正定矩阵(Positive Definite Matrix)的定义与性质
正定矩阵(Positive Definite Matrix)的定义与性质
正定矩阵在优化、机器学习、信号处理等领域中有广泛应用。以下是其定义、几何解释及性质。
1. 定义
一个 n × n n \times n n×n 的实对称矩阵 A A A 是正定矩阵,当且仅当它满足以下等价条件之一:
-
对任意非零向量 x ∈ R n x \in \mathbb{R}^n x∈Rn,有:
x T A x > 0 x^T A x > 0 xTAx>0 -
矩阵的所有特征值均为正。
-
存在一个满秩矩阵 B B B,使得
A = B T B A = B^T B A=BTB -
(针对复矩阵) A A A 是 Hermitian 矩阵(共轭对称矩阵),且所有特征值均为正。
对于复矩阵 A A A,如果满足 x H A x > 0 x^H A x > 0 xHAx>0(其中 x H x^H xH 表示 x x x 的共轭转置),则称 A A A 是正定矩阵。
2. 几何解释
正定矩阵 A A A 定义了一种“度量”或“能量”:
- 二次型 x T A x x^T A x xTAx 表示向量 x x x 在某种度量下的“能量”或“长度平方”。
- 如果 A A A 是正定的,则度量是严格正的,说明 A A A 表示一个严格凸的二次函数。
3. 性质
正定矩阵具有以下性质:
3.1 对称性
- 实正定矩阵必须是对称矩阵: A = A T A = A^T A=AT
- 复正定矩阵必须是 Hermitian 矩阵: A = A H A = A^H A=AH
3.2 特征值
- 正定矩阵的所有特征值均为正。
- 特征值的正性也可通过迹和行列式反映。
3.3 二次型非负
- 对任意向量 x x x,有:
x T A x > 0 x^T A x > 0 xTAx>0
3.4 主子式正性
- 正定矩阵的所有主子式(从左上角开始的任意子矩阵的行列式)均大于 0。
3.5 逆矩阵正定性
- 若 A A A 是正定矩阵,则其逆矩阵 A − 1 A^{-1} A−1 也正定。
4. 判定方法
判断一个矩阵是否为正定矩阵的方法:
-
二次型检验
检查 x T A x > 0 x^T A x > 0 xTAx>0 是否对任意非零 x x x 成立。 -
特征值检查
计算矩阵的所有特征值,若均为正,则矩阵正定。 -
Cholesky 分解
若矩阵 A A A 可以进行 Cholesky 分解:
A = L L T A = LL^T A=LLT
(其中 L L L 是下三角矩阵),则 A A A 是正定的。 -
主子式法则
检查矩阵的所有主子式是否均为正。
5. 应用场景
正定矩阵广泛应用于以下领域:
-
优化
- 二次优化问题中,目标函数的 Hessian 矩阵若为正定,则目标函数是严格凸的。
-
机器学习
- 核矩阵(Kernel Matrix)必须是正定的。
-
物理与工程
- 用于描述系统的稳定性、能量以及正向性。
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