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正定矩阵(Positive Definite Matrix)的定义与性质

正定矩阵(Positive Definite Matrix)的定义与性质

正定矩阵在优化、机器学习、信号处理等领域中有广泛应用。以下是其定义、几何解释及性质。

1. 定义

一个 n × n n \times n n×n 的实对称矩阵 A A A 是正定矩阵,当且仅当它满足以下等价条件之一:

  1. 对任意非零向量 x ∈ R n x \in \mathbb{R}^n xRn,有:
    x T A x > 0 x^T A x > 0 xTAx>0

  2. 矩阵的所有特征值均为正。

  3. 存在一个满秩矩阵 B B B,使得
    A = B T B A = B^T B A=BTB

  4. (针对复矩阵) A A A 是 Hermitian 矩阵(共轭对称矩阵),且所有特征值均为正。

对于复矩阵 A A A,如果满足 x H A x > 0 x^H A x > 0 xHAx>0(其中 x H x^H xH 表示 x x x 的共轭转置),则称 A A A 是正定矩阵。

2. 几何解释

正定矩阵 A A A 定义了一种“度量”或“能量”:

  • 二次型 x T A x x^T A x xTAx 表示向量 x x x 在某种度量下的“能量”或“长度平方”。
  • 如果 A A A 是正定的,则度量是严格正的,说明 A A A 表示一个严格凸的二次函数。

3. 性质

正定矩阵具有以下性质:

3.1 对称性

  • 实正定矩阵必须是对称矩阵: A = A T A = A^T A=AT
  • 复正定矩阵必须是 Hermitian 矩阵: A = A H A = A^H A=AH

3.2 特征值

  • 正定矩阵的所有特征值均为正。
  • 特征值的正性也可通过迹和行列式反映。

3.3 二次型非负

  • 对任意向量 x x x,有:
    x T A x > 0 x^T A x > 0 xTAx>0

3.4 主子式正性

  • 正定矩阵的所有主子式(从左上角开始的任意子矩阵的行列式)均大于 0。

3.5 逆矩阵正定性

  • A A A 是正定矩阵,则其逆矩阵 A − 1 A^{-1} A1 也正定。

4. 判定方法

判断一个矩阵是否为正定矩阵的方法:

  1. 二次型检验
    检查 x T A x > 0 x^T A x > 0 xTAx>0 是否对任意非零 x x x 成立。

  2. 特征值检查
    计算矩阵的所有特征值,若均为正,则矩阵正定。

  3. Cholesky 分解
    若矩阵 A A A 可以进行 Cholesky 分解:
    A = L L T A = LL^T A=LLT
    (其中 L L L 是下三角矩阵),则 A A A 是正定的。

  4. 主子式法则
    检查矩阵的所有主子式是否均为正。

5. 应用场景

正定矩阵广泛应用于以下领域:

  1. 优化

    • 二次优化问题中,目标函数的 Hessian 矩阵若为正定,则目标函数是严格凸的。
  2. 机器学习

    • 核矩阵(Kernel Matrix)必须是正定的。
  3. 物理与工程

    • 用于描述系统的稳定性、能量以及正向性。

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