【复旦邱锡鹏教授《神经网络与深度学习公开课》笔记】卷积
卷积经常用在信号处理中,用于计算信号的延迟累积。假设一个信号发射器每个时刻 t t t产生一个信号 x t x_t xt,其信息的衰减率为 w k w_k wk,即在 k − 1 k-1 k−1个时间步长后,信息为原来的 w k w_k wk倍,时刻 t t t收到的信号 y t y_t yt为当前时刻产生的信息 x t x_t xt和以前时刻延迟信息 w t − 1 x t − 1 + ⋯ + w 1 x 1 w_{t-1}x_{t-1}+\cdots+w_1x_1 wt−1xt−1+⋯+w1x1的叠加。假设 w 1 = 1 , w 2 = 1 2 , w 3 = 1 4 w_1=1,w_2=\frac{1}{2},w_3=\frac{1}{4} w1=1,w2=21,w3=41也就是
x 1 y 1 = x 1 x 2 y 2 = x 2 + 1 2 x 1 x 3 y 3 = x 3 + 1 2 x 2 + 1 4 x 1 ⋮ ⋮ \begin{aligned} &x_1&y_1=x_1\\ &x_2&y_2=x_2+\frac{1}{2}x_1\\ &x_3&y_3=x_3+\frac{1}{2}x_2+\frac{1}{4}x_1\\ &\vdots&\vdots \end{aligned} x1x2x3⋮y1=x1y2=x2+21x1y3=x3+21x2+41x1⋮
因此,时刻 t t t(假设前面还有n个信号)收到的信号 y t y_t yt可以记作
y t = w 1 x t + w 2 x t − 1 + ⋯ + w n x t − n + 1 = ∑ k = 1 n w k x t − k + 1 \begin{aligned} y_t &=w_1x_t+w_2x_{t-1}+\cdots+w_nx_{t-n+1}\\ &=\sum_{k=1}^nw_kx_{t-k+1} \end{aligned} yt=w1xt+w2xt−1+⋯+wnxt−n+1=k=1∑nwkxt−k+1
其中 w k w_k wk叫做滤波器(filter) 或卷积核(convolution kernel)
定义
给定一个输入信号序列 x x x和滤波器 w w w,卷积输出为:
y t = ∑ k = 1 K w k x t − k + 1 y_t=\sum_{k=1}^Kw_kx_{t-k+1} yt=k=1∑Kwkxt−k+1
也可记作 y t = x ∗ w y_t=x\ast w yt=x∗w,其中 ∗ * ∗是卷积符号。要注意卷积核的序列顺序与输入信号序列顺序相反,在运算时需要将卷积核反转。
上图中,下面一行为输入序列 x x x,上面为输出序列 y y y,卷积核为 [ − 1 , 0 , 1 ] [-1,0,1] [−1,0,1],为了计算首先反转卷积核变为 [ 1 , 0 , − 1 ] [1,0,-1] [1,0,−1](或者从第三个开始往前计算,完成后再从开始的第三个再往后三个也就是第六个往前,以此类推),将反转后的卷积核在输入序列上平移得到输出序列。对于长度为 N N N的输入序列 x x x来说,若卷积核长度为 K K K,则输出序列 y y y长度为 N − K + 1 N-K+1 N−K+1
作用
近似微分
将输入序列 x = [ x t − 1 , x t , x t + 1 ] x=[x_{t-1},x_t,x_{t+1}] x=[xt−1,xt,xt+1]看作关于某时刻 t t t的函数,即 x ( t ) = x t x(t)=x_t x(t)=xt,根据一阶微分定义
x ′ ( t ) = x ( t + ϵ ) − x ( t − ϵ ) 2 ϵ x^\prime(t)=\frac{x(t+\epsilon)-x(t-\epsilon)}{2\epsilon} x′(t)=2ϵx(t+ϵ)−x(t−ϵ)
令 ϵ = 1 \epsilon=1 ϵ=1可得
x ′ ( t ) = x ( t + 1 ) − x ( t − 1 ) 2 = 1 2 x ( t + 1 ) + 0 × x t − 1 2 x ( t − 1 ) = x ∗ w \begin{aligned} x^\prime(t) &=\frac{x(t+1)-x(t-1)}{2}\\ &=\frac{1}{2}x(t+1)+0\times x_t-\frac{1}{2}x(t-1)\\ &=x\ast w \end{aligned} x′(t)=2x(t+1)−x(t−1)=21x(t+1)+0×xt−21x(t−1)=x∗w
