[C++][STL源码剖析] 详解AVL树的实现

目录

1.概念

2.实现

2.1 初始化

2.2 插入

2.2.1 旋转（重点）

左单旋

右单旋

双旋

2.❗ 双旋后，对平衡因子的处理

2.3 判断测试

完整代码：

拓展：删除

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1.概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

高度之差=右子树高度 - 左子树高度

AVL == 高度平衡二叉树搜索树

由于AVL树的自平衡特性，它适用于需要频繁插入和删除操作的场景，尤其是对于需要快速搜索和有序遍历的数据集合。

平衡为什么不是高度差相等，而是高度差不超过 1？

为了涵盖更多的情况，例如为节点个数为 4 如下，高度差 1 也相对平衡了

为什么 满二叉树和 AVL 树是同一个 level？

增删查改：高度次->O（logN）

最后一 h 层有 2^(h-1)个节点

满二叉树 2^h-1=N

AVL 树 2^h-X=N //最后一行还存在缺失

X 范围：[1, 2^(h-1)-1]

满二叉树和 AVL 树 在量级上都是约等于 log N 的

2.实现

2.1 初始化

AVL树的节点定义包括以下几个属性：

• 值：每个节点存储的值，可以是任意类型，通常是一个关键字或数据。
• 左子节点指针：指向当前节点的左子节点的指针。左子节点的值应该小于或等于当前节点的值。
• 右子节点指针：指向当前节点的右子节点的指针。右子节点的值应该大于当前节点的值。
• 父节点指针：指向当前节点的父节点的指针。根节点的父节点指针为空。（为了便于后面更好的更新设计的）
• 平衡因子：表示当前节点的左子树高度和右子树高度之差。平衡因子可以为-1、0或1。

下面是一个示例代码来定义一个AVL树的节点结构：

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf;AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0) //balance factor{}
};

2.2 插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){//if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}//搜索找到位置Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;//小于就右移}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//找到一个为空的位置了

生成支点，判断插入

cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//再指回去

插入这部分代码倒是没问题，难的是新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树，破坏了AVL树就需要旋转调整再次变成AVL树。

如何根据这三种情况来实现插入和对高度的管理？

新增支点：右子树高度++，左子树高度--

插入会对祖先产生影响，平衡因子为 0 了，就再不会对上面的祖先产生影响了，变 0 就平衡了

对以上插入情况，分析可知

是否继续向上更新依旧：子树的高度是否变化

1. parent->_bf == 0，说明之前parent->_bf是1或者-1，说明之前parent一边高一边低，而这次的插入是把矮的那边填上了，parent所在子树高度不变，不需要往上继续更新。
2. parent->_bf == 1 或者 -1，说明之前parent->_bf为0，两边一样高，现在插入使一边变得更高了，parent所在子树高度变了，继续往上更新。
3. parent->_bf == 2 或者 -2，说明之前parent->_bf是1或者-1，现在插入导致严重不平衡，违反规则，就地处理—>旋转。

什么时候结束呢？

_bf==0 或者更新到了根节点的时候

实现平衡因子的更新

// ... 控制平衡// 更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else // if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}//判断处理if (parent->_bf == 0){// 更新结束break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;//回指父指针作用的体现，实现上移了}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 子树不平衡了，需要旋转if (parent->_bf == 2 || cur->bf == 1){RotateL(parent);}break;}else{assert(false);}}return true;}

接下来我们来看看旋转的实现

2.2.1 旋转（重点）

左单旋

[C++] 详解AVL树左旋的实现~

 

旋转的时候需要注意的问题：

1. 保持他是搜索树
2. 变成平衡树且降低这个子树的高度

核心操作：

parent->right=cur->left;
cur->left=parent;

