状态压缩】1681. 最小不兼容性

news 2026/2/8 18:06:31

作者推荐

【数位dp】【动态规划】【状态压缩】【推荐】1012. 至少有 1 位重复的数字

本文涉及知识点

动态规划汇总
状态压缩记忆化搜索

1681. 最小不兼容性

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k 。你需要将这个数组划分到 k 个相同大小的子集中，使得同一个子集里面没有两个相同的元素。
一个子集的不兼容性是该子集里面最大值和最小值的差。
请你返回将数组分成 k 个子集后，各子集不兼容性的和的最小值，如果无法分成分成 k 个子集，返回 -1 。
子集的定义是数组中一些数字的集合，对数字顺序没有要求。
示例 1：
输入：nums = [1,2,1,4], k = 2
输出：4
解释：最优的分配是 [1,2] 和 [1,4] 。
不兼容性和为 (2-1) + (4-1) = 4 。
注意到 [1,1] 和 [2,4] 可以得到更小的和，但是第一个集合有 2 个相同的元素，所以不可行。
示例 2：
输入：nums = [6,3,8,1,3,1,2,2], k = 4
输出：6
解释：最优的子集分配为 [1,2]，[2,3]，[6,8] 和 [1,3] 。
不兼容性和为 (2-1) + (3-2) + (8-6) + (3-1) = 6 。
示例 3：
输入：nums = [5,3,3,6,3,3], k = 3
输出：-1
解释：没办法将这些数字分配到 3 个子集且满足每个子集里没有相同数字。
提示：
1 <= k <= nums.length <= 16
nums.length 能被 k 整除。
1 <= nums[i] <= nums.length

动态规划

对nums按升序排序。

动态规划的状态表示

pre[mask][end] 记录最小不兼容性和。mask表示nums中那些元素已经选择，选择的数优先放组号小的组。1组满了后，才放2组；2组满了，才放三组 $\cdots$

动态规划的转移方程

mask1 = mask | (1 << j )
end1 = j
j必须符合以下条件：

j未被使用。
如果是某个组的首元素，可以选择任意元素。
如果不是某个组的首元素，j > end。且nums[j] != nums[end]
$\begin{cases} dp[mask1][j]= dp[mask][end] & 某组的首元素\\ dp[mask1][j]= dp[mask][end] + nums[j]-nums[end] & 非组首元素 \end{cases}$

动态规划的初始值

dp[0][0]全部为0，其它全部为10000。

动态规划的填表顺序

mask从小到大，枚举前置条件。

动态规划的返回值

dp.back()的最小值。

代码

核心代码

class Solution {
public:int minimumIncompatibility(vector<int>& nums, int k) {m_c = nums.size();m_iMaskCount = 1 << m_c;sort(nums.begin(), nums.end());vector<int> vBitCount(m_iMaskCount);for (int i = 1; i < m_iMaskCount; i++){vBitCount[i] = 1 + vBitCount[i & (i - 1)];}vector<vector<int>> dp(m_iMaskCount, vector<int>(m_c, m_iNotMay));dp[0][0] = 0;for (int mask = 0; mask < m_iMaskCount; mask++){bool bGroupFirst = (0 == vBitCount[mask] % (m_c / k));for (int end = 0; end < m_c; end++){for (int j = bGroupFirst ? 0 : (end + 1); j < m_c; j++){if ((1 << j) & mask){continue;//已经选择}if ((nums[j] == nums[end])&& (!bGroupFirst)){continue;//相同}	const int iNew = dp[mask][end] + (bGroupFirst ? 0 : (nums[j]-nums[end]));dp[mask | (1 << j)][j] = min(dp[mask | (1 << j)][j],iNew);}}}const int iRet = *std::min_element(dp.back().begin(), dp.back().end());return (iRet >= m_iNotMay) ? -1 : iRet;}int m_c, m_iMaskCount,m_iNotMay=10000;
};

