【FMCW 04】测角-Angle FFT

在之前的文章中，我们已经详尽讨论过FMCW雷达测距和测速的原理，现在来讲最后一块内容，测角。测角对于硬件设备具有要求，即要求雷达具有多发多收结构，从而形成多个空间信道（channel），我们正是利用这些channel间的差异性来完成对目标的测角。

本节讲述通用的Angle FFT测角的原理。

天线阵列

在一个具有多发多收的天线结构中，我们可以得到一个天线阵列（array）。一个Tx-Rx就构成了一个空间信道。

设相邻的两个天线之间排布间距为$d$，到达角（angle of arrival，AoA）为 $\theta$，则相邻的两个天线之间会产生一个固定的光程差 $d\sin \theta$，这个固定的光程差会造成相邻两个信道间接收回波固定的相位差。即
$$\frac{d\sin \theta }{\lambda }=\frac{\Delta \varphi }{2\pi }$$
于是我们就有
$$\sin \theta =\frac{\lambda }{2\pi d}\Delta \varphi$$

最大测量角度

由于
$$-\pi <\Delta \varphi <\pi$$
所以最大测量角度为
$${\theta }_{max}<\arcsin (\frac{\lambda }{2d})$$

取天线阵列间距为$\frac{\lambda }{2}$时，就可得此时测量达到达到角的范围正好在±90°，即

$$-1<\sin \theta <1$$
$$-90^{\circ }<\theta <90^{\circ }$$

但值得注意的是，虽然$\sin \theta$与我们的$\Delta \varphi$成正比，但由于$\sin \theta$ 函数本身的非线性，$\theta$ 在角度小时对$\Delta \varphi$更敏感，或者说：在低角度范围（如AoA±30°）内测角的精度（或区分度）更高。

可以看下面的函数图来有一个直观的认识：当我们在$\sin \theta$轴取均匀标度，在$\theta$ 轴上的标度随角度的增加是越来越粗的。

相位差的周期性

在之前 测速 的文章中，我们已经讨论过相位差的周期性，及其基于数字域角分辨率下的FFT结果。那么，现在由于N个信道所造成的固定相位差，同样也会形成这个一个相位差的周期性。

借用一幅TI教程的示意图，我们此时对在同一range bin中且又在同一 velocity bin中的两个运动物体进行区分，那么，如果其AoA不同，我们就可以借由 angle FFT 来完成对这两个运动物体的区分。

角度分辨率

看得出来，此处的推导与测速中的推导相近。在数字域上的角速度分辨率为
$$\Delta \omega =\frac{2\pi }{N}radians/sample$$
其中N为FFT的点数，继续令$\Delta \varphi =w$，则
$$\sin (\theta +\Delta \theta )-\sin (\theta )=\frac{\lambda }{2\pi d}(\Delta w+w)-\frac{\lambda }{2\pi d}w=\frac{\lambda }{2\pi d}\Delta w$$

根据导数的定义，我们有
$$\frac{\sin (\theta +\Delta \theta )-\sin (\theta )}{\Delta \theta }=\cos \theta$$
于是，可进一步推得
$$\cos (\theta )\Delta \theta =\frac{\lambda }{2\pi d}\Delta w$$
$$\Delta \theta =\frac{\lambda }{2\pi d\cos (\theta )}\Delta w=\frac{\lambda }{Nd\cos (\theta )}$$
这里同样可对之前低角度范围内测角的精度（或区分度）更高的原因做出解释：$\cos \theta$在低角度时值更大，使得此时的 $\Delta \theta$ 有着更细微的取值。

如果取天线阵列间距为 $\frac{\lambda }{2}$ ，且设 $\theta =0$，就可以得到通常定义下的最精细的角度分辨率为
$${\theta }_{res}=\frac{2}{N}$$
可见其将受限于能够完成多发多收的天线数量。