[信号与系统]IIR滤波器与FIR滤波器相位延迟定量的推导。

IIR滤波器与FIR滤波器最大的不同：相位延迟

IIR滤波器相位延迟分析

相位响应和延迟

这里讨论一下理想延迟系统的相位延迟。

对于一个给定的系统频率响应$H(e^{jw})$可以表示为

$H(e^{jw})=|H(e^{jw})|e^{\Phi (w)}$

其中$H(e^{jw})$是幅度响应，$\Phi (w)$是相位响应。

延迟系统的相位响应

对于一个理想的延迟系统，其输出信号是输入信号的延迟版本，即：

$y(n)=x(n-\tau )$

其中$\tau$是延迟时间，对应的频率响应为$H(e^{jw})=e^{-jw\tau }$
这是因为延迟$\tau$样本在时域上相当于在频域上乘以$e^{-jw\tau }$

傅里叶变换和频域描述

为了理解延迟系统的频率响应，需要用到离散时间傅里叶变换（DTFT）。DTFT将时域信号转换为频域信号。

• 输入信号$x(n)$的DTFT为：

$$X(e^{jw})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-jwn}$$

• 输出信号$y(n)$的DTFT为：

$$Y(e^{jw})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }y(n)e^{-jwn}$$

延迟的影响

根据延迟系统的定义：

$$y(n)=x(n-\tau )$$

将这个关系代入到$y(n)$的DTFT公式中：

$$Y(e^{jw})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n-\tau )e^{-jwn}$$

可以通过变量替换来简化计算。令$k=n-\tau$，则$n=k+\tau$：

$$Y(e^{jw})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)e^{-jw(k+\tau )}$$

分离指数部分：

$$Y(e^{jw})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)e^{-jwk}{e}^{-jw\tau }$$

注意到：

$$\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)e^{-jwk}=X(e^{jw})$$

所以：

$$Y(e^{jw})=X(e^{jw})\cdot e^{-jw\tau }$$

频率响应

系统的频率响应$H(e^{jw})$定义为输出频域表示与输入频域表示的比值：

$$H(e^{jw})=\frac{Y(e^{jw})}{X(e^{jw})}$$

将上面的结果代入：

$$H(e^{jw})=e^{-jw\tau }$$

相位响应的推导

我们可以从延迟系统的频率响应H(e^jw)推导出其相位响应:

$H(e^{jw})=e^{-jw\tau }$

从上述式子可以看到，频率响应的相位部分为$\Phi (w)=-w\tau$

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至此我们知道了系统的延迟是如何表达和推导的，那么我们现在来说一下为什么IIR滤波器和FIR滤波器在相位延迟上会有这么大差别。

IIR滤波器相位延迟分析

考虑一个IIR滤波器的频率响应函数，应当如下：

一般来说，一个IIR滤波器的输出可以表示为：

$$y(n)=\sum _{k=0}^N{b}_{k}x(n-k)-\sum _{k=1}^M{a}_{k}y(n-k)$$

其中，$b_k$和$a_k$是滤波器的系数。

IIR滤波器的频率响应$H(e^{j\omega })$通常表示为：

$$H(e^{j\omega })=\frac{B(e^{j\omega })}{A(e^{j\omega })}$$

其中，$B(e^{j\omega })$和$A(e^{j\omega })$分别是分子和分母多项式：

$$B(e^{j\omega })=\sum _{k=0}^N{b}_k{e}^{-j\omega k}$$
$$A(e^{j\omega })=1+\sum _{k=1}^M{a}_k{e}^{-j\omega k}$$

相位响应$\varphi (\omega )$是频率响应的相位部分：

$$H(e^{j\omega })=|H(e^{j\omega })|e^{j\varphi (\omega )}$$
$$\varphi (\omega )=\arg (H(e^{j\omega }))$$

为了定量地分析IIR滤波器的延迟，我们需要计算相位响应的频率导数，即群延迟${\tau }_g(\omega )$：

$${\tau }_g(\omega )=-\frac{d\varphi (\omega )}{d\omega }$$

由于IIR滤波器的相位响应不是线性的，所以其群延迟通常是频率的函数，即延迟是频率依赖的。

定量推导（纯数学计算）

我们以一个简单的一阶IIR滤波器为例，分析其延迟特性。考虑一个一阶IIR滤波器，其差分方程为：

$$y(n)=x(n)-ay(n-1)$$

其频率响应为：

$$H(e^{j\omega })=\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}$$

1. 计算频率响应的相位：

$$H(e^{j\omega })=\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}$$

我们将其写成极坐标形式：

$$H(e^{j\omega })=\frac{1}{\sqrt{1-2a\cos (\omega )+a^2}}{e}^{j\varphi (\omega )}$$

