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AtCoder Beginner Contest 216(F)

F - Max Sum Counting

链接: F - Max Sum Counting

题意

两个 大小为 nnn 的序列 aiaiaibibibi,任意选取一些下标 iii,求 max⁡(ai)>=∑bi\max(ai) >= \sum{bi}max(ai)>=bi的方案数。

解析

首先考虑状态 一是和, 二是最大值, 但这样我们发现需要三重循环,在 n=5000n = 5000n=5000 的情况下是不能接受的复杂度,于是我们想到按 aiaiai 排序后,我们只计算 ∑bi\sum{bi}bi 的方案,将所有满足条件的方案再计入答案,就变成一个普通的背包求方案数了。

对于要按 aiaiai 排序的证明:
因为我们没有多开一维来记录 max⁡(ai)\max(ai)max(ai) 最大值, 所以对于每一种 bibibi 和为 sumsumsum 他的状态集合可能有许多不同的 max(ai)max(ai)max(ai)
假设和为 sumsumsummax(ai)=ajmax(ai) = ajmax(ai)=ajmaxai=akmax{ai} = akmaxai=ak 两种可能,若是不按 aiaiai 排序 会导致不知道 aj,akaj, akaj,ak 那种状态可以转移

假设 sum=10sum = 10sum=10aj=100aj = 100aj=100ak=10ak = 10ak=10 当前的 ai=10ai = 10ai=10bi=10bi = 10bi=10 那么只能从 ajajaj 转移 因为只有这种才保证 max⁡(ai)>∑bi\max(ai) > \sum{bi}max(ai)>bi 但已经把 aj,akaj, akaj,ak 的状态整合在一起了不能分开。
若是按 aiaiai 排序,新来的 aiaiai 一定是目前的最大值, 一定比 ajajajakakak 都大 于是一个状态包含的所有情况都能转移。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5010, mod = 998244353, MAX = 5000;
struct node{int ai, bi;bool operator < (const node &A)const{return ai < A.ai;}
}s[N];
int f[N];//bi之和价值为i的方案数
int main(){int n;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> s[i].ai;for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> s[i].bi;sort(s + 1, s + 1 + n);f[0] = 1;int ans = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++){for(int j = MAX; j >= s[i].bi; j --){f[j] = (f[j] + f[j - s[i].bi]) % mod;if(j <= s[i].ai) ans = (ans + f[j - s[i].bi]) % mod;}}cout << ans;return 0;
}

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