测试用例


template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{assert(t1 == t2);
}template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}}int main()
{	vector<int> nums;int k;{Solution sln;nums = { 1 }, k = 1;auto res = sln.minimumIncompatibility(nums, k);Assert(res, 0);}{Solution sln;nums = { 1,1 }, k = 1;auto res = sln.minimumIncompatibility(nums, k);Assert(res, -1);}{Solution sln;nums = { 1, 2, 1, 4 }, k = 2;auto res = sln.minimumIncompatibility(nums, k);Assert(res, 4);}{Solution sln;nums = { 6, 3, 8, 1, 3, 1, 2, 2 }, k = 4;auto res = sln.minimumIncompatibility(nums, k);Assert(res, 6);}{Solution sln;nums = { 5,3,3,6,3,3 }, k = 3;auto res = sln.minimumIncompatibility(nums, k);Assert(res, -1);}{Solution sln;nums = { 11,11,3,4,2,16,14,13,6,14,2,5,10,13,5,7 }, k = 8;auto res = sln.minimumIncompatibility(nums, k);Assert(res, 12);}
}

记忆化搜索+动态规划

从后置条件倒推前置条件，可以省去大量不必要的状态。运行速度提高500%。缺点可理解性大幅降低。
mask 选择了那些数，end 是最一个数。如果本组只有一个数，则最小不兼容性和就是除本数外的前几个完整的组的最小不兼容性和。
如果完整的组，最后一个元素一定是最大值。最大值一定是某个组的最后一个。将此组调到最后一组，结果不变。
EndZeroCount 从右到左为1的第一个下标（从0开始）。为了一致，nums降序排序。
每组一个元素要特殊处理。

int EndZeroCount(unsigned x )
{for (int i = 0; i < 32; i++){if ((1 << i) & x){return i;}}return 32;
}class Solution {
public:int minimumIncompatibility(vector<int>& nums, int k) {m_c = nums.size();m_iMaskCount = 1 << m_c;m_pre = m_c / k;if (1 == m_pre){return 0;}		sort(nums.begin(), nums.end(),std::greater<>());m_nums = nums;m_vBitCount.resize(m_iMaskCount);for (int i = 1; i < m_iMaskCount; i++){m_vBitCount[i] = 1 + m_vBitCount[i & (i - 1)];}m_dp.assign(m_iMaskCount, vector<int>(m_c, m_iNotMay));const int iRet = Rec(m_iMaskCount-1);return (iRet >= m_iNotMay) ? -1 : iRet;}int Rec(int mask, int end){if (0 == mask){return 0;}auto& res = m_dp[mask][end];if (m_iNotMay != res){return res;}const int iPreMask = mask ^ (1 << end);const int cnt = m_vBitCount[mask] % m_pre;//最后一组数量if (1 == cnt ){return res = Rec(iPreMask);}for (int i = end+1 ; i < m_c; i++){if ((1 << i) & mask){if (m_nums[i] != m_nums[end]){res = min(res, Rec(iPreMask,i)+ m_nums[end]-m_nums[i]);}}}return res;}int Rec(int mask){return Rec(mask, EndZeroCount(mask));}int m_c, m_iMaskCount,m_iNotMay=10000, m_pre;vector<int> m_vBitCount;vector<vector<int>> m_dp;vector<int> m_nums;
};