其中，

$$\varphi (\omega )=-{\tan }^{-1}\left(\frac{a\sin (\omega )}{1-a\cos (\omega )}\right)$$

2. 计算群延迟：

$${\tau }_g(\omega )=-\frac{d\varphi (\omega )}{d\omega }$$

$$\varphi (\omega )=-{\tan }^{-1}\left(\frac{a\sin (\omega )}{1-a\cos (\omega )}\right)$$

利用导数链式法则，

$${\tau }_g(\omega )=-\frac{d}{d\omega }\left[-{\tan }^{-1}\left(\frac{a\sin (\omega )}{1-a\cos (\omega )}\right)\right]$$

计算导数：

$${\tau }_g(\omega )=\frac{a\left(1-a\cos (\omega )\right)\cos (\omega )+a^2{\sin }^2(\omega )}{{\left(1-a\cos (\omega )\right)}^2+a^2{\sin }^2(\omega )}$$

简化后得到：

$${\tau }_g(\omega )=\frac{a\left(1-a\cos (\omega )+a{\cos }^2(\omega )\right)}{1-2a\cos (\omega )+a^2}$$

由于公式较为复杂，我们可以直接用数值方法计算和绘制IIR滤波器的群延迟特性。

举个例子

我们来搞个示例，这样好懂一点：

考虑一个简单的一阶滤波器

$$H(e^{j}w)=\frac{1}{1-a{e}^{-jw}}$$

其相位响应为：

$$\varphi (w)=-arg(1-a{e}^{-jw})$$

我们可以看到，这个相位响应显然是非线性的，会随着w的不停变化，其变化率也会发生变化，说着说导数的比值会随着w的变化而变化，这显然是我们不想要看到的结果。

FIR滤波器相位延迟分析

FIR滤波器的相位延迟推导

FIR（有限脉冲响应）滤波器的延迟特性通常是线性的，这源于其非递归结构和对称系数设计。下面我们详细推导FIR滤波器的相位延迟，并展示如何利用KaTeX进行Markdown文档的编写。

FIR滤波器的基本形式

一个FIR滤波器的输出可以表示为：

$$y(n)=\sum _{k=0}^N{b}_{k}x(n-k)$$

其中，$b_k$ 是滤波器的系数，$N$ 是滤波器的阶数。

频率响应和相位响应

FIR滤波器的频率响应 $H(e^{j\omega })$ 可以表示为：

$$H(e^{j\omega })=\sum _{k=0}^N{b}_k{e}^{-j\omega k}$$

相位响应 $\varphi (\omega )$ 是频率响应的相位部分：

$$H(e^{j\omega })=|H(e^{j\omega })|e^{j\varphi (\omega )}$$
$$\varphi (\omega )=\arg (H(e^{j\omega }))$$

线性相位的条件

为了实现线性相位，我们通常设计FIR滤波器的系数使其具有对称性或反对称性。对于一个长度为 $N+1$ 的对称FIR滤波器，其系数满足：

$$b_k=b_{N-k}$$

对于反对称FIR滤波器，其系数满足：

$$b_k=-b_{N-k}$$

这两种对称性保证了滤波器的相位响应是线性的，即：

$$\varphi (\omega )=-\omega \tau$$

其中，$\tau$ 是一个常数，表示恒定的群延迟。

定量推导

考虑一个对称的FIR滤波器，其冲激响应 $h(n)$ 为：

$$h(n)=h(N-1-n)$$

其频率响应为：

$$H(e^{j\omega })=\sum _{k=0}^{N-1}h(k)e^{-j\omega k}$$

由于 $h(n)$ 的对称性，我们可以将其拆分并合并：

$$H(e^{j\omega })=\sum _{k=0}^{(N-1)/2}h(k)\left(e^{-j\omega k}+e^{-j\omega (N-1-k)}\right)$$

利用欧拉公式，我们有：

$$e^{-j\omega (N-1-k)}=e^{-j\omega (N-1)}{e}^{j\omega k}$$

合并后得到：

$$H(e^{j\omega })=e^{-j\omega (N-1)/2}\sum _{k=0}^{(N-1)/2}h(k)\left(e^{-j\omega (k-(N-1)/2)}+e^{j\omega (k-(N-1)/2)}\right)$$

这表明相位响应是线性的：

$$\varphi (\omega )=-\omega \frac{N-1}{2}$$