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322. 零钱兑换

题目描述

给你一个整数数组 coins ,表示不同面额的硬币;以及一个整数 amount ,表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1:

输入:coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出:3
解释:11 = 5 + 5 + 1

示例 2:

输入:coins = [2], amount = 3
输出:-1

示例 3:

输入:coins = [1], amount = 0
输出:0

题解

from math import infdef min_coins(coins, amount):# 创建一个数组来保存每个金额所需的最少硬币数,初始化为无穷大dp = [float('inf')] * (amount + 1)# 0金额所需硬币数为0dp[0] = 0# 遍历每个金额直到目标金额for i in range(1, amount + 1):# 遍历每种硬币for coin in coins:# 如果当前硬币面值小于等于当前金额if coin <= i:# 更新当前金额所需的最少硬币数dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)# 如果目标金额无法组成,则返回-1,否则返回最少硬币数return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1print(min_coins([1, 2, 5], 11))
print(min_coins([2], 3))
print(min_coins([1], 0))
1. 题目理解

我们需要用给定的硬币面额(coins)来凑成一个指定的总金额(amount)。目标是找到所需的最少硬币数量。如果无法凑成指定金额,返回 -1。题目允许使用的硬币数量是无限的。

2. 代码思路

这是一个经典的动态规划问题,目标是通过选择不同的硬币面额,最小化硬币数量以凑成给定金额。动态规划的思想是通过构建一个数组 dp,记录凑成每个金额所需的最少硬币数,从而自底向上地解决问题。

具体步骤如下

  1. 初始化动态规划数组 dp
  • dp[i] 表示凑成金额 i 所需的最少硬币数。首先我们将所有金额的值初始化为一个较大的数(如无穷大),表示暂时无法凑成这个金额。
  • 特别地,dp[0] = 0,因为凑成金额 0 所需的硬币数是 0。
  1. 遍历所有的金额 i
  • 对于每个金额 i,我们尝试每一种硬币面额 coin,如果当前硬币面额小于等于 i,则通过状态转移方程更新 dp[i] 的值。
  • 状态转移方程为:dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1),其中 dp[i - coin] 表示减去一个当前硬币后剩余金额的最优解。
  1. 结果判断
  • 当遍历完所有金额后,检查 dp[amount] 的值。如果它仍然是无穷大,表示无法凑成该金额,返回 -1;否则,返回 dp[amount],即凑成 amount 所需的最少硬币数。
3. 算法分析

时间复杂度

  • 内层循环遍历 coins,外层循环遍历 amount,因此时间复杂度为 O(amount * n),其中 n 是硬币的种类数。

空间复杂度

  • 由于我们使用了一个大小为 amount + 1 的数组来存储每个金额的最少硬币数,因此空间复杂度为 O(amount)。

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