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《数字信号处理》学习08-围线积分法（留数法）计算z 逆变换

news 文章来源：https://blog.csdn.net/weixin_53046747/article/details/142578942 2025/4/20 8:54:30

目录

一，z逆变换相关概念 

二，留数定理相关概念 

三，习题 

一，z逆变换相关概念 

接下来开始学习z变换的反变换-z逆变换（z反变化）。 

由象函数  eq?X%28z%29 求它的原序列 eq?x%28n%29 的过程就称为 eq?z逆变换。即 eq?x%28n%29%3DZ%5E%7B-1%7D%5Cleft%20%5B%20X%28z%29%20%5Cright%20%5D。

求z逆变换的方法通常有三种：围线积分法，部分分式展开法和长除法。

由于原序列 eq?x%28n%29 就是罗朗级数C_{n}，因此用围线积分法求z逆变换的积分公式如下👇

eq?x%28n%29%3DC_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20j%7D%5Coint_%7Bc%7DX%28z%29z%5E%7Bn-1%7Ddz ，c\in \left ( z_{-},z_{+} \right )

可以看到上式比较复杂，如果直接计算围线积分，会比较麻烦，因此可以借助复变函数的留数定理来计算出围线积分的结果。

二，留数定理相关概念 

在使用留数定理之前，需要知道的基础知识点如下（也可以去看《复变函数》这本书）：

  1. 复值函数：是指其值域为复数的函数（输入输出都是复数）。例如求z逆变换的积分公式中的
    eq?X%28z%29z%5E%7Bn-1%7D 就是复值函数，输入（自变量）z 是复数，输出（因变量）eq?X%28z%29z%5E%7Bn-1%7D 也是复数。为了简化运算过程，一般令eq?X%28z%29z%5E%7Bn-1%7D%3DF%28z%29 
  2. 解析函数（也叫全纯函数）：在某个区域内可以用幂级数展开的复值函数（如果复值函数在某一点可微，在该点的领域内也可微，则称之为解析函数）。

    解析函数有一个很重要的性质：导数存在。

    导数存在可以推出该函数具有可微性（在复分析中，如果一个解析函数的导数存在，那么该函数在其定义域内是可微的。），也可以知道该函数具有连续性。
  3. 留数：用 Res(复值函数，孤立奇点) 表示。由于积分公式中有复值函数eq?X%28z%29z%5E%7Bn-1%7D ，因此可以假设复值函数为eq?F%28z%29%3DX%28z%29z%5E%7Bn-1%7D，同时假设存在孤立奇点  eq?a_%7Bk%7D，则留数可表示为 eq?Res%5Cleft%20%28%20F%28z%29%2Ca_%7Bk%7D%20%5Cright%20%29。
  4. 孤立奇(qi)点：是指一个复函数在某一点的邻域内不定义或不解析，但在该点的某个邻域外是解析的。奇点又称为奇异点。
    假设复函数 eq?F%28z%29 在z_{i} 处是奇点，  那么孤立奇点可以分为以下三类：
    1）本性奇点：eq?%5Cunderset%7Bz%5Cto%20z_%7Bi%7D%7D%7Blim%7DF%28z%29 极限不存在。
    2）可去奇点：eq?%5Cunderset%7Bz%5Cto%20z_%7Bi%7D%7D%7Blim%7DF%28z%29 极限存在且有限。eq?%5Cunderset%7Bz%5Cto%20z_%7Bi%7D%7D%7Blim%7DF%28z%29%3DC
    3）极点：eq?%5Cunderset%7Bz%5Cto%20z_%7Bi%7D%7D%7Blim%7DF%28z%29        极限存在且为无穷。eq?%5Cunderset%7Bz%5Cto%20z_%7Bi%7D%7D%7Blim%7DF%28z%29%3D%5Cinfty
    在使用围线积分法求z 逆变换的计算中孤立奇点都找极点位置。即eq?%5Cunderset%7Bz%5Cto%20z_%7Bi%7D%7D%7Blim%7DF%28z%29%3D%5Cinfty   
  5. 留数定理：通过计算留数的结果，得到原序列x(n)=Res(F(z),a_{k})=Res[F(z)]_{z=z_{i}}=(z-z_{i})F(z)

