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excel统计分析——多项式回归

参考资料:生物统计学

        多项式回归属于单变量曲线回归,但其形式和求解方法与多元线性回归相似。多项式回归的数学模型为:

\hat{y}=a+b_1x+b_2x^2+...+b_mx^m

x_i=(1,x_i,x_i^2,...,x_i^m)(i=1,2,...,n)X=(x_1,x_2,...,x_n)'Y=(y_1,y_2,...,y_m)'b=(a,b_1,b_2,...,b_m)',则

Xb=Y

        由于X不可逆,两边同时乘以X'得,X'Xb=X'Y,两边在同时乘以X'X的逆矩阵,则:

b=(X'X)^{-1}(X'Y)

        进行回归方程的显著性检验时,可以直接用原始数据计算平方和:

SS_y=Y'Y-(1'Y)^2/n

U_y=b'X'Y-(1'Y)^2/n

Q_y=Y'Y-b'X'Y

        检验偏回归系数的显著性时,U_i=b_i^2/c_{ii},c_{ii}为矩阵(X'X)^{-1}对角线上的元素。和多元线性回归一样,当检验结果存在不显著的偏回归系数时,需逐步剔除不显著的项重新建立回归方程。

        如果令x_1=x,x_2=x^2,...,x_m=x^m,则多元线性回归方程和多项式回归方程的形式一致,多元线性回归方程也可以直接用原始数据求解。

excel操作如下:

当然可以用数据分析工具直接求得偏回归系数和进行显著性检验,如下:

1、在数据分析工具对话框中,选择“回归”

2、选择对应的输入和输出区域。此处注意X值的输入区域不用选择x^0列,只选择x^1x^2列的数据。

3、导出结果

4、结果显示

        回归方程显著,即存在回归关系;截距和两个偏回归系数均显著,表明y和x之间存在二次曲线回归关系。

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