【深度学习基础】预备知识 | 微积分

【作者主页】Francek Chen
【专栏介绍】$\lceil$PyTorch深度学习$\rfloor$ 深度学习 (DL, Deep Learning) 特指基于深层神经网络模型和方法的机器学习。它是在统计机器学习、人工神经网络等算法模型基础上，结合当代大数据和大算力的发展而发展出来的。深度学习最重要的技术特征是具有自动提取特征的能力。神经网络算法、算力和数据是开展深度学习的三要素。深度学习在计算机视觉、自然语言处理、多模态数据分析、科学探索等领域都取得了很多成果。本专栏介绍基于PyTorch的深度学习算法实现。
【GitCode】专栏资源保存在我的GitCode仓库：https://gitcode.com/Morse_Chen/PyTorch_deep_learning。

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  在2500年前，古希腊人把一个多边形分成三角形，并把它们的面积相加，才找到计算多边形面积的方法。为了求出曲线形状（比如圆）的面积，古希腊人在这样的形状上刻内接多边形。如图1所示，内接多边形的等长边越多，就越接近圆。这个过程也被称为逼近法（method of exhaustion）。

图1 用逼近法求圆的面积

  事实上，逼近法就是积分（integral calculus）的起源。2000多年后，微积分的另一支，微分（differential calculus）被发明出来。在微分学最重要的应用是优化问题，即考虑如何把事情做到最好。正如在【深度学习基础】深度学习导论 中讨论的那样，这种问题在深度学习中是无处不在的。

  在深度学习中，我们“训练”模型，不断更新它们，使它们在看到越来越多的数据时变得越来越好。通常情况下，变得更好意味着最小化一个损失函数（loss function），即一个衡量“模型有多糟糕”这个问题的分数。最终，我们真正关心的是生成一个模型，它能够在从未见过的数据上表现良好。但“训练”模型只能将模型与我们实际能看到的数据相拟合。因此，我们可以将拟合模型的任务分解为两个关键问题：

• 优化（optimization）：用模型拟合观测数据的过程；
• 泛化（generalization）：数学原理和实践者的智慧，能够指导我们生成出有效性超出用于训练的数据集本身的模型。

  为了帮助读者在后面的章节中更好地理解优化问题和方法，本节提供了一个非常简短的入门教程，帮助读者快速掌握深度学习中常用的微分知识。

一、导数和微分

  我们首先讨论导数的计算，这是几乎所有深度学习优化算法的关键步骤。在深度学习中，我们通常选择对于模型参数可微的损失函数。简而言之，对于每个参数，如果我们把这个参数增加或减少一个无穷小的量，可以知道损失会以多快的速度增加或减少。

  假设我们有一个函数$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，其输入和输出都是标量。如果$f$的导数存在，这个极限被定义为
$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{\hspace{1em}(1)}$$

  如果$f^{\prime }(a)$存在，则称$f$在$a$处是可微（differentiable）的。如果$f$在一个区间内的每个数上都是可微的，则此函数在此区间中是可微的。我们可以将式(1)中的导数$f^{\prime }(x)$解释为$f(x)$相对于$x$的瞬时（instantaneous）变化率。所谓的瞬时变化率是基于$x$中的变化$h$，且$h$接近$0$。

  为了更好地解释导数，让我们做一个实验。定义 $u=f(x)=3x^2-4x$ 如下：

%matplotlib inline
import numpy as np
from matplotlib_inline import backend_inline
from d2l import torch as d2ldef f(x):return 3 * x ** 2 - 4 * x

  通过令$x=1$并让$h$接近$0$，式(1)中$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$的数值结果接近$2$。虽然这个实验不是一个数学证明，但稍后会看到，当$x=1$时，导数$u^{\prime }$是$2$。

def numerical_lim(f, x, h):return (f(x + h) - f(x)) / hh = 0.1
for i in range(5):print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')h *= 0.1