三，习题 

例如给出一道题要求使用留数法求z逆变换：求象函数X(z)的原序列x(n)，如下👇

题目1：已知X(z)=\frac{-3z^{-1}}{2-5z^{-1}+2z^{-2}}，分别求：

1）收敛域0.5<|z|<2对应的原序列 x(n)

2）收敛域|z|>2对应的原序列 x(n)

解：  

1）

// 先将X(z) 的分母因式分解

∵  X(z)=\frac{-3z^{-1}}{2-5z^{-1}+2z^{-2}}

=\frac{-3z}{2z-5z+2}             // 分子分母同时乘 z^{2}，分式的大小（值）不变

=\frac{-3z}{(z-2)(2z-1)}       // 分母使用十字相乘法化简

又∵ 积分公式：x(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint _{c}X(z)z^{n-1}dz ，且 eq?F%28z%29%3DX%28z%29z%5E%7Bn-1%7D

∴ F(z)=\frac{-3z}{(z-2)(2z-1)}\times z^{n-1}=\frac{-3z^{n}}{(z-2)(2z-1)}=\frac{-3z^{n}}{2(z-2)(z-\frac{1}{2})}

∵ 0.5<|z|<2   

// 符合双边序列的z变换收敛域z_{-}<|z|<z_{+}，离散时间变量n\in \left ( -\infty,\infty \right )
// 如果z变换不清楚的可以查看下面的文章：
// 《数字信号处理》学习07-z变换_左边序列,右边序列、双边序列。-CSDN博客

 所以F(z)的极点可以分为如下两种情况：
① 当n<0 时，分子上存在一个极点，即-3z^{n-1}=-3\times \frac{1}{z^{1-n}}，令\frac{1}{z^{1-n}}=\infty，得z_{1}=0

分母存在两个极点，即：
当z-2=0时，得z_{2}=2

当z-\frac{1}{2}=0时，得z_{3}=\frac{1}{2}=0.5

对应的z平面收敛域及围线C所包围的区域如下：

// 观察上图，可以发现，围线C所包围的圆里面有两个极点：z_{1}=0 和 z_{3}=\frac{1}{2}=0.5

// 由于z_{1}=0 是n阶的极点，因此，围线C所包含的极点需要反着取（即使用围线C外极点）

如下图：

//从上图可以看到围线C外的极点只有一个z_{2}=2

∵ a_{k}=2

// 使用留数定理时，由于是围线C外积分，因此留数的值需要取负数：

∴ x(n)=-Res(\frac{-3z^{n}}{2(z-2)(z-\frac{1}{2})},2)

=-(z-2)\frac{-3z^{n}}{2(z-2)(z-\frac{1}{2})}|_{z=z_2}

=\frac{3z^{n}}{2z-2\times\frac{1}{2}}|_{z=z_2}

=\frac{3\times2^{n}}{3}=2^{n}

② 当n<0 时，

分母存在两个极点，即：
当z-2=0时，得z_{2}=2

当z-\frac{1}{2}=0时，得z_{3}=\frac{1}{2}=0.5

但围线C只能包含一个极点z_{3}=\frac{1}{2}=0.5，如下图：

// 使用留数定理，取的是围线C内的极点，因此，留数为正。

 x(n)=Res(\frac{-3z^{n}}{2(z-2)(z-\frac{1}{2})},\frac{1}{2})

