关于Lambert W函数
来源:R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey, and D. E. Knuth, “On Lambert’s W function,” Adv. Comput. Math., vol. 5, pp. 329–359, May 1996, doi: 10.1007/BF02124750.
摘要
Lambert W函数被定义为函数 w ↦ w e w w \mapsto we^w w↦wew的多值逆函数。它在纯数学和应用数学中有许多应用,其中一些在此被简要描述。我们提供了一个关于W函数复数分支的新讨论,一个对所有分支都有效的渐近展开式,一个用于任意精度计算该函数的有效数值程序,以及一种用于包含W的表达式符号积分的方法。
文章的研究内容
文章主要研究了Lambert W函数,这是一个定义为函数 w ↦ w e w w \mapsto we^w w↦wew的多值逆函数,在纯数学和应用数学中有广泛的应用。研究内容包括以下几个方面:
-
历史背景与引言:文章追溯了Lambert W函数的历史,起源于Johann Heinrich Lambert在18世纪解决三元方程的工作。通过Euler的变换,原方程被简化为对数形式,从而引出Lambert W函数的概念。
-
复分支分析:文中详细探讨了Lambert W函数的复数域特性,给出了所有分支的解析描述,并基于de Bruijn的工作扩展了复无穷远处的渐近展开。
-
渐近展开:文章提出了一种适用于所有分支的有效渐近展开方法,适用于任意分支的W函数值计算,这一成果对于理解和逼近W函数在不同区域的行为至关重要。
-
数值计算:介绍了一种高效且精确的数值方法,用于任意精度下W函数的计算,特别是在Maple V Release 2中实现了任意精度复浮点形式的所有分支的W(z)的计算。
-
符号积分:基于K.B. Ranger的工作,文章重新发现了一种古老的积分反函数方法,使得包含W函数的一类广义函数能够进行符号积分,这是计算理论和算法设计中的一个重要进展。
-
应用实例:文章列举了W函数的多种应用案例,比如在树的计数问题、水波高度计算、随机网络连通性分析、流行病模型和算法分析中的应用等。例如,W函数在分析具有延迟项的线性常系数微分方程的解时起关键作用,以及在动态模型和计算机算法行为分析中与T函数一起出现。
-
符号约定与命名:文章提议将此函数命名为Lambert W函数,既反映了其与Lambert系列的联系,也考虑了E.M. Wright在该函数多个方面的开创性工作。在Maple系统中,W函数已实现多年,并在后续版本中提供了所有分支的任意精度实现。
整体而言,这篇文章旨在整合关于Lambert W函数的现有研究成果,并提出了新的理论进展,包括复分析、数值方法和符号计算等方面,同时也强调了其在多个学科中的实际应用价值。
文章的研究方法
文章采用的研究方法主要包括理论分析、数值计算和符号计算三个方面,以深入探讨Lambert W函数的性质及其应用。具体来说:
-
理论分析:通过对Lambert W函数的复数分支进行深入分析,研究者提出了一套新的讨论框架,这有助于理解W函数在复平面上的结构和行为。他们还推导出了一个普遍适用的渐近展开式,该展开式对所有分支都有效,为精确近似W函数提供了理论基础。
-
数值计算:为了高效准确地计算Lambert W函数,研究者比较了三种迭代法——牛顿法、Halley法(一种三阶方法)和一种四阶方法(在原始文献[30]中仅针对实数主分支进行了描述,但可以容易地推广到所有分支和复数域)。通过在Maple V Release 3平台上实现这些算法,并在DEC Alpha 3000/800S计算机上进行测试,他们发现Halley法通常是最优的,四阶方法次之,而牛顿法最慢。这些发现基于不同精度、分支和复数参数的广泛测试,证明了在实际计算环境下的有效性。
-
符号积分:文章还介绍了一种用于包含Lambert W函数的表达式的符号积分方法。这种方法基于对W函数的深入理解,允许直接处理包含W的复杂表达式的积分问题,而不必依赖数值近似,这对于理论分析尤其重要。
研究不仅加深了对Lambert W函数内在性质的理解,而且开发了实用的计算工具,使研究人员和工程师能够在各自领域中有效地利用这一多功能函数。研究过程中考虑了算法效率、精度要求以及在不同计算平台上的通用性,体现了理论与实践的紧密结合。
文章的创新点
-
复数分支的新讨论:作者对Lambert W函数的复数分支进行了新的探讨,这是前人研究中可能未充分覆盖的一个领域。这种新讨论增进了对W函数在复平面上的结构和性质的理解。
-
通用渐近展开:提出了一种适用于所有Lambert W函数分支的渐近展开式,这意味着无论在实数域还是复数域,都可以用这个展开式来近似W函数的值,提高了在不同应用场景中的实用性。
-
高效数值计算方法:开发了一种高效的数值计算程序,能够以任意精度计算Lambert W函数。这对于需要高精度计算的科学和工程应用尤为重要,如在模拟、优化问题和物理学等领域。
-
符号积分方法:引入了一种用于含有Lambert W函数的表达式的符号积分方法,这在理论分析中非常有用,因为它允许直接处理表达式而不是通过数值近似,从而保持了结果的精确性和可解析性。
-
历史与现代应用结合:通过回顾Lambert和Euler的工作,文章将历史上的数学成就与现代计算技术相结合,展示了Lambert W函数从古典问题到现代科学计算中的广泛应用,体现了数学理论与实际问题解决之间的桥梁作用。
文章的创新不仅在于理论上的深化,还包括了实用计算技术的推进,为研究者和工程师提供了一套全面的工具,以探索和利用Lambert W函数在纯数学和应用数学中的潜力。
文章的结论
-
Lambert W函数的综合研究:文章汇总了Lambert W函数的众多已知结果,为读者提供了方便的参考。通过历史回顾、应用实例以及新发现的展示,增强了对W函数在数学和科学领域重要性的认识。
-
复杂分支的深入理解:对Lambert W函数的复数分支进行了新的讨论,确定了其在复平面的渐近展开,这对于理解和计算W函数在复域中的行为至关重要。
-
高效数值计算方案:提出了一种高效且准确的数值方法,能够在Maple软件中实现任意精度的复数浮点形式的W(z)的所有分支计算。这表明,无论是理论研究还是实际应用,都能获得高精度的W函数值。
-
符号积分技术:介绍了基于K.B. Ranger的工作,重新发现了古老的积分反函数方法,该方法使得包含W函数的大类表达式能够进行符号积分。这一发现拓展了W函数在理论计算和分析中的应用范围。
-
标准符号提议:提议采用统一的标准符号表示Lambert W函数在复平面上的所有分支,以及相关的tree函数T(x),以提高该函数在各领域使用的标准化程度和认知度。同时,文章指出,由于早期使用混乱的记号和缺乏标准名称,Lambert W函数的知名度与其广泛应用不相匹配,但该文发表后,情况有所改善。
-
实践反馈与改进:文章的初次发布吸引了大量反馈,使得研究得到了实质性的改进,特别是Heck和Robinson指出了W函数与延迟微分方程的关联,增加了其应用维度。
文章不仅总结了Lambert W函数的现有知识,还推动了对其更深入的理解和应用,为该领域的研究者提供了一系列实用工具和理论支持。此外,文章还强调了标准化命名和符号表述的重要性,为促进跨学科交流和W函数的广泛认知奠定了基础。
相关文章:
关于Lambert W函数
来源:R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey, and D. E. Knuth, “On Lambert’s W function,” Adv. Comput. Math., vol. 5, pp. 329–359, May 1996, doi: 10.1007/BF02124750. 摘要 Lambert W函数被定义为函数 w ↦ w e w w \mapsto we^…...

