数据结构与算法之堆排序

堆排序概述

堆排序（Heap Sort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：

同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子
该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：

• 大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]

• 小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]

步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)

1）假设给定无序序列结构如下

2）此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整

3）找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换
4）这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。
此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆

步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换

1）将堆顶元素9和末尾元素4进行交换，9就不用继续排序了

2）重新调整结构，使其继续构建大顶堆（9除外）

3）再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.

步骤三 后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序

排序思路：

• 将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;

• 将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;

• 重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序

动图展示：

代码实现

import java.util.Arrays;public class HeapSort {public static void main(String[] args) {int[] arr = {4, 6, 8, 5, 9};heapSort(arr);
//        [4, 6, 8, 5, 9]
//        [4, 9, 8, 5, 6]
//        [4, 9, 8, 5, 6]
//        [9, 6, 8, 5, 4]
//        [9, 6, 8, 5, 4]
//        [9, 6, 8, 5, 4]
//        [8, 6, 4, 5, 9]
//        [8, 6, 4, 5, 9]
//        [6, 5, 4, 8, 9]
//        [6, 5, 4, 8, 9]
//        [5, 4, 6, 8, 9]
//        [5, 4, 6, 8, 9]
//        [4, 5, 6, 8, 9]}//堆排序public static void heapSort(int[] arr) {//开始位置是最后一个非叶子节点（最后一个节点的父节点）int start = (arr.length - 1) / 2;//循环调整为大顶堆for (int i = start; i >= 0; i--) {maxHeap(arr, arr.length, i);}//先把数组中第0个和堆中最后一个交换位置for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--) {int temp = arr[0];arr[0] = arr[i];arr[i] = temp;//再把前面的处理为大顶堆maxHeap(arr, i, 0);}}//数组转大顶堆,size:调整多少（从最后一个向前减），index:调整哪一个（最后一个非叶子节点）public static void maxHeap(int[] arr, int size, int index) {//左子节点int leftNode = 2 * index + 1;//右子节点int rightNode = 2 * index + 2;//先设当前为最大节点int max = index;//和两个子节点分别对比，找出最大的节点if (leftNode < size && arr[leftNode] > arr[max]) {max = leftNode;}if (rightNode < size && arr[rightNode] > arr[max]) {max = rightNode;}//交换位置if (max != index) {int temp = arr[index];arr[index] = arr[max];arr[max] = temp;//交换位置后，可能会破坏之前排好的堆，所以之间排好的堆需要重新调整maxHeap(arr, size, max);}//打印每次排序后的结果System.out.println(Arrays.toString(arr));}
}

时间复杂度

• 最优时间复杂度：o(nlogn)
• 最坏时间复杂度：o(nlogn)
• 稳定性：不稳定

它的运行时间主要是消耗在初始构建堆和在重建堆时的反复筛选上。

在构建堆的过程中，因为我们是完全二叉树从最下层最右边的非终端结点开始构建，将它与其孩子进行比较和若有必要的互换，对于每个非终端结点来说，其实最多进行两次比较和互换操作，因此整个构建堆的时间复杂度为O(n)。

在正式排序时，第i次取堆顶记录重建堆需要用O(logi)的时间（完全二叉树的某个结点到根结点的距离为log2i＋1），并且需要取n-1次堆顶记录，因此，重建堆的时间复杂度为O(nlogn)。

所以总体来说，堆排序的时间复杂度为O(nlogn)。由于堆排序对原始记录的排序状态并不敏感，因此它无论是最好、最坏和平均时间复杂度均为O(nlogn)。这在性能上显然要远远好过于冒泡、简单选择、直接插入的O(n2)的时间复杂度了。

空间复杂度上，它只有一个用来交换的暂存单元，也非常的不错。不过由于记录的比较与交换是跳跃式进行，因此堆排序是一种不稳定的排序方法。