其中 w = [ 1 2 , 0 , − 1 2 ] w=[\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}] w=[21,0,−21]。因此,当令卷积核 w = [ 1 2 , 0 , − 1 2 ] w=[\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}] w=[21,0,−21]时,可以近似信号序列的一阶微分
此外,根据泰勒公式
x ( t + ϵ ) = x ( t ) + x ′ ( t ) ϵ + x ′ ′ ( t ) 2 ! ϵ 2 + O ( ϵ 3 ) x(t+\epsilon)=x(t)+x^\prime(t)\epsilon+\frac{x^{\prime\prime}(t)}{2!}\epsilon^2+O(\epsilon^3) x(t+ϵ)=x(t)+x′(t)ϵ+2!x′′(t)ϵ2+O(ϵ3)
因此可得
x ( t + 1 ) = x ( t ) + x ′ ( t ) + x ′ ′ ( t ) 2 x ( t − 1 ) = x ( t ) − x ′ ( t ) + x ′ ′ ( t ) 2 \begin{aligned} x(t+1)=x(t)+x^\prime(t)+\frac{x^{\prime\prime}(t)}{2}\\ x(t-1)=x(t)-x^\prime(t)+\frac{x^{\prime\prime}(t)}{2} \end{aligned} x(t+1)=x(t)+x′(t)+2x′′(t)x(t−1)=x(t)−x′(t)+2x′′(t)
两式相加得
x ( t + 1 ) + x ( t − 1 ) = 2 x ( t ) + x ′ ′ ( t ) x ′ ′ = x ( t + 1 ) + x ( t − 1 ) − 2 x ( t ) = x ∗ w \begin{aligned} x(t+1)+x(t-1)&=2x(t)+x^{\prime\prime}(t)\\ x^{\prime\prime}&=x(t+1)+x(t-1)-2x(t)\\ &=x\ast w \end{aligned} x(t+1)+x(t−1)x′′=2x(t)+x′′(t)=x(t+1)+x(t−1)−2x(t)=x∗w
其中 w = [ 1 , − 2 , 1 ] w=[1,-2,1] w=[1,−2,1]。因此,当令卷积核 w = [ 1 , − 2 , 1 ] w=[1,-2,1] w=[1,−2,1]时,可以近似信号序列的二阶微分
低通滤波/高通滤波
- 高频信息:在信号序列中,局部数值变化剧烈的信息
- 低频信息:在信号序列中,局部数值变化缓慢的信息
对于一个窗口大小为 K K K的卷积核,只需要将滤波器中的每一项设置为 1 K \frac{1}{K} K1即可检测信号序列中的低频信息。
上图中 K = 3 K=3 K=3
一般来说,信号序列中的某个信息出现的频率越高,对应的阶数就越高。因此可以用二阶导数( w = [ 1 , − 2 , 1 ] w=[1,-2,1] w=[1,−2,1])的大小来表示其出现的频率。
对卷积进行扩展
为了更灵活的使用卷积,可以对卷积的过程进行扩展,引入滤波器的滑动步长(Stride) S S S和零填充(Padding) P P P
滑动步长是指卷积核在输入序列上每次平移的步长,一般默认滑动步长为1,也就是每次计算完输入序列上的一次卷积后,向前移动一个元素再进行卷积计算,通过增加步长可以减少输出序列的长度。
零填充是指在输入序列的两端各填充 P P P个0,这样做可以保证输入序列和输出序列长度相等。对于一个窗口大小为 K K K(一般为奇数)的卷积核来说,在输入序列两端各填充 K − 1 2 \frac{K-1}{2} 2K−1
若输入长度为 M M M,步长为 S S S,卷积核窗口大小为 K K K,零填充为 P P P,则输出长度为 M ′ = M − K + 2 P S + 1 M^\prime=\frac{M-K+2P}{S}+1 M′=SM−K+2P+1
卷积类型可以按照输出长度不同可以分为三类:
- 窄卷积:步长 S = 1 S=1 S=1,两端不补零( P = 0 P=0 P=0),输出长度为 M − K + 1 M-K+1 M−K+1