=(z-\frac{1}{2})\frac{-3z^{n}}{2(z-2)(z-\frac{1}{2})}|_{z=\frac{1}{2}}

=\frac{3 \times \frac{1}{2}^{n}}{2\times\frac{3}{2}}

=2^{-n}

综上，原序列 x(n)=2^{|n|}

2）求 收敛域|z|>2对应的原序列 x(n)。

根据题目可得 F(z)=\frac{-3z^{n}}{2(z-2)(z-\frac{1}{2})} 

象函数X(z)的收敛域|z|>2，符合右边序列的收敛域形式，由于收敛域的外部区域通常与因果序列相关（该右边序列是因果序列）。因此这里只讨论当 n\geq 0 时的情况，

分母上的两个极点分别为：z_{1}=2，z_{2}=\frac{1}{2}=0.5

对应的围线C所包含的极点如下图所示：

// 使用留数定理，因为极点都在围线C内，所以留数前面为正，不加负号。

 x(n)=Res(\frac{-3z^{n}}{2(z-2)(z-\frac{1}{2})},2)+Res(\frac{-3z^{n}}{2(z-2)(z-\frac{1}{2})},\frac{1}{2}) 

=-2^{n}+\frac{1}{2}^{n}=(0.5^{n}-2^{n})u(n)

所以当收敛域|z|>2时，对应的原序列为 x(n)=(0.5^{n}-2^{n})u(n)。

题目2：用留数法求下面象函数X(z) 的原序列 x(n)

解：

// 先将式子中z变量的指数变成正数，分子分母同时乘z^{2}，式子大小不变，题目式子变为如下：

∵ 积分公式：x(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint _{c}X(z)z^{n-1}dz  

又∵  X(z)=\frac{z^{2}-\frac{1}{2}z}{z^{2}-\frac{1}{4}}

=\frac{z(z-\frac{1}{2})}{(z+\frac{1}{2})(z-\frac{1}{2})}     // 因式分解 a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)

=\frac{z(z-\frac{1}{2})}{(z+\frac{1}{2})(z-\frac{1}{2})}=\frac{z}{z+\frac{1}{2}}

∴ F(z)=\frac{z}{z+\frac{1}{2}} \times z^{n-1}=\frac{z^{n}}{z+\frac{1}{2}}

∵ |z|>\frac{1}{2}，符合右边序列的z变换收敛域，且该右边序列为因果序列，此时n\geq 0

∴ 在z复平面上的收敛域及围线C的位置如下图所示：

// 观察上图，可以看到，极点位于围线C内，因此留数定理使用的是C内积分。

x(n)=Res(F(z),-\frac{1}{2})

=Res(\frac{z^{n}}{z+\frac{1}{2}},-\frac{1}{2})

=(z-(-\frac{1}{2}))\frac{z^{n}}{z+\frac{1}{2}}|_{z=-\frac{1}{2}}

=(-\frac{1}{2})^{n}

// 因为是因果序列，序列的离散时间变量n只分布在坐标轴的右边，所以需要加上n的取值范围

// 一般将序列乘上单位阶跃信号就可以表示该序列只在正半轴有取值。

所以当收敛域 |z|>\frac{1}{2}  时，对应的原序列为 x(n)=(-\frac{1}{2})^{n}u(n)。 

题目3：用留数法求下面象函数X(z) 的原序列 x(n)

 解：
1）

∵ 积分公式：x(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint _{c}X(z)z^{n-1}dz 

∴ F(z)=X(z)z^{n-1}=\frac{3-\frac{5}{6}z^{-1}}{(1-\frac{1}{4}z^{-1})(1-\frac{1}{3}z^{-1})}\times z^{n-1}=\frac{3 z^{n-1}-\frac{5}{6}z^{n-2}}{(1-\frac{1}{4}z^{-1})(1-\frac{1}{3}z^{-1})}

==\frac{3 z^{n+1}-\frac{5}{6}z^{n}}{(z-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{3})}   // 分子分母同时乘 z^{2}，大小不变

