【C++庖丁解牛】自平衡二叉搜索树--AVL树

🍁你好，我是 RO-BERRY 📗 致力于C、C++、数据结构、TCP/IP、数据库等等一系列知识 🎄感谢你的陪伴与支持 ，故事既有了开头，就要画上一个完美的句号，让我们一起加油

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前言

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

1. 它的左右子树都是AVL树
2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
3. 平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度

平衡因子并不是必须的，它只是一种控制方式，帮助我们更便捷的控制树

【扩充】
这里为什么高度差为1？如果高度相等不是更平衡吗？

节点是一个一个插入的，有些情况是无法做到相等的，最优就是高度差是1；比如：两个节点的树和四个节点的树等等。

2. AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：

template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲T _data;int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};

3. AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

插入节点会影响新增节点的部分祖先
更新原则：

• 若是插入的是左节点则父节点的平衡因子减1
• 若是插入的是右节点则父节点的平衡因子加1

是否要继续更新取决于新增节点会不会影响父节点的高度，从而决定会不会影响爷爷节点

• 更新后，父节点所在的子树高度不变则不会影响爷爷节点

说明父节点的平衡因子是1或者-1，父节点在矮的那边插入了节点，左右均衡了，于是父节点的高度不变，则不会影响到爷爷，更新结束

• 更新后，父节点所在的子树高度改变则会影响爷爷节点

说明更新前，父节点的平衡因子是0，父节点变得不均衡，但是不违反规则，高度改变，会影响爷爷节点继续往上更新

更新后，父节点的平衡因子为2或-2，说明该子树违反了平衡规则，需要处理->旋转
代码实现：

	bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性/*pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负21. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理*/while (parent){// 更新双亲的平衡因子if (cur == parent->left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}// 更新后检测双亲的平衡因子if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树的高度增加了一层，因此需要继续向上调整cur = cur->_parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent为根的树进行旋转处理if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else{RotateRL(parent);}break;}else{// 插入之前AVL树就有问题assert(false);}}return true;}

4. AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，
使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。

在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2. 60可能是根节点，也可能是子树

• 如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
• 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

void _RotateR(PNode pParent)
{// pSubL: pParent的左孩子// pSubLR: pParent左孩子的右孩子PNode pSubL = pParent->_pLeft;PNode pSubLR = pSubL->_pRight;// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子pParent->_pLeft = pSubLR;// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲if (pSubLR)pSubLR->_pParent = pParent;// 60 作为 30的右孩子pSubL->_pRight = pParent;// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲PNode pPParent = pParent->_pParent;// 更新60的双亲pParent->_pParent = pSubL;// 更新30的双亲pSubL->_pParent = pPParent;// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针if (NULL == pPParent){_pRoot = pSubL;pSubL->_pParent = NULL;}else{// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树if (pPParent->_pLeft == pParent)pPParent->_pLeft = pSubL;elsepPParent->_pRight = pSubL;}// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
}

2. 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
   
   实现及情况考虑可参考右单旋。

3. 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
void _RotateLR(PNode pParent)
{PNode pSubL = pParent->_pLeft;PNode pSubLR = pSubL->_pRight;// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子int bf = pSubLR->_bf;// 先对30进行左单旋_RotateL(pParent->_pLeft);// 再对90进行右单旋_RotateR(pParent);if(1 == bf)pSubL->_bf = -1;else if(-1 == bf)pParent->_bf = 1;
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

参考右左双旋。
总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR

• 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
• 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL

• 当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
• 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

实现代码

#pragma oncetemplate<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorpair<K, V> _kv;AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0), _kv(kv){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent){if (cur == parent->left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = cur->_parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 旋转处理if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else{RotateRL(parent);}break;}else{// 插入之前AVL树就有问题assert(false);}}return true;}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else{ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode;}parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}private:Node* _root = nullptr;
};

5 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树

• 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
• 节点的平衡因子是否计算正确

int _Height(PNode pRoot);
bool _IsBalanceTree(PNode pRoot)
{// 空树也是AVL树if (nullptr == pRoot) return true;// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);int diff = rightHeight - leftHeight;// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))return false;// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot->_pRight);}

6 AVL树的删除(了解)

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体实现学生们可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，它的删除操作与插入操作类似，但需要在删除节点后进行平衡操作以保持树的平衡性。
AVL树的删除操作可以分为以下几种情况：

1. 如果待删除的节点是叶子节点，直接删除即可。
2. 如果待删除的节点只有一个子节点，将子节点替代待删除节点的位置。

如果待删除的节点有两个子节点，可以选择以下两种方式进行删除：

• 找到待删除节点的前驱或后继节点，将其值复制到待删除节点，并将前驱或后继节点删除。
• 找到待删除节点的左子树中的最大值或右子树中的最小值，将其值复制到待删除节点，并将最大值或最小值节点删除。

删除节点后，需要从被删除节点的父节点开始向上回溯，检查每个祖先节点是否平衡。如果发现某个祖先节点不平衡，需要进行相应的旋转操作来恢复平衡。

7 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$lo{g}_2(N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

AVL树是一种自平衡二叉搜索树，它的性能相对于普通的二叉搜索树更加稳定。AVL树的性能可以从以下几个方面来介绍：

1. 查找操作：AVL树的查找操作与普通的二叉搜索树相同，时间复杂度为O(log n)，其中n为树中节点的数量。由于AVL树是平衡的，所以查找操作的性能是稳定的。

2. 插入和删除操作：AVL树在插入和删除节点时会进行自平衡操作，以保持树的平衡性。这些自平衡操作包括旋转和重新计算节点的平衡因子。插入和删除操作的时间复杂度也是O(log n)，但由于需要进行自平衡操作，所以相对于普通二叉搜索树，AVL树的插入和删除操作可能会更耗时。

3. 平衡性：AVL树的平衡性保证了树的高度始终保持在一个较小的范围内。具体来说，AVL树的任意节点的左右子树高度差不超过1。这种平衡性保证了查找、插入和删除操作的时间复杂度都能够保持在O(log n)。

4. 空间复杂度：AVL树的空间复杂度与节点数量成正比，即O(n)。每个节点需要存储键值对以及额外的平衡因子信息。

总的来说，AVL树在查找操作上具有较好的性能，但在插入和删除操作上可能会稍微慢一些。然而，AVL树的平衡性保证了树的高度始终保持在一个较小的范围内，从而保证了整体的性能稳定性。