Matlab绘制隐函数总结-二维和三维
1.二维隐函数
二维隐函数满足f(x,y)=0f(x,y)=0f(x,y)=0,这里无法得到y=f(x)y=f(x)y=f(x)的形式。不能通过普通函数绘制。
我们要关注的是使用fplot
函数和fimplicit
函数。
第1种情况:基本隐函数
基本的隐函数形式形如:
x2+y2+2x=2(x2+y2)12x^{2}+y^{2}+2 x=2\left(x^{2}\right.\left.+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}x2+y2+2x=2(x2+y2)21
原来有个ezplot函数的,但是现在Matlab不推荐使用了,可能要慢慢淘汰掉了。老版的写法是
ezplot('x^2+y^2+2*x=2*sqrt(x^2+y^2)')
或者
syms x y ezplot(x^2+y^2+2*x-2*sqrt(x^2+y^2))
(后面我们也不再谈ezplot函数)
下面是官方推荐的写法:
使用fplot函数
fplot('x^2+y^2+2*x=2*sqrt(x^2+y^2)')
使用fimplicit函数
注意和fplot
函数不同,Matlab官方提示:为了获得最佳性能和避免产生警告消息,请使用按元素运算符。例如,使用 x.*y
而不是 x*y
。
fimplicit( x.^2+y.^2+2.*x-2.*sqrt(x.^2+y.^2))
或者
fimplicit(@(x,y) x.^2+y.^2+2.*x-2.*sqrt(x.^2+y.^2))
总结:一般的隐函数可以使用fplot函数或者fimplicit函数绘制。
第2种情况:隐函数带变量
形如:
x2+y2+ax=a(x2+y2)12x^{2}+y^{2}+a x=a\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}x2+y2+ax=a(x2+y2)21
根据实际需要可将aaa事先具体赋值, 但使用中应注意,绘图语句不能简单采用前面基本格式的 形式 ,不能写作,会报错
a = 2;
fplot('x^2+y^2+a*x-a*sqrt(x^2+y^2)');
因为函数包括单引号时,相当于是符号表达式,变量a的值作为一个参数,不能传进函数,导致fplot()
不能正常绘图。
使用fimplicit函数
fplot
函数测试了不行,使用fimplicit函数下面的代码是可以的。
a=2;
syms x y
fimplicit(x.^2+y.^2+ a.*x-a.*sqrt(x.^2+y.^2))
总结:带有未知参数的隐函数使用fimplicit函数绘制
第3种情况:带有多个变量的隐函数组的绘图
形如:
f(x,y)=x+y2=a,g(x,y)=x2−y=bf(x, y)=x+y^2=a,\quad g(x, y)=x^2-y=bf(x,y)=x+y2=a,g(x,y)=x2−y=b
不妨令:
a=3,b=−3a=3,b=-3a=3,b=−3
使用fimplicit函数
因为还是带有未知参数的隐函数,我们还是用使用fimplicit函数绘制。
a=3;b=-3;
syms x y
f=x+y^2-a;
g=x^2-y-b;
fimplicit(f);
hold on;
fimplicit(g)
title('x+y^2-a=0 x^2-y-b=0 a=3 b=-3')
总结:带有多个变量的隐函数组使用fimplicit函数绘制,加上
hold on
命令
2.三维隐函数
三维隐函数满足f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0,这里无法得到z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)的形式。不能通过普通函数绘制。
我们要关注的是使用等面值计算函数isosurface
和面元渲染函数patch
分布实现三维隐函数曲面的绘制方法。
我们使用isosurface
的调用方式是
[f,v] = isosurface(X,Y,Z,V,isovalue)
官方的解释是该语句返回由isovalue指定的某个等值面的表面(Faces)和顶点(Vertices)数据,并存放在单独的数组f、v中。我们绘制的是v=f(x,y,z)=0v=f(x,y,z)=0v=f(x,y,z)=0的三维图形,则isovalue=0
。
patch
函数是面元渲染函数,对曲面进行修饰,相关的调用方式是:patch(X,Y,Z,C)
patch(X,Y,Z,C)
它以三维坐标(X,Y,Z)为顶点,构造三维曲面,c是R G B颜色向量。另一个相关的调用方式是:
patch('Faces',F,'Vertices',V)
它通过包含Faces、Vertices两个的数组F、V来构造三维曲面,F和V可以由等值面函数isosurface计算而得。
对于三元显函数v=f(x,y,z)v=f(x,y,z)v=f(x,y,z) 来说,当v=0v=0v=0时的等值面就是z=g(x,y)z=g(x,y)z=g(x,y)的三维曲面。isosurface
函数可以计算v=0v=0v=0的等值面,返回结果包括表面和顶点数据,并存放于数组fff、vvv中,再输入给patch
函数,能构造三维曲面,还可以根据需要设置颜色、亮度、三维视角等。画图的步骤可以归纳为:
(1)用meshgrid函数产生网格点,同时可确定坐标范围。
(2)引用隐函数表达式计算格点函数值val。
(3)调用[f,v]=isosurface(x,y,z,val,0)计算隐函数等值面并返回到f、v。
(4)调用patch(‘Faces’,f,‘Vertices’,v,‘facecolor’,‘interp’,‘EdgeColor’,‘k’)对曲面修饰。
[x,y,z]=meshgrid(-1.5:0.1:1.5,-1.5:0.1:1.5,-1.5:0.1:1.5);
v=(x.^2+(9/4)*y.^2+z.^2-1).^3-x.^2.*z.^3-(9/80)*y.^2.*z.^3;
[f,v]=isosurface(x,y,z,v,0);
p=patch('Faces',f,'Vertices',v,'CData',v(:,3),'facecolor','interp',...'EdgeColor','k');
view(3); grid on;
来看下效果!
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