2023年2月版

class Solution {
public:
int minimumIncompatibility(vector& nums, int k) {
m_c = nums.size();
if (k == m_c)
{
return 0;
}
if (1 == k)
{
std::set setNums(nums.begin(), nums.end());
if (nums.size() != setNums.size())
{
return -1;
}
return *setNums.rbegin() - *setNums.begin();
}
std::sort(nums.begin(),nums.end());
m_iMaskNum = (1 << m_c )*m_c;
m_vMaskByBits.resize(m_c + 1);
m_vMaskByBits[0].push_back(0);
vector vMaskBits(m_iMaskNum);
for (int mask = 1; mask < m_iMaskNum; mask++)
{
const int iSelMask = mask / m_c;
vMaskBits[mask] = vMaskBits[(iSelMask&(iSelMask - 1))m_c] + 1;
m_vMaskByBits[vMaskBits[mask]].push_back(mask);
}
m_vMaskGroupFirstToMin.resize(m_iMaskNum, m_iNotMay);
m_vMaskGroupFirstToMin[0] = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
vector dp(m_iMaskNum, m_iNotMay);
for (int iMask : m_vMaskByBits[i])
{
if (m_iNotMay == m_vMaskGroupFirstToMin[iMask])
{
continue;
}
const int iSelMask = iMask / m_c;
const int iPreSel = iMask% m_c;
if (0 == i % (m_c/k))
{//新组
for (int j = 0; j < m_c; j++)
{
if (iSelMask & (1 << j))
{
continue;
}
const int iNewMask = JoinMask(iSelMask | (1 << j), j);
dp[iNewMask] = min(dp[iNewMask], min(m_vMaskGroupFirstToMin[iMask],dp[iMask]));
}
}
else
{
for (int j = iPreSel+1; j < m_c; j++)
{
if (iSelMask & (1 << j))
{
continue;
}
const int iAdd = nums[j] - nums[iPreSel];
if (0 == iAdd)
{
continue;
}
const int iNewMask = JoinMask(iSelMask | (1 << j), j);
dp[iNewMask] = min(dp[iNewMask], min(m_vMaskGroupFirstToMin[iMask], dp[iMask]) + iAdd);
}
}
}
m_vMaskGroupFirstToMin.swap(dp);
}
std::set setRet;
for (int iPre = 0; iPre < m_c; iPre++)
{
int iIndex = (1 << m_c) - 1;
iIndex = iIndexm_c + iPre;
setRet.insert(m_vMaskGroupFirstToMin[iIndex]);
}
int iMin = setRet.begin();
return (m_iNotMay == iMin) ? -1 : iMin;
}
int JoinMask(int iSelMask, int iNewSelIndex)
{
return iSelMaskm_c + iNewSelIndex;
}
vector m_vMaskGroupFirstToMin;
int m_c;
int m_iMaskNum;
vector<vector> m_vMaskByBits;
const int m_iNotMay = 1000 * 1000;
};

2023年9月版

class Solution {
public:
int minimumIncompatibility(vector& nums, int k) {
m_c = nums.size();
if (k == m_c)
{
return 0;
}
m_iMaskNum = 1 << m_c;
if (0 != m_c % k)
{
return -1;
}
const int iNumOfAGroup = m_c / k;
vector<vector> vBitMask(m_c+1);
vBitMask[0].emplace_back(0);
for (int mask = 1; mask < m_iMaskNum; mask++)
{
vBitMask[bitcount((unsigned int)mask)].emplace_back(mask);
}
std::unordered_map<int, int> mMaskCom;
for (int mask : vBitMask[iNumOfAGroup])
{
int iMax = INT_MIN, iMin = INT_MAX;
unordered_set setValues;
for (int j = 0; j < m_c; j++)
{
if (mask & (1 << j))
{
MaxSelf(&iMax, nums[j]);
MinSelf(&iMin, nums[j]);
setValues.emplace(nums[j]);
}
}
if (setValues.size() != iNumOfAGroup)
{
continue;
}
mMaskCom[mask] = iMax - iMin;
}
int pre[1 << 16] = { 0 };
for (const auto& it : mMaskCom)
{
pre[it.first] = it.second;
}
for (int i = 2; i <= k; i++)
{
int dp[1 << 16] = { 0 };
for (const int& mask : vBitMask[iNumOfAGroup*i])
{
for (int sub = mask; sub; sub = (sub - 1) & mask)
{
if ((0 != pre[sub])&& mMaskCom.count(mask - sub))
{
int iNew = pre[sub] + mMaskCom[mask - sub];
if (0 != dp[mask])
{
iNew = min(iNew, dp[mask]);
}
dp[mask] = iNew;
}
}
}
memcpy(pre, dp, sizeof(dp));
}
return pre[m_iMaskNum - 1] ? pre[m_iMaskNum - 1] : -1;
}
int m_c, m_iMaskNum;
};

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。