  让我们熟悉一下导数的几个等价符号。给定$y=f(x)$，其中$x$和$y$分别是函数$f$的自变量和因变量。以下表达式是等价的：
$$f^{\prime }(x)=y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=Df(x)=D_{x}f(x)$$ 其中符号$\frac{d}{dx}$和$D$是微分运算符，表示微分操作。我们可以使用以下规则来对常见函数求微分：

• $DC=0$（$C$是一个常数）
• $D{x}^n=n{x}^{n-1}$（幂律（power rule），$n$是任意实数）
• $D{e}^x=e^x$
• $D\ln (x)=1/x$

  为了微分一个由一些常见函数组成的函数，下面的一些法则方便使用。假设函数$f$和$g$都是可微的，$C$是一个常数，则：

常数相乘法则
$$\frac{d}{dx}[Cf(x)]=C\frac{d}{dx}f(x),\text{\hspace{1em}(2)}$$

加法法则
$$\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x),\text{\hspace{1em}(3)}$$

乘法法则
$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]+g(x)\frac{d}{dx}[f(x)],\text{\hspace{1em}(4)}$$

除法法则
$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{g(x)\frac{d}{dx}[f(x)]-f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x){]}^2}.\text{\hspace{1em}(5)}$$

  现在我们可以应用上述几个法则来计算$u^{\prime }=f^{\prime }(x)=3\frac{d}{dx}{x}^2-4\frac{d}{dx}x=6x-4$。令$x=1$，我们有$u^{\prime }=2$：在这个实验中，数值结果接近$2$，这一点得到了在本节前面的实验的支持。当$x=1$时，此导数也是曲线$u=f(x)$切线的斜率。

  为了对导数的这种解释进行可视化，我们将使用matplotlib，这是一个Python中流行的绘图库。要配置matplotlib生成图形的属性，我们需要定义几个函数。在下面，use_svg_display函数指定matplotlib软件包输出svg图表以获得更清晰的图像。

  注意，注释#@save是一个特殊的标记，会将对应的函数、类或语句保存在d2l包中。因此，以后无须重新定义就可以直接调用它们（例如，d2l.use_svg_display()）。

def use_svg_display():  #@save"""使用svg格式在Jupyter中显示绘图"""backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')

  我们定义set_figsize函数来设置图表大小。注意，这里可以直接使用d2l.plt，因为导入语句from matplotlib import pyplot as plt已标记为保存到d2l包中。

def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):  #@save"""设置matplotlib的图表大小"""use_svg_display()d2l.plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize

  下面的set_axes函数用于设置由matplotlib生成图表的轴的属性。

#@save
def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):"""设置matplotlib的轴"""axes.set_xlabel(xlabel)axes.set_ylabel(ylabel)axes.set_xscale(xscale)axes.set_yscale(yscale)axes.set_xlim(xlim)axes.set_ylim(ylim)if legend:axes.legend(legend)axes.grid()

  通过这三个用于图形配置的函数，定义一个plot函数来简洁地绘制多条曲线，因为我们需要在整个书中可视化许多曲线。

#@save
def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):"""绘制数据点"""if legend is None:legend = []set_figsize(figsize)axes = axes if axes else d2l.plt.gca()# 如果X有一个轴，输出Truedef has_one_axis(X):return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)and not hasattr(X[0], "__len__"))if has_one_axis(X):X = [X]if Y is None:X, Y = [[]] * len(X), Xelif has_one_axis(Y):Y = [Y]if len(X) != len(Y):X = X * len(Y)axes.cla()for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):if len(x):axes.plot(x, y, fmt)else:axes.plot(y, fmt)set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)

  现在我们可以绘制函数$u=f(x)$及其在$x=1$处的切线$y=2x-3$，其中系数$2$是切线的斜率。

x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])