【免杀】C2远控-APC注入-进程镂空
目录 进程镂空&傀儡进程(主要过内存扫描)代码 傀儡进程演示如何上线上线演示 APC注入&进程欺骗(主要过内存扫描)同步调用与异步调用代码演示 进程镂空&傀儡进程(主要过内存扫描) 进程镂空(Pro…...
20240611 讯飞JAVA工程师(研发经理岗)面试
1.线程安全的集合类 在Java中,一些线程安全的集合类有Stack、Vector、Properties、Hashtable等 2.线程池中execute和submit的区别 1)参数及返回值不同 excute只能提交Runnable,无返回值 submit既可以提交Runnable,返回值为null&am…...

【研发日记】Matlab/Simulink软件优化(三)——利用NaNFlag为数据处理算法降阶
文章目录 前言 背景介绍 初始算法 优化算法 分析和应用 总结 前言 见《【研发日记】Matlab/Simulink软件优化(一)——动态内存负荷压缩》 见《【研发日记】Matlab/Simulink软件优化(二)——通信负载柔性均衡算法》 背景介绍 在一个嵌入式软件开发项目中,需要开…...
go语言接口之http.Handler接口
package httptype Handler interface {ServeHTTP(w ResponseWriter, r *Request) }func ListenAndServe(address string, h Handler) error ListenAndServe函数需要一个例如“localhost:8000”的服务器地址,和一个所有请求都可以分 派的Handler接口实例。它会一直运…...