- 宽卷积:步长 S = 1 S=1 S=1,两端补零( P = K − 1 P=K-1 P=K−1),输出长度为 M + K − 1 M+K-1 M+K−1
- 等宽卷积:步长 S = 1 S=1 S=1,两端补零( P = K − 1 2 P=\frac{K-1}{2} P=2K−1),输出长度为 M M M
早期的文献中,卷积一般默认为窄卷积
目前的文献中,卷积一般默认为等宽卷积
二维卷积
输入序列扩展为二维,对这个二维输入序列进行卷积,一般用于图像处理。
给定图像 X ∈ R M × N X\in\mathbb{R}^{M\times N} X∈RM×N和一个滤波器 W ∈ R U × V W\in\mathbb{R}^{U\times V} W∈RU×V( U ≪ M , V ≪ N U\ll M,V\ll N U≪M,V≪N) ,其卷积为
Y = W ∗ X Y=W\ast X Y=W∗X
y i j = ∑ u = 1 U ∑ v = 1 V w u v x i − u + 1 , j − v + 1 y_{ij}=\sum_{u=1}^U\sum_{v=1}^Vw_{uv}x_{i-u+1, j-v+1} yij=u=1∑Uv=1∑Vwuvxi−u+1,j−v+1
卷积核窗口在输入序列上进行滑动,可以计算出每个位置上的信号,最终得到输出。在计算时仍然要对卷积核进行反转。以上图为例,实际上是计算输入与反转后的卷积核的哈达玛积所有元素的和。
输入与输出大小与一维时规则相同,输出 y ∈ R ( M − U + 1 ) × ( N − V + 1 ) y\in\mathbb{R}^{(M-U+1)\times(N-V+1)} y∈R(M−U+1)×(N−V+1)。同样的也可以用滑动步长和零填充的方法来调整输出矩阵的大小:
-
对于步长为1,零填充0的输入序列,输出为 R ( M − U + 1 ) × ( N − V + 1 ) \mathbb{R}^{(M-U+1)\times(N-V+1)} R(M−U+1)×(N−V+1)
-
对于步长为2,零填充0的输入序列,输出为 R ( M − U 2 + 1 ) × ( N − V 2 + 1 ) \mathbb{R}^{(\frac{M-U}{2}+1)\times(\frac{N-V}{2}+1)} R(2M−U+1)×(2N−V+1)
-
对于步长为1,零填充1的输入序列,输出为 R M × N \mathbb{R}^{M\times N} RM×N
-
对于步长为2,零填充1的输入序列,输出为 R ( M − U + 1 ) × ( N − V + 1 ) \mathbb{R}^{(M-U+1)\times(N-V+1)} R(M−U+1)×(N−V+1)
在图像处理中,可以利用卷积作为特征提取器,设计不同的卷积核来提取图像的不同特征。
如上图,通过第一个卷积核(高斯卷积核)可以去除图像中的噪声(用周围点的信息平均中间不一样点的信息),使图像更加平滑;通过第二个卷积核,可以提取图像的边缘特征(上下左右信息的和减去中间信息,即提取图像中的高频信息);第三个卷积核可以提取图像对角线上的边缘特征(右上角图像信息减去左下角图像信息)
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使用 shell 脚本 统计app冷启动耗时
下面是一个 shell 脚本,它使用 参数将包名称作为参数--app,识别相应应用程序进程的 PID,使用 终止该进程adb shell kill,最后使用 重新启动该应用程序adb shell am start: #!/bin/bash# Check if package name is pro…...
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使用容器部署redis_设置配置文件映射到本地_设置存储数据映射到本地_并开发java应用_连接redis---分布式云原生部署架构搭建011
可以看到java应用的部署过程,首先我们要准备一个java应用,并且我们,用docker,安装一个redis 首先我们去start.spring.io 去生成一个简单的web项目,然后用idea打开 选择以后下载 放在这里,然后我们去安装redis 在公共仓库中找到redis . 可以看到它里面介绍说把数据放到了/dat…...