∵ |z|>\frac{1}{3}，符合右边序列z变换的收敛域，且该右边序列为因果序列，此时 n\geq 0

∴F(z)在分母上存在两个极点：z_{1}=\frac{1}{4},z_{2}=\frac{1}{3}

在z复平面上的收敛域如下图所示：

∵极点都位于围线C内（c内极点），留数前面不用加负号。

// 根据留数定理，可求出原序列 x(n)

x(n)=Res(F(z),\frac{1}{3})+Res(F(z),\frac{1}{4})

=(z-\frac{1}{3})F(z)_{z=\frac{1}{3}}+(z-\frac{1}{4})F(z)_{z=\frac{1}{4}}

=(z-\frac{1}{3})\frac{3 z^{n+1}-\frac{5}{6}z^{n}}{(z-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{3})}_{z=\frac{1}{3}}+(z-\frac{1}{4})\frac{3 z^{n+1}-\frac{5}{6}z^{n}}{(z-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{3})}_{z=\frac{1}{4}}

=\frac{3 z^{n+1}-\frac{5}{6}z^{n}}{(z-\frac{1}{4})}_{z=\frac{1}{3}}+\frac{3 z^{n+1}-\frac{5}{6}z^{n}}{(z-\frac{1}{3})}_{z=\frac{1}{4}}

=\frac{3 \times(\frac{1}{3})^{n+1}-\frac{5}{6}\times(\frac{1}{3})^{n}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}+\frac{3 \times(\frac{1}{4})^{n+1}-\frac{5}{6}\times(\frac{1}{4})^{n}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{3}}

=36 \times(\frac{1}{3})^{n+1}-10\times(\frac{1}{3})^{n}-36 \times(\frac{1}{4})^{n+1}+10\times(\frac{1}{4})^{n}

=(\frac{1}{3})^{n}\times(12-10)+(\frac{1}{4})^{n}\times(10-9)

=2\cdot (\frac{1}{3})^{n}+(\frac{1}{4})^{n}

// 因为是因果序列，序列的离散时间变量n只分布在坐标轴的右边，所以需要加上n的取值范围

// 一般将序列乘上单位阶跃信号就可以表示该序列只在正半轴有取值。

所以当收敛域 |z|>\frac{1}{3}  时，对应的原序列为 x(n)=(2\cdot (\frac{1}{3})^{n}+(\frac{1}{4})^{n})u(n)。                            

2）

由题（1）得F(z)=\frac{3 z^{n+1}-\frac{5}{6}z^{n}}{(z-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{3})} 

∵ \frac{1}{4}<|z|<\frac{1}{3}，符合双边序列z变换的收敛域，此时 n\in \left ( -\infty ,\infty \right )

∴需要进行分类讨论

当n<0 时，分子上存在极点z_{1}=0

∴F(z)在分母上存在两个极点：z_{1}=\frac{1}{4},z_{2}=\frac{1}{3}

// 因为z_{1}=0是n阶极点，所以留数定理使用的是围线C外的极点

在z复平面上的收敛域如下图所示：

// 观察上图可以看到，围线C外的极点只有一个z=\frac{1}{3}，此时的留数公式前需要加上负号

x(n)=-Res(F(z),\frac{1}{3})

=-(z-\frac{1}{3})F(z)_{z=\frac{1}{3}}

=-(z-\frac{1}{3})\frac{3 z^{n+1}-\frac{5}{6}z^{n}}{(z-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{3})}_{z=\frac{1}{3}}

=-\frac{3 z^{n+1}-\frac{5}{6}z^{n}}{(z-\frac{1}{4})}_{z=\frac{1}{3}}

=-\frac{3 \times(\frac{1}{3})^{n+1}-\frac{5}{6}\times(\frac{1}{3})^{n}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}

=-36 \times(\frac{1}{3})^{n+1}+10\times(\frac{1}{3})^{n}

=(\frac{1}{3})^{n}\times(10-12)

=-2\cdot (\frac{1}{3})^{n}

// 因为上面是在n<0时求出的结果，即单位阶跃信号翻褶之后再向左平移一个单位u(-n-1)，所以需要加上定义域，上式结果乘上u(-n-1)

