算法学习系列（三十五）：贪心（杂）

引言

上一篇文章也说过了这个贪心问题没有一个规范的套路和模板，主要还是因题而异，到了考场上基本是靠猜，所以本篇文章主要还是以讲题为主。

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一、合并果子（Huffman树）

思路：这道题其实是道Huffman的问题，就是怎么让体力值最小，那么肯定是最开始从最小的合并，因为刚开始合并成一堆，又因为最后要合并成一堆，相当于以前的会再次移动一次，所以肯定前面合并的要移动的次数肯定是会比后面移动的次数多的，所以先把移动小的，当然要更优。

题目描述：

在一个果园里，达达已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。达达决定把所有的果子合成一堆。每一次合并，达达可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过 n−1 次合并之后，就只剩下一堆了。达达在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以达达在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为 1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使达达耗费的体
力最少，并输出这个最小的体力耗费值。例如有 3 种果子，数目依次为 1，2，9。可以先将 1、2 堆合并，新堆数目为 3，耗费体力为 3。接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 12，耗费体力为 12。所以达达总共耗费体力=3+12=15。可以证明 15 为最小的体力耗费值。输入格式
输入包括两行，第一行是一个整数 n，表示果子的种类数。
第二行包含 n 个整数，用空格分隔，第 i 个整数 ai 是第 i 种果子的数目。输出格式
输出包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。
输入数据保证这个值小于 231。数据范围
1≤n≤10000,1≤ai≤20000
输入样例：
3 
1 2 9 
输出样例：
15

示例代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1e5+10;int n;int main()
{ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;cin >> n;for(int i = 0; i < n; ++i){int t;cin >> t;heap.push(t);}LL res = 0;while(heap.size() > 1){int a = heap.top(); heap.pop();int b = heap.top(); heap.pop();res += a + b;heap.push(a+b);}cout << res << endl;return 0;
}

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二、排队打水（排序不等式）

思路：要让总的等待时间最短那么肯定是让时间最长的人靠后，短的靠前，排个序就行了。

题目描述：

有 n 个人排队到 1 个水龙头处打水，第 i 个人装满水桶所需的时间是 ti，请问如何安排他们的打水顺序才能使所有人的等待时间之和最小？输入格式
第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 个人装满水桶所花费的时间 ti。输出格式
输出一个整数，表示最小的等待时间之和。数据范围
1≤n≤105,1≤ti≤104
输入样例：
7
3 6 1 4 2 5 7
输出样例：
56

示例代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1e5+10;int n;
int a[N];int main()
{ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];sort(a+1, a+n+1);LL res = 0;for(int i = 1; i <= n; ++i){res += a[i] * (n - i);}cout << res << endl;return 0;
}

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三、货仓选址（绝对值不等式）

思路：由下图可知选在中心点的位置是最好的，如果货仓是偶数的话，选在$[a,b]$中的任意一点的结果都是一样的。

题目描述：

在一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 A1∼AN。现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。输入格式
第一行输入整数 N。
第二行 N 个整数 A1∼AN。输出格式
输出一个整数，表示距离之和的最小值。数据范围
1≤N≤100000,0≤Ai≤40000
输入样例：
4
6 2 9 1
输出样例：
12

示例代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1e5+10;int n;
int a[N];int main()
{cin >> n;for(int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];sort(a, a+n);int md = a[n>>1];LL res = 0;for(int i = 0; i < n; ++i){res += abs(a[i] - md);}cout << res << endl;return 0;
}

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四、耍杂技的牛（推公式）

思路：这个其实也就是从小到大排序，就是最优解了，也没什么为什么，能证出来，记住就行了。

题目描述：

农民约翰的 N 头奶牛（编号为 1..N）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：
叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。
奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。这 N 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 Wi 以及自己的强壮程度 Si。一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为风险值
，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。您的任务是确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。输入格式
第一行输入整数 N，表示奶牛数量。
接下来 N 行，每行输入两个整数，表示牛的重量和强壮程度，第 i 行表示第 i 头牛的重量 Wi 以及它的强壮程度 Si。输出格式
输出一个整数，表示最大风险值的最小可能值。数据范围
1≤N≤50000,1≤Wi≤10,000,1≤Si≤1,000,000,000
输入样例：
3
10 3
2 5
3 3
输出样例：
2

示例代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y secondconst int N = 1e5+10;int n;
PII cow[N];int main()
{ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);cin >> n;for(int i = 0; i < n; ++i){int w, s;cin >> w >> s;cow[i] = {w+s, w};}sort(cow, cow+n);LL res = -2e9, sum = 0;for(int i = 0; i < n; ++i){int w = cow[i].y, s = cow[i].x - w;res = max(res, sum - s);sum += w;}cout << res << endl;return 0;
}