如下情况都会用到左旋：

代码：

void RotateL(Node* parent)
{// 保存父节点的右子节点Node* cur = parent->_right;// 保存右子节点的左子节点Node* curleft = cur->_left;// 利用区间性，将子左给父右parent->_right = curleft;if (curleft){// 将右子节点的左子节点作为父节点的右子节点curleft->_parent = parent;}// 将父节点作为右子节点的左子节点cur->_left = parent;// 保存父节点的父节点Node* ppnode = parent->_parent;// 将父节点的父节点指向右子节点parent->_parent = cur;// 判断原父节点是否为根节点if (parent == _root){// 更新根节点为右子节点_root = cur;// 将新根节点的父指针置为空cur->_parent = nullptr;}else{// 判断原父节点是其父节点的左子节点还是右子节点if (ppnode->_left == parent){// 更新父节点的左子节点为右子节点ppnode->_left = cur;}else{// 更新父节点的右子节点为右子节点ppnode->_right = cur;}// 更新右子节点的父指针为父节点的父节点cur->_parent = ppnode;}// 将父节点和右子节点的平衡因子都设置为0，表示树已经平衡parent->_bf = cur->_bf = 0;
}

右单旋

代码：

void RotateR(Node* parent)
{// 获取父节点的左子节点Node* cur = parent->_left;// 获取左子节点的右子节点Node* curright = cur->_right;// 将左子节点的右子节点作为父节点的左子节点parent->_left = curright;if (curright){// 更新左子节点的右子节点的父指针curright->_parent = parent;}// 引入父父节点Node* ppnode = parent->_parent;// 将父节点作为左子节点的右子节点cur->_right = parent;// 更新父节点的父指针parent->_parent = cur;// 判断原父节点是否为根节点if (ppnode == nullptr){// 更新根节点为左子节点_root = cur;// 将新根节点的父指针置为空cur->_parent = nullptr;}else{// 判断原父节点是其父节点的左子节点还是右子节点if (ppnode->_left == parent){// 更新父节点的左子节点为左子节点ppnode->_left = cur;}else{// 更新父节点的右子节点为左子节点ppnode->_right = cur;}// 更新左子节点的父指针cur->_parent = ppnode;}// 将父节点和左子节点的平衡因子都设置为0，表示树已经平衡parent->_bf = cur->_bf = 0;
}

双旋

左右旋转：插入的两种情况，看的是折线情况

直线：单旋 2 1 同号

折线：双旋 2 -1

旋转判断

根据 parent 和 cur 的平衡因子，实现对使用哪种旋转的判断

	else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 子树不平衡了，需要旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}//异号else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}break;}else{assert(false);}}

1.

双旋的结果本质：比 60 小 ，比 30 大的小插入 到 30 下面，找到一个区间中的点

2.❗ 双旋后，对平衡因子的处理

3.h==0 60 本身就是插入的

三种情况，关心 60 的值是-1 0 1

不存在其他奇怪的情况，分别做了 60 的左右

以 RL 为例实现代码：

void RotateRL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;int bf = curleft->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);
//举例思考填写if (bf == 0){cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){cur->_bf = 1;curleft->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}

LR 旋转：

平衡因子是根据 curright 初始情况，经过旋转后的图分析分类后得带的

⭕具体而言，先左单旋再右单旋的操作步骤如下：

• 首先获取节点C的左子节点A（subL）和节点A的右子节点D（subLR）；
• 然后对节点A进行左单旋（RotateL），此时节点C的左子节点应为节点D，节点D的右子节点应为节点A；
• 最后对节点C进行右单旋（RotateR），此时节点D成为新的子树头节点，节点C成为节点D的右子节点。

最后一部分使用了if语句判断旋转后各个节点的平衡因子，并进行相应的调整，以便使AVL树保持平衡。

• 如果节点D的平衡因子为1，说明节点D的左子树比右子树高，需要进行右旋操作，这一次旋转中节点C和节点A都向右移动了一位，而节点D的平衡因子变为0，节点A和节点C的平衡因子都变为-1；
• 如果节点D的平衡因子为-1，说明节点D的右子树比左子树高，需要进行左旋操作，这一次旋转中节点C和节点A都向左移动了一位，而节点D的平衡因子变为0，节点A和节点C的平衡因子都变为1；
• 如果节点D的平衡因子为0，说明节点D的左右子树高度相等，不需要进行旋转操作，各个节点的平衡因子均设置为0；
• 如果节点D的平衡因子不是1、-1或者0，则说明AVL树已经失去了平衡，这是一个不合法的状态，应该立即报错退出程序。
• 经过这两次旋转后，AVL树重新保持了平衡性和有序性。

void RotateLR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;int bf = curright->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);
//解耦合，旋转bf 重新定义if (bf == 0){parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;curright->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;cur->_bf = 0;curright->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;cur->_bf = -1;curright->_bf = 0;}}