当n<0 时，x(n)=-2\cdot (\frac{1}{3})^{n}u(-n-1)

// 接下来讨论n>=0的情况

当n\geq 0 时，不存在n阶极点z=0，收敛域依旧不变，此时围线C所包含的极点有一个z=\frac{1}{4}，如下

 // 观察上图可以看到，围线C内的极点有一个z=\frac{1}{4}，此时的留数公式前不需要加上负号

x(n)=Res(F(z),\frac{1}{4})

=(z-\frac{1}{4})F(z)_{z=\frac{1}{4}}

=(z-\frac{1}{4})\frac{3 z^{n+1}-\frac{5}{6}z^{n}}{(z-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{3})}_{z=\frac{1}{4}}

=\frac{3 z^{n+1}-\frac{5}{6}z^{n}}{(z-\frac{1}{3})}_{z=\frac{1}{4}}

=\frac{3 \times(\frac{1}{4})^{n+1}-\frac{5}{6}\times(\frac{1}{4})^{n}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{3}}

=-36 \times(\frac{1}{4})^{n+1}+10\times(\frac{1}{4})^{n}

=(\frac{1}{4})^{n}\times(10-9)

=(\frac{1}{4})^{n}

 // 因为上面是在n>=0时求出的结果，所以需要加上定义域，上式结果乘上u(n)

当n\geq 0 时，x(n)=(\frac{1}{4})^{n}u(n)

// 最后将 n<0 和 n>=0的结果合并在一起

综上，收敛域为 \frac{1}{4}<|z|<\frac{1}{3}的原序列为x(n)=-2\cdot (\frac{1}{3})^{n}u(-n-1)+(\frac{1}{4})^{n}u(n)

3）

由题（1）得F(z)=\frac{3 z^{n+1}-\frac{5}{6}z^{n}}{(z-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{3})} 

∵ |z|<\frac{1}{4}，符合左边序列z变换的收敛域，收敛域及围线C围在小于1/4的位置如下：

 // 观察上图可以看到，围线C内无极点，而在围线C外存在两个极点，此时留数前需要加负号

x(n)=-Res(F(z),\frac{1}{3})-Res(F(z),\frac{1}{4})

=-(z-\frac{1}{3})F(z)_{z=\frac{1}{3}}-(z-\frac{1}{4})F(z)_{z=\frac{1}{4}}

=-(z-\frac{1}{3})\frac{3 z^{n+1}-\frac{5}{6}z^{n}}{(z-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{3})}_{z=\frac{1}{3}}-(z-\frac{1}{4})\frac{3 z^{n+1}-\frac{5}{6}z^{n}}{(z-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{3})}_{z=\frac{1}{4}}

=-\frac{3 z^{n+1}-\frac{5}{6}z^{n}}{(z-\frac{1}{4})}_{z=\frac{1}{3}}-\frac{3 z^{n+1}-\frac{5}{6}z^{n}}{(z-\frac{1}{3})}_{z=\frac{1}{4}}

=-\frac{3 \times(\frac{1}{3})^{n+1}-\frac{5}{6}\times(\frac{1}{3})^{n}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}-\frac{3 \times(\frac{1}{4})^{n+1}-\frac{5}{6}\times(\frac{1}{4})^{n}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{3}}

=-36 \times(\frac{1}{3})^{n+1}+10\times(\frac{1}{3})^{n}+36 \times(\frac{1}{4})^{n+1}-10\times(\frac{1}{4})^{n}

=(\frac{1}{3})^{n}\times(-12+10)+(\frac{1}{4})^{n}\times(9-10)

=-2\cdot (\frac{1}{3})^{n}-(\frac{1}{4})^{n}

// 因为上面是在n<0时求出的结果，即单位阶跃信号翻褶之后再向左平移一个单位u(-n-1)，所以需要加上定义域，上式结果乘上u(-n-1)

