带通采样定理

一、采样定理

1.1 低通采样定理(奈奎斯特采样)

低通采样定理（奈奎斯特采样）是要求大于信号的最高上限频率的两倍

1.2 带通采样定理

带通信号的采样频率在某个时间小于采样频率也能无失真恢复原信号

二、频谱混叠

对一个连续时域信号，采样后变为时域离散但幅值连续的采样信号，根据我们以前所谈过的傅里叶变换，采样的本质就是对原始信号进行周期性的频域搬移。一般情况下，我们会选择采样周期为信号周期的整数倍，认为这样可以避免信号混叠。但如果采样频率出现未知错误(玄学)，就会使周期性频谱搬移过程中出现频谱混叠，这样采到的数据点是无法还原真正周期的样子，就无法恢复原信号.

三、带通采样定理

设一个频率信号x(t)的频带限制在(fl,fh),采样速率fx满足：

式中，n取能满足fs>=2(fh-fl)的最大整数倍，则用fs进行等间隔采样所得到的信号采样值x(nTs)能准确的确定原信号。

现在我们给一个例子

以上图为例子，为一个双边谱，左侧为镜像，我们对其进行频谱搬移

移动到fL左侧的信号我们假设为搬移m次，可以假设最近的信号点位-fL+mfs，那么右侧为m+1次，则点位 -fH+(m+1)fs，fs就是我们假设的采样频率，如果保证频谱不产生混叠，我们就要做到以下：

                                              -fL+mfs <= fL             &&    -fH+(m+1)fs >=fH

根据这个要求，我们就可以解出fs，m我们需要取得一个最大值，这样才能让获得的信息效率最高，而根据上面的不等式  2fL/m >= 2fH/m+1,m因为是个数 所以一定是个整数，整理后得

m <=  fL/fH-fL,我们就对这个数进行一个向下取整，我们看到分母，分母就是我们信号的带宽(B)

那么 m(max) =[fL/B] 

现在假设有两种情况，第一种，如果m不是整数， m = n-1 根据化简，最后我们就可以得到

                                                          fs >= 2B(1+k/n)

如果是个整数倍，按照一样的思路推就可以。

这样带通采样的使用条件，就是只允许其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