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Matlab学习03-符号的替换及运算（接上一篇）

news 2025/7/9 14:58:46

在上一篇的学习中，我知道了符号变量的声明👇

Matlab学习02-matlab中的数据显示格式及符号变量-CSDN博客

接下来开始学习符号运算相关的内容，并学习最为核心的matlab程序设计。之前的学习都是为了程

序设计做铺垫，程序设计又是为了其它的项目需求做铺垫，例如数字信号处理，数字图像处理都要

用到matlab的程序设计，也可以用其它编程语言对数字图像进行处理，后期会去学习使用Java语言

来编写代码并对数字图像进行处理，当前的学习都以matlab为主。

一，符号替换

二，常用的符号运算

1，diff函数

2，int函数

3，simplify

4，solve函数

1）求解单个方程

2）求解方程组：

一，符号替换

在matlab中，subs函数（substitute ：替代品）可以用于符号变量的替换，该命令适用单个符号矩

阵，符号表达式，符号代数方程和微分方程中的变量替换，该函数的调用方法如下：

$subs(f,x_{new})$ ，其中：

1）f：表示需要被替换的符号表达式或者是符号方程式。

2）新的符号变量 $x_{new}$ ：用来替代符号表达式或符号方程中旧的符号变量 $x$ 。

如果用具体的数值型符号变量来替代符号变量 $x$ ，就会和符号变量 $x$ 的系数进行运算。

例如，我有一个符号方程式：f=sin(x)+5*x==0 % 自变量 x需要提前声明为符号变量即syms x

接着我传入两个参数到sub符号替换函数中：

subs(f,6)

f 表示符号方程式f=sin(x)+5*x==0 ；

6 表示一个数值型的符号变量

对应的效果如下 ↓

可以看到，数值型的符号变量 $6$ 可以与旧的符号变量 $x$ 前的系数 $5$ （系数也是数值型符号变

量），进行算数运算： $5*x=5*6=30$
$subs(f,x_{old},x_{new})$ ：

其中： $x_{old}$ 表示被替换的符号变量， $x_{new}$ 表示指定的新符号变量。

相较于只能传入两个参数并且只能替换掉自变量 $x$ 的上一个subs函数而言，这个函数可以指

定要替换的符号变量，而不仅仅局限于自变量 $x$ 。

依旧是 f=sin(x)+5*x==0 这个符号方程式，现在我不想替换自变量 $x$ ，只想替换自变量 $x$ 前的

系数 $5$ ，此时，我需要先传入符号方程式 f，接着传入被替换的符号变量 5，最后传入指定的

新符号变量 6。如下↓

二，常用的符号运算

可以用数字代替符号得到数值，符号运算的种类很多，在这里我先学习常用的符号运算，其它的使

用方法都大同小异，如果再遇到有意思的符号运算，我再补充到文章里面。

1，diff函数

diff 全写为differential：微分的，差别的。顾名思义就是求微分或差分的符号函数。该函数所需传入的参数如下：

根据matlab给出的函数解释，可以知道diff函数有三种用法，由于一般都习惯于将函数用字母 $f$ 表示，因此，我在这里用函数 $f$ 表示函数 $x$ 。其中：

$diff(f)$ ：对符号函数 $f$ 进行微分运算。一般默认是对自变量 $x$ 进行求导。

现在我有一个符号表达式，如下：

现在我使用 $diff(f)$ 函数对符号表达式进行求导操作，结果如下：

% 口诀：幂函数求导，摘帽减一。
$diff(f,n)$ ：符号函数 $f$ 对指定变量 $n$ 进行微分运算。

在上一个函数中只能对自变量 $x$ 进行求导，但如果我想对变量 $n$ 进行求导，就需要使用可以

传入两个参数的 $diff(f,n)$ 函数，其中的变量 $n$ ，可以是符号表达式f=x^n幂函数中的自变

量x（底数），也可以是变量 n（幂）。如果我想对自变量x求导，可以写成diff(f,x)，如下：

显而易见，效果和diff(f)一样。

如果我想对自变量n（幂）求导，可以写成diff(f,n)，如下：

% 此时，幂函数变成指数函数，底数x为常量，指数n为自变量。

% 由指数求导 $a^{x}=a^{x}lna$ ，可得符号表达式f的求导 $f'=(x^{n})'=x^{n}lnx$
$diff(f,n,dim)$ ：计算符号函 $f$ 对自变量或指定变量 $n$ 的 $dim$ 阶导数， $dim$ 是正整数。