当|z|<\frac{1}{4} 时，原序列为x(n)=(-2\cdot (\frac{1}{3})^{n}-(\frac{1}{4})^{n})u(-n-1)

以上就是用留数法求z逆变换的相关内容，上述的计算也可以使用分部积分法和长除法，后面我会接着学习，有兴趣的关注专栏，有问题的请在评论区留言或者是私信我，回复时间不超过一天。 

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编程日记 2024/10/14 15:01:29

超材料光子晶体和禁带分析实例_CST电磁仿真教程

光子晶体是由周期性排列的不同折射率的介质制造的光学结构&#xff0c;可被视为广义超材料metamaterial的一种。本期我们演示设计一个基于光频能带(PBG,photonics band gap) 的二维光子晶体波导&#xff0c;能带分析方法也可适用于微波波段&#xff08;EBG,electromagetic band…...

编程日记 2024/10/14 14:59:27

关于OceanBase数据库的poc测试连接经验（by liuhui）

poc客户给了OceanBase数据库实例如下 ob实例&#xff1a; ip:1xx.xx.xx 端口&#xff1a;2883 实例名&#xff1a;obm_xczjj_1_poc#cs_pool_1 用户名&#xff1a;root 密码&#xff1a;xxxxxx 问题出现&#xff1a;根据客户提供的OceanBase数据库配置报错。配置如下 查询数据…...

编程日记 2024/10/14 14:57:25

Docker部署如何修改本地mysql，redis连接信息

要修改数据库 MySQL 和缓存 Redis 的地址为 ruoyi-mysql 和 ruoyi-redis&#xff0c;通常需要在 Spring Boot 项目的配置文件中进行相应的修改。 ### 修改 MySQL 数据库地址为 ruoyi-mysql 1. **在 Spring Boot 项目中找到 application.properties 或 application.yml 文件**…...

编程日记 2024/10/14 14:54:22

PHP中的ReflectionClass常见用法

ReflectionClass是 PHP 中的一个类&#xff0c;它提供了有关类的信息的反射。 使用ReflectionClass可以在运行时获取关于类的各种信息&#xff0c;例如类的名称、方法、属性、注释等。 以下是一些常见的用法&#xff1a; 获取类的名称&#xff1a; $reflection new Reflec…...

编程日记 2024/10/14 14:53:20

processing像素画教程

前提&#xff1a;各位已经安装了processing 第一步&#xff1a;创建一个简单的网格 我们首先创建一个网格来定义我们作品的像素画布。网格将帮助您在适当的位置绘制每个像素。 int gridSize 20; // 每个像素的大小 int cols, rows; void setup() {size(400, 400); // 设置画…...

编程日记 2024/10/14 14:52:19

【秋招笔试】10.13字节跳动(已改编)秋招-三语言题解

🍭 大家好这里是 春秋招笔试突围，一起备战大厂笔试 💻 ACM金牌团队🏅️ | 多次AK大厂笔试 ｜ 大厂实习经历 ✨ 本系列打算持续跟新 春秋招笔试题 👏 感谢大家的订阅➕ 和 喜欢💗 和 手里的小花花🌸 ✨ 笔试合集传送们 -> 🧷春秋招笔试合集 本次的三题全部上线…...

编程日记 2024/10/14 14:47:11

牛客网上最全的Java八股文整理，涵盖Java全栈技术点

Java 面试 “金九银十”这个字眼对于程序员应该是再熟悉不过的了&#xff0c;每年的金九银十都会有很多程序员找工作、跳槽等一系列的安排。说实话&#xff0c;面试中 7 分靠能力&#xff0c;3 分靠技能&#xff1b;在刚开始的时候介绍项目都是技能中的重中之重&#xff0c;它…...

编程日记 2024/10/14 14:46:10

Skyeye 云智能制造 v3.14.9 发布，ERP 商城 + AI

Skyeye 云智能制造&#xff0c;采用 Springboot winUI 的低代码平台、移动端采用 UNI-APP。包含 30 多个应用模块、50 多种电子流程&#xff0c;CRM、PM、ERP、MES、ADM、EHR、笔记、知识库、项目、门店、商城、财务、多班次考勤、薪资、招聘、云售后、论坛、公告、问卷、报表…...