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第五节:如何使用其他注解方式从IOC中获取bean(自学Spring boot 3.x的第一天)
大家好,我是网创有方,上节我们实践了通过Bean方式声明Bean配置。咱们这节通过Component和ComponentScan方式实现一个同样功能。这节实现的效果是从IOC中加载Bean对象,并且将Bean的属性打印到控制台。 第一步:创建pojo实体类studen…...
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Paragon NTFS与Tuxera NTFS有何区别 Mac NTFS 磁盘读写工具选哪个好
macOS系统虽然以稳定、安全系数高等优点著称,但因其封闭性,不能对NTFS格式磁盘写入数据常被人们诟病。优质的解决方案是使用磁盘管理软件Paragon NTFS for Mac(点击获取激活码)和Tuxera NTFS(点击获取激活码࿰…...
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EtherCAT主站IGH-- 2 -- IGH之coe_emerg_ring.h/c文件解析
EtherCAT主站IGH-- 2 -- IGH之coe_emerg_ring.h/c文件解析 0 预览一 该文件功能coe_emerg_ring.c 文件功能函数预览 二 函数功能介绍coe_emerg_ring.c 中主要函数的作用1. ec_coe_emerg_ring_init2. ec_coe_emerg_ring_clear3. ec_coe_emerg_ring_size4. ec_coe_emerg_ring_pus…...
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psensor 的手势功能
psensor 的手势功能的移植过程 有时间再来写下...
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使用 nvm 管理 Node 版本及 pnpm 安装
文章目录 GithubWindows 环境Mac/Linux 使用脚本进行安装或更新Mac/Linux 环境变量nvm 常用命令npm 常用命令npm 安装 pnpmNode 历史版本 Github https://github.com/nvm-sh/nvm Windows 环境 https://nvm.uihtm.com/nvm.html Mac/Linux 使用脚本进行安装或更新 curl -o- …...
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uni-appx使用form表单页面初始化报错
因为UniFormSubmitEvent的类型时 e-->detail-->value,然后没有了具体值。所以页面初始化的时候 不能直接从value取值,会报错找不到 所以form表单里的数据我们要设置成一个对象来存放 这个问题的关键在于第22行代码 取值: 不能按照点的方式取值 …...
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TiDB-从0到1-数据导出导入
TiDB从0到1系列 TiDB-从0到1-体系结构TiDB-从0到1-分布式存储TiDB-从0到1-分布式事务TiDB-从0到1-MVCCTiDB-从0到1-部署篇TiDB-从0到1-配置篇TiDB-从0到1-集群扩缩容 一、数据导出 TiDB中通过Dumpling来实现数据导出,与MySQL中的mysqldump类似,其属于…...
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动手学深度学习(Pytorch版)代码实践 -卷积神经网络-16自定义层
16自定义层 import torch import torch.nn.functional as F from torch import nnclass CenteredLayer(nn.Module):def __init__(self):super().__init__()#从其输入中减去均值#X.mean() 计算的是整个张量的均值#希望计算特定维度上的均值,可以传递 dim 参数。#例如…...
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树莓派4设置
使用sudo命令时要求输入密码 以 sudo 为前缀的命令以超级用户身份运行。默认情况下,超级用户不需要密码。不过,您可以要求所有以 sudo 运行的命令都输入密码,从而提高 Raspberry Pi 的安全性。 要强制 sudo 要求输入密码,请为你…...
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44.商城系统(二十五):k8s基本操作,ingress域名访问,kubeSphere可视化安装
上一章我们已经配置好了k8s集群,如果没有配置好先去照着上面的配。 一、k8s入门操作 1.部署一个tomcat,测试容灾恢复 #在主机器上执行 kubectl create deployment tomcat6 --image=tomcat:6.0.53-jre8#查看k8s中的所有资源 kubectl get all kubectl get all -o wide#查看po…...
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MySQL高级查询
MySQL 前言 文本源自微博客 (www.microblog.store),且已获授权. 一. mysql基础知识 1. mysql常用系统命令 启动命令 net start mysql停止命令 net stop mysql登录命令 mysql -h ip -P 端口 -u 用户名 -p 本机可以省略 ip mysql -u 用户名 -p 查看数据库版本 mysql --ve…...
