重构大学数学基础_week04_从点积理解傅里叶变换

这周我们来看一下傅里叶变换。傅里叶变换是一种在数学和许多科学领域中广泛应用的分析方法，它允许我们将信号或函数从其原始域（通常是时间域或空间域）转换到频域表示。在频域中，信号被表示为其组成频率的幅度和相位，这为理解和操作信号提供了一种强大的方式。

这次我不会从它普遍的推导方式来理解，而是从一个更简单的角度来理解----向量的点积。

向量点积

先简单介绍一下向量的点积。假如我们现在有一个向量a长度为6，又有一个向量b长度为8，它们的夹角为60°，那么它们的点积的就是用它们的模长乘以夹角的余弦值，得到24.

那么这样定义有什么用呢？它得出来的数值说明了什么呢？我们现在把夹角调小到30°，现在我们就看到啊，向量b在a方向上得投影变得比之前长了，而点积的结果也变成了24倍的根号3。

大家观察一下啊，角度调整前后的向量b谁和向量a更像啊？那自然是夹角更小的那个了，所以点积或者说点乘这样子来定义的一大作用呢，就是可以衡量一个东西和另一个东西有多像，也就是相似度，

而点积出来的数值越大，相似度呢就越高。这时如果把向量具象化为一个观察者，而观察者呢只能看到和感知到它自己这个维度方向上的东西，所以向量b在向量a 的眼里呢也还是一个向量，并且和自己是一条线上的。

那么在a的眼里，b向量有多长呢？那就得算向量b在a方向上的投影是多少了，也就是拿b向量的模长乘以他们夹角的余弦。

如果用上刚刚点乘的定义呢，就是ab点积再除以a的模长，

这个就是b在a上的投影长度了。如果向量b垂直于向量a，那么b在a上的投影就是0，点积结果就是0。也就是说它们两个一点都不“像”，那么我们a作为观察者，它压根就感知不到向量b的存在。

当夹角变成钝角的时候，情况又出现了新的变化，向量b在向量a的方向上又有了投影，只不过方向和刚刚相反了，点积就变成了负值，它们仍然具有相似性。

既然引出了观察者这个概念，那么我们就可以从一个全新的角度去看了，虽然每一个观察者都只能看到一个片面，但是我们把所有观察者都看到的都综合起来，就可以得到真相了。

观察者角度看向量分解

我们找来两个相互垂直的观察者i和j,它们的长度都是1，你想看i眼里的向量m,那么我们就可以用i和m进行点积，假如我们得到的数值是4，同理，看j眼里的向量m可以用j和m进行点积，结果为3，这时候向量m就可以表示为4i加3j了。

可以看出，向量m对观察者向量i的影响更大，它们也更相似。大家注意，上面两个观察者i和j的长度被定义为1，这其实就是归一化操作，为什么要归一化呢？那总不能让作为基准的东西高矮胖瘦什么都有吧？而且归一化可以保证各个观察者在能量上是一致的，方便后续数据的处理，如果不进行归一化，那么后续处理数据又得一个一个来区别对待，那就相当麻烦。

如果向量长度不为一怎么办？那么我们把它归为1.现在有一个向量a，我们直接除以它的模长，就可以得到归一化后的观察者了，其实就是a方向的单位向量了。

那刚刚的4i+3j，I和j都是单位向量，而4和3是投影系数，也就是在不同方向观察者看到的量是多少。

好我们再回到刚刚那个例子，在a 眼里向量b可以这么表达：a点乘b再除以a的模长，就是b在a方向的投影，然后再乘以a的归一化向量，也就是a 除以自己的模长。

 我们可以看出来，如果观察者不归一，那么你的系数就要归一。

一句话小结一下，观察者理论就是对于给定的目标，让若干个归一化的每个观察者都记录一个数据，而这些数据就是我们想要的东西了，所以点积就是观察者了解一个未知事物的手段。

连续函数的点积

我们放到直角坐标系当中去看。我们都知道在直角坐标系下两个向量X[x1,x2,x3,x4]和Y[y1,y2,y3,y4]的点积是对应的分量相乘再相加，推广到n维也是如此。现在我们来思考这样一种事情，假如我们有两个向量Xn[x1,x2,x3,x4,…xn] 和Yn[y1,y2,y3,…yn] 我们把Xn的每一个分量均匀放在时间轴t上，假设范围是(t1,t2),那么我们就可以看出来，这是一个t1到t2的离散函数，x1x2x3等等是函数值。

当n 越来越大趋于无穷的时候，那么均匀分布在t轴上的数就会越来越多，直到连续。那么这就是一个连续函数X（t）,t∈[t1,t2]，Yn同理。

这样我们就可以看出来，一个连续的函数等价于无穷维的向量。那么结合向量的点积

，这些就是对应点的函数值相乘，当它们是连续函数的时候，直接用两个函数相乘就行了，就是X（t）乘以Y(t).