不管是传入一个参数的diff函数还是传入两个参数的diff函数，都只能进行一阶求导运算，如

果想要求二阶及以上的导，就需要使用可以传入三个参数的diff函数。最后一个参数dim为求

导的次数。例如，符号表达式 f=x^n 对自变量 x 求二阶导：

% 因为在求导过程中是对自变量x求导，因此，变量n作为系数可以看成是常数直接提出去，

% 只对 $x^{n-1}$ 求导，由幂函数求导，可得 $(x^{n-1})'=(n-1)*x^{n-2}$ ，最后再乘上系数n，

% 二阶导的结果就是 $n*(n-1)*x^{n-2}$

2，int函数

在matlab中，int函数（全写为：integral 积分的）可见该函数是用于求积分的符号函数。

需要注意的是，求积分有两种：不定积分和定积分。定积分相较于不定积分就是多了上下限并能够

求出具体的积分结果。

和求导数的diff函数类似，求积分的int函数也有三种：

$int(f)$ ：求符号表达式f关于自变量的不定积分。

有一个符号表达式 f=x^2，现在使用int函数对其求不定积分：

求不定积分在高数中有具体的讲解。并且可知，积分和求导是相反的操作，例如

$x^{3}$ 求导的结果是 $3*x^2$ ，即 $\frac{1}{3}*(x^{3})'=x^{2}$ ，因此 $x^{2}$ 的不定积分为： $\int x^{2}=\frac{1}{3}*x^{3}+C$
之所以要在求出来的不定积分后面加上常数C，是因为不定积分的“不定”二字已经告诉了我

们，算出来的结果没有固定的值。由于常数C在求导时，会变成0：

$\frac{1}{3}*x^{3}$ ， $\frac{1}{3}*x^{3}+1$ ， $\frac{1}{3}*x^{3}+2$ ， $\frac{1}{3}*x^{3}+3$ ，... 的导数都是 $x^2$

对 $x^2$ 求不定积分，不能确定具体是哪一个表达式，因此需要加上常数C(C=0,1,2,3,4....)。

又例如，对符号表达式 f=x^n 求不定积分，也是一样的求解：

可以看到， $f=x^{n}$ 的不定积分结果有两种可能：

1）当幂 n=-1时，f=1/x，根据过的常用求导等式，可知 $(logx)'=\frac{1}{x}$

2) 当幂 n 不等于-1时，f就是幂函数，因为求导是摘帽子，所以求积分就是戴帽子并且前面

乘带的帽子就行。【在数学运算上，一定要加上常数C，不加就是错误答案，没分。】
$int(f,n)$ ：计算符号表达式 $f$ 关于变量 $n$ 的不定积分。

这个函数可以计算符号表达式 $f$ 关于指定变量 $n$ 的不定积分，而不是默认的自变量 $x$ ，例

如，我不想让符号表达式 f=x^n 对自变量x求不定积分，而是对变量n求不定积分，如下：

此时，幂函数为指数函数，根据指数函数的求导公式， $(a^{x})'=a^{x}loga$ ，可得 $\frac{(a^{x})'}{loga}=a^{x}$

因此， $\int a^{x}=\frac{a^{x}}{loga}+C$ ，替换成上式中的变量，即 $\int x^{n}=\frac{x^{n}}{logx}+C$
$int(f,a,b)$ 或 $int(f,n,a,b)$ ：计算符号表达式f关于默认变量或指定变量n从a到b的定积

分。在求定积分时，结合不定积分的结果再借助牛顿莱布尼兹公式就可以求出常数C。
其中：

1）a表示积分的下限，类似于区间的起始位置，a<b。
2）b表示积分的上限，类似于区间的结束位置，b>a。
3）n表示符号表达式f对指定的变量n就行求定积分。

例如，现在我让符号表达式 $f$ f=x^n 对变量 n求定积分：