2.3 判断测试

test 发现不是根，父亲又是空，是为什么呢？

树的结构出问题了，某次旋转出事了

发现错误就是我们的晋级关键时刻

我们可以根据AVL树的性质来测试

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

1. 它的左右子树都是AVL树
2. 即左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1）

求高度这有个对重载函数的巧妙使用:

当传入的节点root是nullptr（空指针）时，说明到达了树的叶子节点的下一层，此时返回高度为0，因为空树的高度定义为0。

int Height(){return Height(_root);}int Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}

对于平衡的测试：

IsBalance(Node* root) 是一个递归函数，其工作流程如下：

1. 基本情况：如果 root 是 nullptr，意味着到达了一个空节点，那么认为该子树是平衡的，返回 true。
2. 计算子树高度：计算当前节点的左子树和右子树的高度，分别存储在 leftHight 和 rightHight 变量中。
3. 检查平衡因子：root->_bf 表示当前节点的平衡因子，即右子树的高度减去左子树的高度。如果计算出的实际高度差与存储的平衡因子不匹配，那么输出错误信息并返回 false。这一步是为了验证树的内部数据一致性。
4. 检查子树平衡性：检查当前节点的左右子树高度差的绝对值是否小于2（即是否平衡）。如果是，则继续递归检查左右子树是否平衡。如果所有的子树都平衡，那么整个树也是平衡的。

bool IsBalance(){return IsBalance(_root);}bool IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHight = Height(root->_left);int rightHight = Height(root->_right);if (rightHight - leftHight != root->_bf){cout << "平衡因子异常:" <<root->_kv.first<<"->"<< root->_bf << endl;return false;}return abs(rightHight - leftHight) < 2&& IsBalance(root->_left)&& IsBalance(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;public:int _rotateCount = 0;
};

手动制作条件断点，一定要注意父亲回指的设定

  // 更新父节点的父指针parent->_parent = cur;

对于这个纰漏的处理，来检验和调试这个问题

测试：

int main()
{AVLTree<int, int> tree;// 插入一些节点tree.Insert({10, 10});tree.Insert({20, 20});tree.Insert({30, 30});tree.Insert({40, 40});tree.Insert({50, 50});cout << "树高度: " << tree.Height() << endl;cout << "树是否平衡: " << (tree.IsBalance() ? "是" : "否") << endl;// 插入更多节点来触发旋转tree.Insert({25, 25});tree.Insert({5, 5});tree.Insert({15, 15});cout << "树高度: " << tree.Height() << endl;cout << "树是否平衡: " << (tree.IsBalance() ? "是" : "否") << endl;return 0;
}

发现错误：

拼写错误修正：例如 rotateCount 应为 _rotateCount。parent 不要拼写掉 e。

目前还不知道是为什么，重写了一遍，就跑起来了

完整代码：

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv): _kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// Update balance factorwhile (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0)break;else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)RotateL(parent);else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)RotateR(parent);else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)RotateRL(parent);else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)RotateLR(parent);break;}else{assert(false);}}return true;}void RotateL(Node* parent){++_rotateCount;Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;parent->_right = curleft;if (curleft){curleft->_parent = parent;}cur->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = cur;if (parent == _root){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}parent->_bf = cur->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){++_rotateCount;Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;parent->_left = curright;if (curright)curright->_parent = parent;cur->_right = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = cur;if (ppnode == nullptr){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}parent->_bf = cur->_bf = 0;}void RotateRL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;int bf = curleft->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){cur->_bf = 1;curleft->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateLR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;int bf = curright->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;curright->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;cur->_bf = 0;curright->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;cur->_bf = -1;curright->_bf = 0;}else{assert(false);}}int Height(){return Height(_root);}int Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);return max(leftHeight, rightHeight) + 1;}bool IsBalance(){return IsBalance(_root);}bool IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << "->" << root->_bf << endl;return false;}return abs(rightHeight - leftHeight) < 2&& IsBalance(root->_left)&& IsBalance(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;public:int _rotateCount = 0;
};

