【线性代数】【一】1.6 矩阵的可逆性与线性方程组的解

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前言

前文我们引入了逆矩阵的概念，紧接着我们就需要讨论一个矩阵逆的存在性以及如何求解这个逆矩阵。最后再回归上最初的线性方程组的解，分析其中的联系。

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一、求解逆矩阵

我们先回想一下在1.3消去法的矩阵表示中，我们知道对一个系数矩阵做一些了的初等行变换，可以将矩阵变为上三角矩阵U。再往前一步，如果我们继续对U做初等行变换，那么我们最终可以得到一个单位矩阵$I$或者是一个包含零行的对角矩阵（只有对角元素可能存在非零值，全零矩阵为特殊对角矩阵）。

首先第一种情况，变成单位矩阵，此时，我们可以把所有初等行变换所对应的矩阵累乘起来，表示为$B=E_n{E}_{n-1}...E_2{E}_1$，于是我们有$BA=I$。也就是说，$B$就是我们想要找的系数矩阵$A$的逆矩阵。

而另一种情况，存在零行，就说明在初等行变换的过程中，存在两行线性相关了，经过乘系数相减后就变为全零了。此时则不存在$A$的逆矩阵。这个也很好说明：存在零行的矩阵，无论乘上什么矩阵，结果还会有零行，因此不可能为单位阵。而初等变换不改变矩阵的可逆性，因此不存在$A$的逆矩阵。

因此我们可以归纳一下，如果矩阵中的两行线性相关了，则必然可以通过初等变换进行消去得到零行，而存在零行则必然不可逆。从而得到一个结论：矩阵中的行（列）向量若线性相关，则矩阵不可逆。 这里，有必要再重新定义一下线性相关：对于一组向量$a_1,a_2,...a_n$，都有$a_1{x}_1+a_2{x}_2+...a_n{x}_n=0$当且仅当系数$x_i$均为0时成立，则称这组向量线性无关，否则为线性相关。 这个结论似乎和我们之前说的略有出入，前面说的是两行线性相关，而给出的定义是讨论一组向量的线性相关。其实下面是更一般的情况，即使一组向量线性相关，其中也可以存在个别向量之间线性无关。

按照所给定义，而只要矩阵中的所有行向量线性相关，则根据定义必然可以找到一组非全零系数$a_i$使得上述方程成立，也就是说明存在某一个行向量可以被其他行向量线性表示（$a_n=a_1{x}_1+a_2{x}_2+...a_{n-1}{x}_{n-1}$）。因此，我们可以通过初等变换，将该行向量化为零行。（按照线性表示系数的相反数，依次去作乘系数相加，最后该行会被完全消去，$a_n-a_1{x}_1-a_2{x}_2-...a_{n-1}{x}_{n-1}=0$）也就是必然可以推导出零行。

反之，若线性无关，则没有任何一行向量可以被其他行向量线性表示，也就找不到任意一组系数对应的初等变换，可以完全消去该行，因此矩阵的行（列）向量线性无关则必然存在逆矩阵。

二、线性方程组的解的存在性

现在我们从刚刚所介绍的线性相关性的角度，再来审视一下线性方程组的解。我们要求方程组$AX=0$的解，就是要找到一组线性组合系数，将矩阵中的列向量进行线性组合后得到一个零向量。这不就是线性相关性的定义吗，如果这个方程组只要零向量的解，则说明所有列向量线性无关，反正则线性相关。因此，系数矩阵A为可逆矩阵$\leftrightarrow$矩阵中的列（行）向量线性无关$\leftrightarrow$线性方程组$AX=0$只有零解。

如果系数矩阵不可逆，则线性方程组必然存在非零解，且必然有无穷多个非零解。（即使只有一个向量可以被其他向量线性表示，也只需要对线性表示的系数同时乘上一个非零数，线性表示方程仍然成立，而乘上该非零数以后得到的x仍然是非零解。）

此外，关于$AX=b$这种线性方程组的解，将在更加深入地讨论了线性相关性，矩阵的秩等内容后做深入分析。

总结

本文先从初等变换的角度，给出了判断矩阵可逆性以及求逆的方法，随后再给出了线性相关性的定义以及矩阵的可逆性、向量线性相关性、以及线性方程组的解的相关关系。