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322. 零钱兑换
题目描述
给你一个整数数组 coins ,表示不同面额的硬币;以及一个整数 amount ,表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1:
输入:coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出:3
解释:11 = 5 + 5 + 1
示例 2:
输入:coins = [2], amount = 3
输出:-1
示例 3:
输入:coins = [1], amount = 0
输出:0
题解
from math import infdef min_coins(coins, amount):# 创建一个数组来保存每个金额所需的最少硬币数,初始化为无穷大dp = [float('inf')] * (amount + 1)# 0金额所需硬币数为0dp[0] = 0# 遍历每个金额直到目标金额for i in range(1, amount + 1):# 遍历每种硬币for coin in coins:# 如果当前硬币面值小于等于当前金额if coin <= i:# 更新当前金额所需的最少硬币数dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)# 如果目标金额无法组成,则返回-1,否则返回最少硬币数return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1print(min_coins([1, 2, 5], 11))
print(min_coins([2], 3))
print(min_coins([1], 0))
1. 题目理解
我们需要用给定的硬币面额(coins)来凑成一个指定的总金额(amount)。目标是找到所需的最少硬币数量。如果无法凑成指定金额,返回 -1。题目允许使用的硬币数量是无限的。
2. 代码思路
这是一个经典的动态规划问题,目标是通过选择不同的硬币面额,最小化硬币数量以凑成给定金额。动态规划的思想是通过构建一个数组
dp
,记录凑成每个金额所需的最少硬币数,从而自底向上地解决问题。具体步骤如下:
- 初始化动态规划数组
dp
:
dp[i]
表示凑成金额i
所需的最少硬币数。首先我们将所有金额的值初始化为一个较大的数(如无穷大),表示暂时无法凑成这个金额。- 特别地,
dp[0] = 0
,因为凑成金额 0 所需的硬币数是 0。
- 遍历所有的金额 i:
- 对于每个金额
i
,我们尝试每一种硬币面额coin
,如果当前硬币面额小于等于i
,则通过状态转移方程更新dp[i]
的值。- 状态转移方程为:
dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)
,其中dp[i - coin]
表示减去一个当前硬币后剩余金额的最优解。
- 结果判断:
- 当遍历完所有金额后,检查
dp[amount]
的值。如果它仍然是无穷大,表示无法凑成该金额,返回 -1;否则,返回dp[amount]
,即凑成amount
所需的最少硬币数。3. 算法分析
时间复杂度:
- 内层循环遍历
coins
,外层循环遍历amount
,因此时间复杂度为 O(amount * n),其中n
是硬币的种类数。空间复杂度:
- 由于我们使用了一个大小为
amount + 1
的数组来存储每个金额的最少硬币数,因此空间复杂度为 O(amount)。
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