数据结构与算法笔记：基础篇 - 分治算法：谈一谈大规模计算框架MapReduce中的分治思想

概述

MapReduce 是 Google 大数据处理的三姐马车之一，另外两个事 GFS 和 Bigtable。它在倒排索引、PageRank 计算、网页分析等搜索引擎相关的技术中都有大量的应用。

尽管开发一个 MapReduce 看起来很高深。实际上，万变不离其宗，它的本质就是本章要学的这种算法思想，分支算法。

---

如何理解分支算法？

为什么说 MapReduce 的本质就是分治算法呢？先来看看什么事分治算法？

分治算法（divide and conquer）的核心思想其实就是四个字，分而治之，也就是将原问题划分成 n 个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。

这个定义看起来有点类似递归地定义。关于分治和递归，我们在 排序(下) 的时候讲过，分治算法是一种处理问题的思想，递归是一种编程技巧。实际上，分治算法一般都比较适合用递归来实现。分治算法的递归实现中，每一次递归都会涉及三个操作：

• 分解：将原问题分解为一系列子问题；
• 解决：递归地求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解；
• 合并：将子问题的结果合并成原问题。

分治算法能解决的问题，一般要满足以下几个条件：

• 原问题与分解成的小问题具有相同的模式；
• 原问题分解的子问题可以独立解决，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法跟动态规划的明显区别，等讲到动态规划，会详细对比这两种算法；
• 具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小时，可以直接求解；
• 可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减少算法总体复杂度的效果了。

分治算法应用举例分析

理解分治算法的原理并不难，但是要想灵活应用并不容易。所以，接下来，我会带你用分治算法解决我们在讲排序的时候设计的一个问题，加深你对分治算法的理解。

还记得我们在排序算法里讲到的数据的有序度、逆序度的概念吗？我当时讲到，我们用有序度表示一组数据的有序程度，用逆序度表示一组数据的无序程度。

假设我们有 n 哥数据，我们期望数据从小到大排列，那完全有序的数据的有序度就是 n(n-1)/2，逆序度等于 0；相反，倒序排列的数据的有序度就是 0，逆序度就是 n(n-1)/2。除了这两种极端情况外，我们通过计算有序对或逆序对的个数，来表述数据的有序度或逆序度。

现在的问题是，如何编码求出一组数据的有序对个数或者逆序对个数呢？ 因为有序对个数和逆序对个数的求解方式是类似的，所以你可以之思考逆序对个数的求解方法。

最笨的方法是，拿每个数组跟它后面的数字比较，看看有几个比它小。我们把比它小的数字的个数记作 k，通过这样的方式，把每个数字都考察一遍之后，然后对每个数字对应的 k 值求和，最后得到的总和就是逆序对个数。不过，这样擦做的时间复杂度是 $O(n^2)$。有没有更加高效的处理方法呢？

我们用分治法来试试。我们套用分治法的思想来求数组 A 的逆序对个数。我们可以将数组分成前后两半 A1 和 A2，分别计算 A1 和 A2 之间的逆序对个数 K1 和 K2，然后再计算 A1 和 A2 之间逆序对个数 K3。那数组 A 的逆序对个数就等于 K1+K2+K3。

我们前面讲过，使用分治算法其中一个要求是，子问题合并的代价不能太大，否则就起不到了降低时间复杂度的效果了。那回到这个问题，如何快速计算出两个子问题 A1 与 A2 之间的逆序对个数呢？

这里就要借助归并排序算法了。你可以先试着想想，如何借助归并排序算法来解决呢？

归并排序中有一个非常关键的操作，就是将两个有序的小数组，合并成一个有序的数组。实际上，在这个合并的过程中，我们就可以计算这连个小数组的逆序对个数了。每次合并操作，我们都计算逆序对个数，把这些计算出来的逆序对个数求和，就是这个数组的逆序对个数了。

尽管画了张图来解释，但个人觉得，对于工程师来说，看代码更好理解一些，所以我们把这个过程翻译成了代码，你可以结合着图和文字描述一起看下。

    private int num = 0; // 全局变量或成员变量public int count(int[] a, int n) {num = 0;mergeSortCounting(a, 0, n-1);return num;}private void mergeSortCounting(int[] a, int p, int r) {if (p >= r) return;int q = (p + r) / 2;mergeSortCounting(a, p, q);mergeSortCounting(a, q+1, r);merge(a, p, q, r);}private void merge(int[] a, int p, int q, int r) {int i = p, j = q+1, k = 0;int[] tmp = new int[r-p+1];while (i <= q && j <= r) {if (a[i] < a[j]) {tmp[k++] = a[i++];} else {num += (q-i+1); // 统计p~q之间比a[j]大的元素的个数tmp[k++] = a[i++];}}while (i <= q) { // 处理剩下的tmp[k++] = a[i++];}while (j <= r) { // 处理剩下的tmp[k++] = a[j++];}for (i = 0; i <= r-p; i++) { // 从tmp拷贝回aa[p+i] = tmp[i];}}