二、偏导数

  到目前为止，我们只讨论了仅含一个变量的函数的微分。在深度学习中，函数通常依赖于许多变量。因此，我们需要将微分的思想推广到多元函数（multivariate function）上。

  设$y=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$是一个具有$n$个变量的函数。$y$关于第$i$个参数$x_i$的偏导数（partial derivative）为：
$$\frac{\partial y}{\partial x_i}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_1,\dots ,x_{i-1},x_i+h,x_{i+1},\dots ,x_n)-f(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n)}{h}\text{\hspace{1em}(6)}$$

  为了计算$\frac{\partial y}{\partial x_i}$，我们可以简单地将$x_1,\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_n$看作常数，并计算$y$关于$x_i$的导数。对于偏导数的表示，以下是等价的：
$$\frac{\partial y}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial x_i}=f_{x_i}=f_i=D_{i}f=D_{x_i}f\text{\hspace{1em}(7)}$$

三、梯度

  我们可以连结一个多元函数对其所有变量的偏导数，以得到该函数的梯度（gradient）向量。具体而言，设函数$f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$的输入是一个$n$维向量$\mathbf{x}=[x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^{\top }$，并且输出是一个标量。函数$f(\mathbf{x})$相对于$\mathbf{x}$的梯度是一个包含$n$个偏导数的向量：
$${\nabla }_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x})=[\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_1},\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_n}{]}^{\top }\text{\hspace{1em}(8)}$$ 其中${\nabla }_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x})$通常在没有歧义时被$\nabla f(\mathbf{x})$取代。

假设$\mathbf{x}$为$n$维向量，在微分多元函数时经常使用以下规则：

• 对于所有$\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，都有${\nabla }_{\mathbf{x}}\mathbf{Ax}={\mathbf{A}}^{\top }$
• 对于所有$\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$，都有${\nabla }_{\mathbf{x}}{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{A}=\mathbf{A}$
• 对于所有$\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，都有${\nabla }_{\mathbf{x}}{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{Ax}=(\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\top })\mathbf{x}$
• ${\nabla }_{\mathbf{x}}\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2={\nabla }_{\mathbf{x}}{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{x}=2\mathbf{x}$

  同样，对于任何矩阵$\mathbf{X}$，都有${\nabla }_{\mathbf{X}}\Vert \mathbf{X}{\Vert }_F^2=2\mathbf{X}$。正如我们之后将看到的，梯度对于设计深度学习中的优化算法有很大用处。

四、链式法则

  然而，上面方法可能很难找到梯度。这是因为在深度学习中，多元函数通常是复合（composite）的，所以难以应用上述任何规则来微分这些函数。幸运的是，链式法则可以被用来微分复合函数。

  让我们先考虑单变量函数。假设函数$y=f(u)$和$u=g(x)$都是可微的，根据链式法则：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\text{\hspace{1em}(9)}$$ 现在考虑一个更一般的场景，即函数具有任意数量的变量的情况。假设可微分函数$y$有变量$u_1,u_2,\dots ,u_m$，其中每个可微分函数$u_i$都有变量$x_1,x_2,\dots ,x_n$。注意，$y$是$x_1,x_2，\dots ,x_n$的函数。对于任意$i=1,2,\dots ,n$，链式法则给出：
$$\frac{\partial y}{\partial x_i}=\frac{\partial y}{\partial u_1}\frac{\partial u_1}{\partial x_i}+\frac{\partial y}{\partial u_2}\frac{\partial u_2}{\partial x_i}+\cdots +\frac{\partial y}{\partial u_m}\frac{\partial u_m}{\partial x_i}\text{\hspace{1em}(10)}$$

小结

• 微分和积分是微积分的两个分支，前者可以应用于深度学习中的优化问题。
• 导数可以被解释为函数相对于其变量的瞬时变化率，它也是函数曲线的切线的斜率。
• 梯度是一个向量，其分量是多变量函数相对于其所有变量的偏导数。
• 链式法则可以用来微分复合函数。