编程日记 2024/10/14 14:45:09

Element-快速入门

什么是 Element 在现代前端开发中&#xff0c;组件化的思想日益盛行&#xff0c;Element组件库作为一款流行的UI组件库&#xff0c;特别适用于基于Vue.js的项目&#xff0c;它为开发者提供了丰富的组件和良好的开发体验。 想要使用Element的组件库&#xff0c;我们需要完成下面…...

编程日记 2024/10/14 14:43:07

利士策分享，从“亮剑精神”汲取财富智慧

利士策分享&#xff0c;从“亮剑精神”汲取财富智慧 在某一广袤区域内&#xff0c;一场寓意深远的活动正如火如荼地展开&#xff0c;它不仅象征着直面挑战的勇气&#xff0c;更隐含着经济社会发展的深层启示。 对于广大民众来说&#xff0c;这场活动背后所传达的理念与机遇&am…...

编程日记 2024/10/14 14:42:06

【JavaScript】关于使用JS对word文档实现预览的一些思考

文章目录 mammothdocx4js mammoth 官网地址&#xff1a;https://github.com/mwilliamson/mammoth.js#readme 安装mammoth&#xff1a; npm i mammoth -S我们可以安装mammoth来实现上传的word文件的在线预览&#xff0c;我们以element的上传组件为示例&#xff1a; <temp…...

编程日记 2024/10/14 14:35:58

安宝特方案 | AR技术在轨交行业的应用优势

随着轨道交通行业不断向智能化和数字化转型&#xff0c;传统巡检方式的局限性日益凸显。而安宝特AR眼镜以其独特的佩戴方式和轻便设计&#xff0c;为轨道交通巡检领域注入了创新活力&#xff0c;提供了全新的解决方案。 01 多样化佩戴方法&#xff0c;完美适应户外环境 安宝特…...

编程日记 2024/10/14 14:34:57

K8S配置MySQL主从自动水平扩展

前提环境 操作系统Ubuntu 22.04 K8S 1.28.2集群&#xff08;1个master2个node&#xff09; MySQL 5.7.44部署在K8S的主从集群 metrics-server v0.6.4 概念简介 在K8s中扩缩容分为两种 ●Node层面&#xff1a;对K8s物理节点扩容和缩容&#xff0c;根据业务规模实现物理节点自动扩…...

编程日记 2024/10/14 14:33:52

Excel：将一列拆分成多列

实现的效果是&#xff1a; 操作步骤如下&#xff1a; 1.选中列 → 点击菜单栏中的"数据" → 分列 2.选择"分列符号"&#xff0c;点击下一步 3.我想要按照空格分列&#xff0c;就选择空格 4.点击完成&#xff0c;就可以实现分列的效果了...

编程日记 2024/10/14 14:31:50

一款强大灵活的流程图引擎，支持React 和 Svelte 框架

大家好&#xff0c;今天给大家分享一个专注于处理流程可视化和交互的项目xyflow。它旨在为开发者和用户提供一种直观、高效的方式来表示、管理和操作各种流程。 项目介绍 xyflow是一款强大灵活的流程图引擎。该项目是用于构建基于节点的编辑器和交互式图表&#xff0c;支持 Re…...

编程日记 2024/10/14 14:30:48

基于STM32 ARM+FPGA+AD的电能质量分析仪方案设计(一）硬件设计

电能质量分析系统硬件设计 3.1 电能质量分析系统设计要求 本系统实现对电能质量的高精度测量&#xff0c;根据国家相关电能质量分析仪器规定 标准以及对市场电能质量分析仪的分析&#xff0c;指定以下设计目标。 &#xff08; 1 &#xff09;电能质量参数测量精度&#xf…...

编程日记 2024/10/14 14:28:46