很多同学经常会说，某某算法思想如此巧妙，我是怎么也想不到的。实际上，确实是的。有些算法确实非常巧妙，并不是每个人短时间都能想到的。比如这个问题，并不是每个人都能想到可以借助归并排序算法来解决。不夸张地说，如果之前没接触过，觉得部分人都想不到。但是，如果我告诉你可以借助归并排序算法来解决，那你就应该想到如何改造归并排序，来求解这个问题了，只要你能做到这一点，我觉得就很棒了。

关于分治算法，还有两道比较经典的问题：

• 二维平面上有 n 个点，如何快速计算出两个距离最近的点对？
• 有两个 nn 的矩阵 A，B，如何快速求解两个矩阵的成绩 C=AB？

分治思想在海量数据处理中的应用

分治算法思想的应用是非常广发的，并不仅限于指导编程和算法设计。它还经常用在海量数据处理的场景中。我们前面讲的数据结构和算法，大部分都是基于内存存储和单机处理。但是，如果要处理的数据量非常大，没法一次性放到内存中，这个时候，这些数据结构和算法就无法工作了。

比如，给 10GB 订单文件按照金额排序这样一个需求，看似是一个很简单的排序问题，但是因为数据量大，有 10GB，而我们机器的内存可能只有 2、3GB 这样子，无法一次性加载到内存，也就无法通过单纯地使用快排、归并排序等基础算法来解决了。

要解决这种数据量大到内存装不下的问题，我们就可以利用分治的思想。我们可以将海量的数据集合根据某种方法，划分为几个小的数据集合，每个小的数据集合单独加载到内存来解决，然后再将小数据集合合并成大数据集合。实际上，利用这种分治的处理思路，不仅仅能克服内存的限制，还能利用多线程或者多机处理，加快处理的速度。

比如刚刚的例子，给 10GB 的订单排序，我们可以先扫描一遍订单，根据订单的金额，将 10GB 的文件划分为几个金额区间。比如订单金额 1 到 100 元的放到一个小文件，101 到 200 的放到另一个文件，以此类推。这样每个小文件都可以单独加载到内存排序，最后将这些有序的小文件合并，就是最终有序的 10GB 订单数据了。

如果订单存储在类似 GFS 这样的分布式系统上，当 10GB 订单被划分成多个小文件的时候，每个文件可以并行加载到多态机器上处理，最后再将结果合并在一起，这样并行处理的速度也加快了很多。不过，这里有一点要注意，就是数据的存储与计算所在的机器是同一个或在网络中靠的很近（比如一个局域网内，数据存取速度很快），否则就会因为数据访问的速度，导致整个处理过程不但不会变快，反而有可能变慢。

你可能还有印象，这个就是我们在讲线性排序的时候举的例子。实际上，在前面已经学习的课程中，还讲了很多利用分治算法来解决的问题。

谈一谈大规模计算框架MapReduce中的分治思想

刚刚举的订单的例子，数据有 10GB 大小，可能给你的感受还不强烈。那如果我们要处理的数据时 1T、10T、100T 这样的数据，那一台机器处理的效率肯定是非常低的。而对于谷歌搜索引擎来说，网页爬取、清洗、分析、分词、计算权重、倒排索引等等各个环节中，都会面对如此海量的数据（比如网页）。所以利用集群并行处理显然是大势所趋。

一台机器过于低效，那我们就把人去拆分到多态机器上来处理。如果拆分之后的小人物之间互不干扰，独立计算，最后再将结果合并。这不就是分治思想吗？

实际上，MapReduce 框架只是一个任务调度器，底层依赖 GFS 来存储数据，依赖 Borg 管理机器。它从 GFS 中拿数据，交给 Brog 中的机器执行，并且时刻监控机器执行的进度，一旦机器出现宕机、进度卡壳等，就重新从 Brog 中调度一台机器执行。

尽管 MapReduce 的模型非常简单，但是在 Google 内部应用非常广泛。它除了可以用来处理这种数据与数据之间存在关系的任务，比如 MapReduce 的经典例子，统计文件中单词出现的频率。此外，它还可以用来处理数据与数据之间没有关系的任务，比如对网页分析、分词等，每个网页可独立的分析、分词，而这两个网页之间没有关系。网页几十亿、上百亿，如果单机处理，效率地下，我们就可以利用 MapReduce 提供可靠、高性能、高容错的并行计算框架，并行地处理这几十亿、上百亿的网页。

小结

本章讲了一种应用非常广泛的算法思想，分治算法。

分治算法用四个字概况就是 “分而治之”，将原问题划分成几个规模较小而结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。这个思想非常简单、好理解。

本章讲解了两种分治算法的经典的应用场景，一个是用来指导编码，降低问题求解的时间复杂度，另一个是解决海量数据处理问题。比如 MapReduce 本质上就是利用了分治思想。

我们也时常感叹 Google 的创新能力如此之强，总是在引领技术的发展。实际上，创新并非离我们很远，创新的源泉来自对事物本质的认识。无数优秀架构设计的思想来源都是基础的数据结构和算法，这本身就是算法的一个魅力所在。