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聊聊啥项目适合做自动化测试
作为测试从业者,你是否遇到过这样的场景,某天公司大Boss找你谈话。 老板:小李,最近工作辛苦了 小李:常感谢您的认可,这不仅是对我个人的鼓励,更是对我们整个团队努力的认可。我们的成果离不开每…...
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binary_cross_entropy_with_logits函数的参数设定
binary_cross_entropy_with_logits 该函数参数: logits (Tensor) - 输入预测值。其数据类型为float16或float32。 label (Tensor) - 输入目标值,shape与 logits 相同。数据类型为float16或float32。 weight (Tensor,可选) - 指定每个批次二…...
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Docker部署ETCD 3.5.14(保姆级图文教程)
系列文章目录 Docker部署Nginx 1.21.5(保姆级图文教程) Docker部署MySQL 8.3.0(保姆级图文教程) Docker部署ETCD 3.5.14(保姆级图文教程) 文章目录 一、环境二、拉取镜像2.1 查找 Docker Hub 上的 ETCD 镜像…...
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平板WPS转换的PDF文件保存位置解析
在日常工作和生活中,我们经常需要将文档转换成PDF格式进行分享,以确保接收者能够无障碍地查看文件内容,不受软件版本或操作系统的限制。WPS作为一款功能强大的办公软件,也提供了文档转换为PDF的功能。然而,有时在转换并…...
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php+redis 生成二维码库
项目场景: 活动报名二维码,生成 30W 的二维码量存放到 redis 中,并通过 redis 读取,以减轻 mysql 数据库的压力。 实现很简单,分为两步: 1、生成:通过 for 循环,以集合方式插入到…...
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线性代数--行列式1
本篇来自对线性代数第一篇的行列式的一个总结。 主要是行列式中有些关键点和注意事项,便于之后的考研复习使用。 首先,对于普通的二阶和三阶行列式,我们可以直接对其进行拆开,展开。 而对于n阶行列式 其行列式的值等于它的任意…...
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Docker-compose 实现Prometheus+Grafana监控MySQL及Linux主机
. ├── Grafana │ ├── data │ └── docker-compose.yaml ├── Mysql │ ├── conf │ ├── data │ ├── docker-compose.yaml │ └── logs ├── Mysqld_exporter │ ├── conf │ └── docker-compose.yaml ├── node-exporter │…...
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网络模型—BIO、NIO、IO多路复用、信号驱动IO、异步IO
一、用户空间和内核空间 以Linux系统为例,ubuntu和CentOS是Linux的两种比较常见的发行版,任何Linux发行版,其系统内核都是Linux。我们在发行版上操作应用,如Redis、Mysql等其实是无法直接执行访问计算机硬件(如cpu,内存…...
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低代码开发难吗?
在软件开发的多样化浪潮中,低代码开发平台以其简化的编程模型,为IT行业带来了新的活力。作为一位资深的IT技术员,我对低代码开发平台的易用性和强大功能有着深刻的认识。今天,我将分享我对YDUIbuilder这一免费开源低代码平台的使用…...
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解锁Android高效数据传输的秘钥 - Parcelable剖析
作为Android开发者,我们经常需要在不同的组件(Activity、Service等)之间传输数据。这里的"传输"往往不仅仅是简单的数据复制,还可能涉及跨进程的内存复制操作。当传输的数据量较大时,这种操作可能会带来严重的性能问题。而Android系…...
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SOL 交易机器人基本知识
有没有可以盈利的机器人? 是的,各行各业都有许多盈利机器人。在金融领域,交易机器人被广泛用于自动化投资策略并根据预定义的算法执行交易。这些机器人可以分析市场趋势并做出快速决策,从而可能带来可观的回报。同样,在…...
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milvus 中的集合与 database
在Milvus中,集合(Collection)和数据库(Database)是两个不同的概念,它们之间存在一定的关系。 1. 数据库(Database) 数据库是Milvus中的最顶层的组织单位,可以理解为一个…...
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The Sandbox 和 Bitkub 联手增强东南亚元宇宙中心
作为去中心化游戏虚拟世界和区块链平台的先驱,The Sandbox 正与泰国领先的区块链网络 Bitkub Blockchain Technology Co., Ltd. 展开创新合作。双方合作的目的是将Bitkub元宇宙的影响力扩展到The Sandbox,建立一个元宇宙中心,向用户承诺从 Bi…...