R语言 | 使用最简单方法添加显著性ggpubr包
本期教程原文:使用最简单方法添加显著性ggsignif包 本期教程 获得本期教程代码和数据,在后台回复关键词:20240605 小杜的生信笔记,自2021年11月开始做的知识分享,主要内容是R语言绘图教程、转录组上游分析、转录组下游…...

【Linux】shell脚本变量——系统变量、环境变量和用户自定义变量
系统变量 系统变量是由系统预设的,它们通常在系统启动时被加载,并对所有用户和所有shell实例都有效。这些变量通常控制着系统的行为和配置,例如PATH(命令搜索路径)、HOME(用户主目录)等。系统变…...

QWidget 属性——windowTitle·windowIcon·qrc
🐌博主主页:🐌倔强的大蜗牛🐌 📚专栏分类:QT ❤️感谢大家点赞👍收藏⭐评论✍️ 文章目录 一、windowTitle二、windowIcon三、qrc 一、windowTitle windowTitle 是一个通常用于表示窗口标题…...

深入理解rtmp(一)之开发环境搭建
深入理解rtmp(一)之开发环境搭建 手机直播在15年的时候突然火起来,随着花椒,映客等出现,直播一下就出现在了风口,各个公司针对直播的战斗迅速打响,战斗过程比较短暂,随着许多公司的退出和死去,手机直播行业趋于稳定,直播服务时长也被传统的CDN厂商牢牢占据,后面大家又把精力投…...
java常用面试基础题
&与&&区别? &和&&都是逻辑运算符,都是判断两边同时真则为真,否则为假;但是&&当第一个条件不成之后,后面的条件都不执行了,而&则还是继续执行,直到整个条件…...
互联网摸鱼日报(2024-06-11)
互联网摸鱼日报(2024-06-11) 36氪新闻 雅诗兰黛,胆子也太大了 苹果WWDC终极前瞻:5大看点20大AI新功能,库克不能输的一战 瑞士清洁科技公司Enerdrape开发预制地热板,回收城市地下空间的浅层地热能和废热用于建筑物制热或制冷 | …...
中介子方程十二
X$XFX$XEXyXαXiX$XαXiXrXkXtXyX$XpXVX$XVXpX$XyXtXkXrXiXαX$XiXαXyXEX$XFX$XEXyXαXiX$XαXiXrXkXtXyX$XpXVX$XVXpX$XyXtXkXrXiXαX$XiXαXyXEX$XαXηXtXαX$XWXyX$XyXWX$XpXαXqXηX$XeXαXhX$XdX$XpX$XdX$XyXeXαX$XEXyXαXiX$XαXiXrXkXtXyX$XpXVX$XVXpX$XyXtXkXrXiXα…...

SLT简介【简单介绍SLT】
SLT简介 在c的学习当中STL的学习是一个很重要的一环,但是STL又是一个庞大的章节,因此这里我们先简单介绍一下STL,有助于后面我们对STL的学习,这里就是做一个简单的介绍,并无干货。 1.什么是STL STL(standard templa…...

vue实现pdf下载——html2canvas
html2canvas 官方文档https://html2canvas.hertzen.com/getting-started html2canvas 的原理是通过遍历DOM树,将每一个HTML元素转化为Canvas对象,并叠加到一起形成一张完整的图片或者PDF文件。 1. 安装插件 npm install html2canvas jspdf --save 2.使用(页面已经…...
安装docker+mysql的一些坑
yum -y install docker 提示missing signature 参考这里 https://www.8a.hk/news/content/8235.html 卸载旧的docker sudo yum remove docker docker-client docker-client-latest docker-common docker-latest docker-latest-logrotate docker-logrotate docker-engine 安装…...
React Native采集数据离线存储、网络状态监控、加密上传、鉴权
在无网络环境下进行数据采集并在有网络时上传至服务器,同时确保数据的鉴权和加密,这一需求需要考虑多方面的实现细节。无论您选择原生开发还是使用React Native(甚至Expo),以下是如何实现这一需求的具体步骤和建议。 …...

网络数据库后端相关面试题(其三)
18, 传输控制协议tcp和用户数据报协议udp有哪些区别 第一,tcp是面向字节流的,基本的传输单位是tcp报文段;而udp是面向报文的,基本传输单位是用户数据报。 第二, tcp注重安全可靠性,连接双方在…...
Hadoop之HDFS分布式文件系统
HDFS简介 Hadoop Distributed File System (HDFS): HDFS 是 Hadoop 的分布式文件系统,它设计用于存储大量数据,并提供 高吞吐率的数据访问,通过将数据分块存储在多个节点上,实现数据的冗余存储和容错。 HDFS重要概念 HDFS 通过统一的命名空间目录树来定位文件; 另外,它…...