拓展：删除

插入到 0，不用更改

删除到 0，还要更改

删除会更加的复杂，平衡因子的更新，旋转等等，将上面的思路总结和拓展一下，大家有兴趣可以看看如下的实现代码：

bool Erase(const pair<T, V>& kv)
{if (_root == nullptr)return false;

首先，检查树是否为空。如果树为空，直接返回 false，表示删除失败。

    Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;// 找到要删除的节点while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{break;}}if (cur == nullptr)return false;

这部分代码用于在树中查找要删除的节点。通过比较当前节点 cur 的键值 cur->_kv.first 与要删除的键值 kv.first，决定向左子树还是右子树继续搜索。最终，cur 将指向要删除的节点，parent 是 cur 的父节点。如果找不到该键值，返回 false。

    // 处理删除节点的三种情况if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_right;if (_root)_root->_parent = nullptr;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;parent->_bf++;}else{parent->_right = cur->_right;parent->_bf--;}if (cur->_right)cur->_right->_parent = parent;}}else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;if (_root)_root->_parent = nullptr;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;parent->_bf++;}else{parent->_right = cur->_left;parent->_bf--;}if (cur->_left)cur->_left->_parent = parent;}}else // 左右子树都不为空{Node* successorParent = cur;Node* successor = cur->_right;while (successor->_left){successorParent = successor;successor = successor->_left;}cur->_kv = successor->_kv;if (successorParent->_left == successor){successorParent->_left = successor->_right;successorParent->_bf++;}else{successorParent->_right = successor->_right;successorParent->_bf--;}if (successor->_right)successor->_right->_parent = successorParent;cur = successor;parent = successorParent;}delete cur;

这一部分处理删除节点的三种情况：

1. 左子树为空：直接用右子树替代删除节点。如果删除节点是根节点，直接更新根节点 _root。否则，更新父节点的左或右子树指针，并调整平衡因子。
2. 右子树为空：直接用左子树替代删除节点。如果删除节点是根节点，直接更新根节点 _root。否则，更新父节点的左或右子树指针，并调整平衡因子。
3. 左右子树都不为空：找到右子树中的最小节点（即中序后继节点），用这个节点替代当前节点。然后删除中序后继节点，并调整其父节点的指针和平衡因子。

    // 更新平衡因子并处理旋转bool isLRUpdated = true;while (parent){if (!isLRUpdated){if (cur == parent->_left)parent->_bf++;elseparent->_bf--;}isLRUpdated = false;if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)return true;else if (parent->_bf == 0){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){Node* higherChild;int sign;if (parent->_bf > 0){sign = 1;higherChild = parent->_right;}else{sign = -1;higherChild = parent->_left;}if (higherChild->_bf == 0){if (sign > 0){RotateL(parent);parent->_bf = 1;higherChild->_bf = -1;}else{RotateR(parent);parent->_bf = -1;higherChild->_bf = 1;}return true;}else if (higherChild->_bf == sign){if (sign == 1)RotateL(parent);elseRotateR(parent);}else{if (sign == 1)RotateRL(parent);elseRotateLR(parent);}cur = parent;parent = cur->_parent;}else{assert(false);}}return true;
}

这一部分用于在删除节点后更新平衡因子并处理旋转，以保持树的平衡：

1. 平衡因子为 ±1：子树高度没有变化，直接返回。
2. 平衡因子为 0：子树高度减少，继续向上更新平衡因子。
3. 平衡因子为 ±2：子树严重不平衡，需要旋转。根据较高子树的平衡因子选择合适的旋转方式：

• • 如果较高子树的平衡因子为 0，进行单旋转。
  • 如果较高子树的平衡因子与父节点相同，进行单旋转。
  • 如果较高子树的平衡因子与父节点不同，进行双旋转。

通过这些操作，就可以确保树在删除节点后仍然保持平衡啦