那么相加的动作，在连续函数当中就是求积分，如果定义域是t1,t2的闭区间，那么式子就是这样子

从图像上来看，这个式子的数值是大于0的，也就是说，它们之间是存在一些相似度的。那么上面的呢就是连续函数点乘的定义了。

从点积推导傅里叶变换

好，那么现在让我们把目光放在傅里叶级数上来，傅里叶级数是由一系列简单的正余弦函数作为基，例如2pi周期的函数的基就是cost,cos2t,cos3t等等，这些基是通过不同频率来进行区分的，它们可以看到目标函数在自己频率世界中的投影，也就是影响是多少。当然也可以说是看目标函数和观察者自己本身的相似度有多少。

如果高频的观察者和目标函数相似度更高，那么就说明原函数的高频成分就更多。例如，我们有一个目标函数f(t),我们想看cosnt和目标函数相似度有多少，即成分的高低，那么我们直接让二者点乘即可，即从[-pi,pi],

如果你还想进一步看一下f(t)在cosnt上具体的投影是多少呢，那就离不开归一化操作了，刚才已经讲过了要么观察者是归一的要么系数是归一的。连续函数不就是连续无穷维向量吗？所以连续函数的模长就是。那么cosnt的模长就是，其实连续函数的模长有一个专有名词叫做2-范数。很明显cosnt这个观察者没有归一，所以投影系数呢就得归一，我们看之前总结的公式。代入后就是

这个式子是不是非常眼熟？它就是傅里叶级数求An的公式，对应到不同频率基的振幅。这样我们就可以求出原函数在不同频率下的投影是多少了。

好，我们接下来更进一步进入到傅里叶级数的复变换形式。上周我们都了解了欧拉公式，那么我们就可以把代入进去了。

不过要注意一件事情，两个复函数的点乘是取后者的共轭函数进行计算的。

取代了之前的cosnt成为了新的观察者，那么让它来对f(t)进行点乘来看相似度有多少，的共轭复数是，进行点乘之后有

，而且我们可以看到，观察者已经归一了，因为它表示的都是半径为1的旋转，那么现在我们再看看这个公式，这其实就是连续函数的傅里叶变换的公式。我们积分出来的结果一般都是一个关于角频率w的复函数，那么这个复函数的模就可以理解为我们前面所说过的投影数。

以上就是从点积或者说点乘角度来理解傅里叶变换，希望能帮助到大家对傅里叶变换有更深层次的认识。

总结

1.点积就是计算A与B之间的相似程度。

2.一个n维向量存在n个基，第i个基与其进行点积，可以得到该向量在第i个基上的相似度。

3.无穷维的向量可以看作是一个连续的函数，此时点积可看作积分。

4.引入欧拉公式，将目标函数与不同基点乘，从而得到不同频率的成分大小，这就是连续傅里叶变换。

应用

1. 图像压缩与增强：傅里叶变换可以将图像转换到频域，从而分离出代表图像细节的高频分量和表示图像结构的低频分量。这一特性被用于图像压缩，通过去除或减少高频噪声来减小图像大小，同时保持视觉质量。在图像增强方面，可以通过调整频域系数来改善图像的清晰度或进行去模糊处理。
2. 音频信号处理：在语音识别、音乐分类和音频降噪等任务中，傅里叶变换用于分析音频信号的频率组成，帮助识别特定的声音特征，从而提高处理的准确性和效率。
3. 时序数据分析：在处理时间序列数据（如股票价格、传感器读数）时，傅里叶变换能够揭示数据中的周期性成分，帮助预测未来趋势、异常检测和模式识别。
4. 降维和特征工程：在高维数据集中，傅里叶变换可以揭示数据的频率特性，通过选择或构造基于频率的特征，降低数据维度，提高机器学习模型的训练效率和泛化能力。