插入删除单链表指定结点-偷天换日法
王道说下面的代码有BUG,比如当删除的结点p在最后一个元素时,p->nextNULL; So *q NULL; q->data就是错误的,我认为加个判断就行 加个判断即可 /*看着是删除q了,从结果上看就是把p删除了 偷天换日法*/ bool DeleteNode(LNod…...

MybatisPlus代码生成器使用案例
针对数据库中的实体类表,自动生成相关的pojo类,mapper,service等 1. Get-Started 基于mybatisplus,idea下载mybatisplus插件 sql文件 /*!40101 SET OLD_CHARACTER_SET_CLIENTCHARACTER_SET_CLIENT */; /*!40101 SET NAMES utf8 …...
浅谈 React Hooks
React Hooks 是 React 16.8 引入的一组 API,用于在函数组件中使用 state 和其他 React 特性(例如生命周期方法、context 等)。Hooks 通过简洁的函数接口,解决了状态与 UI 的高度解耦,通过函数式编程范式实现更灵活 Rea…...

04-初识css
一、css样式引入 1.1.内部样式 <div style"width: 100px;"></div>1.2.外部样式 1.2.1.外部样式1 <style>.aa {width: 100px;} </style> <div class"aa"></div>1.2.2.外部样式2 <!-- rel内表面引入的是style样…...
工业自动化时代的精准装配革新:迁移科技3D视觉系统如何重塑机器人定位装配
AI3D视觉的工业赋能者 迁移科技成立于2017年,作为行业领先的3D工业相机及视觉系统供应商,累计完成数亿元融资。其核心技术覆盖硬件设计、算法优化及软件集成,通过稳定、易用、高回报的AI3D视觉系统,为汽车、新能源、金属制造等行…...

ArcGIS Pro制作水平横向图例+多级标注
今天介绍下载ArcGIS Pro中如何设置水平横向图例。 之前我们介绍了ArcGIS的横向图例制作:ArcGIS横向、多列图例、顺序重排、符号居中、批量更改图例符号等等(ArcGIS出图图例8大技巧),那这次我们看看ArcGIS Pro如何更加快捷的操作。…...

Mac下Android Studio扫描根目录卡死问题记录
环境信息 操作系统: macOS 15.5 (Apple M2芯片)Android Studio版本: Meerkat Feature Drop | 2024.3.2 Patch 1 (Build #AI-243.26053.27.2432.13536105, 2025年5月22日构建) 问题现象 在项目开发过程中,提示一个依赖外部头文件的cpp源文件需要同步,点…...
纯 Java 项目(非 SpringBoot)集成 Mybatis-Plus 和 Mybatis-Plus-Join
纯 Java 项目(非 SpringBoot)集成 Mybatis-Plus 和 Mybatis-Plus-Join 1、依赖1.1、依赖版本1.2、pom.xml 2、代码2.1、SqlSession 构造器2.2、MybatisPlus代码生成器2.3、获取 config.yml 配置2.3.1、config.yml2.3.2、项目配置类 2.4、ftl 模板2.4.1、…...
省略号和可变参数模板
本文主要介绍如何展开可变参数的参数包 1.C语言的va_list展开可变参数 #include <iostream> #include <cstdarg>void printNumbers(int count, ...) {// 声明va_list类型的变量va_list args;// 使用va_start将可变参数写入变量argsva_start(args, count);for (in…...
4. TypeScript 类型推断与类型组合
一、类型推断 (一) 什么是类型推断 TypeScript 的类型推断会根据变量、函数返回值、对象和数组的赋值和使用方式,自动确定它们的类型。 这一特性减少了显式类型注解的需要,在保持类型安全的同时简化了代码。通过分析上下文和初始值,TypeSc…...
用递归算法解锁「子集」问题 —— LeetCode 78题解析
文章目录 一、题目介绍二、递归思路详解:从决策树开始理解三、解法一:二叉决策树 DFS四、解法二:组合式回溯写法(推荐)五、解法对比 递归算法是编程中一种非常强大且常见的思想,它能够优雅地解决很多复杂的…...
游戏开发中常见的战斗数值英文缩写对照表
游戏开发中常见的战斗数值英文缩写对照表 基础属性(Basic Attributes) 缩写英文全称中文释义常见使用场景HPHit Points / Health Points生命值角色生存状态MPMana Points / Magic Points魔法值技能释放资源SPStamina Points体力值动作消耗资源APAction…...