二维Gamma分布的激光点云去噪

1、Gamma 分布简介

  Gamma 分布在合成孔径雷达( Synthetic Aperture Ｒadar，SAＲ) 图像分割中具有广泛应用，较好的解决了SAＲ 图像中相干斑噪声对图像分割的影响。采用二维Gamma 分布对点云噪声点判定条件进行拟合，并对其进行优化，考虑中心点周围邻域分布状况和邻域点距离分布两个约束条件自动调控下的Gamma 滤波算法即可对点云进行去噪。

2、实现步骤

( 1) 对原始点云数据集$P=P_1，P_2，\dots ，P_n$中的每个数据点$P_i(x，y，z)$ ，运用上述kd － tree索引进行$k$邻域搜索，查询并存储查询点周围最近邻近点集$Q=P_1，P_2，\dots ，P_j\dots ，P_k$ ;

( 2) 计算$P_i(x，y，z)$ 点到周围$k$个邻近点的欧氏距离$d_{ij}$ ，然后计算出$P_i(x，y，z)$到其周围$k$个邻近点的均值${\bar{d}}_i$。

( 3) 对点集$P=P_1，P_2，\dots ，P_n$ 中点$Pi(x，y，z)$ 的$k$邻域均值进行Gamma 分布拟合，求解出Gamma 分布的${\alpha }_1$ 和${\beta }_1$ 。Gamma 分布的随机变量的概率分布密度函数如式( 1) 所示:

式中，${\alpha }_1$，${\beta }_1$，$\delta$分别为Gamma 分布的形状参数、比例参数和位置参数，其中$\delta$为模型分布的下限，通常取$\delta =0$。在噪声点判定过程中，超过累积概率$F_1$ ，表示中心查询点$P_i(x，y，z)$
周围$k$邻域点的均值较大，即$k$邻域均值大于${\bar{d}}_{thre}$，此类中心查询点可初步认定为噪声点。累积概率$F_1$ 的函数表达式如式( 2) :


( 4) 对查询点周围$k$个最近邻域点的欧式距离d_{ij}进行线性拟合，求解出每个查询点$P_i(x，y，z)$ 周围邻域点的距离变化斜率$k_i$ 。

( 5) 同理，对点集$P=P_1，P_2，\dots ，P_n$ 中的点$P_i(x，y，z)$ 的斜率$k_i$ 进行Gamma 曲线分布拟合，求解出Gamma 分布的${\alpha }_2$ 和${\beta }_2$ 。

计算查询点$P_i(x，y，z)$ 周围邻域点的欧式距离变化斜率$k_i$ 的累积概率，若超过累积概率$F_2$ 表示中心查询点$P_i(x，y，z)$ 周围$k$个邻域点的距离变化较大，即斜率大于$k_{thre}^{\prime }$，表示查询点周围的邻域点分布极不均匀，此类查询点被认定为噪声点。

( 6) 以上两个约束条件相互独立，定义二维Gamma 联合概率密度公式如式( 3) 所示:

其中，${\alpha }_1，{\beta }_1，{\alpha }_2，{\beta }_2$ 均为大于零，称$(d_i^{\prime }，k_i^{\prime })$ 服从参数为${\alpha }_1，{\beta }_1，{\alpha }_2，{\beta }_2$分布的二维Gamma 联合分布。则二维Gamma 联合分布函数满足式( 4) 、式( 5) 。

式( 5) 中$x_1、x_2$是基于CFAＲ检测器的门限决定的。根据二维Gamma 联合分布的性质，设定
满足某一平面$G$ 与曲面$f(x，y)$之间的空间区域内点即为内点，否则为外点，即噪声点。移除所有未满足的噪声点，即得到滤波后的点集。