从“找三角形”讲“等腰三角形”

【题目】

周长为11，且各边长均为整数的三角形有哪些？

【答案】

四种，边长分别为：

2 4 5

3 3 5

1 5 5

3 4 4

【解析】

讲解等腰三角形的概念时，传统方法一般向学生展示一个等腰三角形的实物模型，这种方法很直观，学生也很容易理解。

但是这种方式本质上是一种“告知”的教授方式，学生在学习的过程中缺少深入思考。

数学的教学建议都从问题出发，问题是引发思考的最佳武器。

比如通过本题，就会让学生在解题过程中自然而然地“发现”等腰三角形，这就变成了从思考中理解“等腰三角形”，而不是从实物中理解。

本题属于一道开放的问题，所谓的开放是指问题有多个解。

一、找三角形

1．学生自主找图形

由于问题比较简单，所有学生都能积极参与，根据构成三条形的条件可以找出符合条件的三方形共有4种：

 

2．讨论找图形的方法

找完图形可以寻问学生找图形的方法，可能学生找的方法不尽相同，大多数人可能都是一个个数去试。

这时候就可以总结归纳出找图形的方法。

因为构成三角形的本质条件是：两边之和大于最长边，即a+b>c，c≥a，c≥b。

注：不明白这个结论的可以参见老金之前的文章：“三角形和直角三角形的构成条件及证明”

三角形和直角三角形的构成条件及证明_三边构成三角形的充要条件

一共有三条边，以哪条边的边长作为抓手去找三角形最快呢？

想想就容易明白，咱们要比较两短边和最长边的关系，而三边之和咱们又知道，所以很容易判断出最长边的最大值是5。因为最长边如果是6以上的话，就会导致两短边之和小于最长边（11-6=5，6>5）。

所以，咱们应以最长边的边长为抓手，从最大边长5开始找。

这就是“有序思考”。

下面依次列举：

(1)最长边为5，也就是两短边之和为6，列举两短边：

3 3

2 4

1 5

一共不就这三种嘛！

(2)最长边为4，两短边之和为7，列举两边：

3 4

2 5

1 6

后两种因为两短边有一边边长已经超过了最长边4，所以不符合，因此只有第一种符合条件。

注意咱们列举的次序，要从a、b值最接近的情况开始列举（即a、b之差最小）。原因很简单，这样的数肯定是最能保证c≥a，c≥b成立，这样一旦遇到列举了数字出现大于c的情况，后面的就不用再列举了。这也是有序思考。

(3)最长边为3的情况，两短边之和为8。

即便a、b取最接近的值（即a=b=4），其值也必然大于最长边，所以后面的情况都不用讨论了，符合条件的就上面4种。

3．求证最长边的取值范围

上述结论也可以通过解不等式的方式得出，但老金实在觉得这种想想就能得出的思路没必要用到不等式。这里仅作证明之用：

a+b>c这个不等式由两部分构成，左边是a+b，右边是c，咱们要判定的是二者的大小关系。

已知a+b+c=11，解上面这个不等式，很容易发现，你无法得出a、b的取值范围，但却可以得出c的取值范围。

将a+b用11-c代入不等式，解得c<11/2。因为边长为整数，所以c只能取值为1、2、3、4、5。

另外，如果你想，还可以求出c的最小值。

因为已知c≥a，c≥b，两不等式相加得2c≥a+b，将a+b+c=11代入不等式，解得c≥11/3，所以c的最小值为4。

从而得出c的取值只有4、5。

完了吗？没完？我们正在接近一个真理。

11是这个三角形的周长，有什么理由想不到11/3≤c<11/2可以表示成P/3≤c<P/2呢？

这正是一个对任何周长、最长边都适用的结论。

也就是说，我们发现了一个定理：任何三角形的最长边都大于等于周长的三分之一，小于周长的一半。

现在你掌握了这个结论，回头你就可以直用这个结论做找三角形的题目了，做题速度自然会大大提升。

其实这个结论没什么高深之处，想想就能明白。就好比有一块大蛋糕，如果两个人分，怎样保证你分到的一定小于另一个人分到的，显然你分到的要小于蛋糕的一半。如果三个人分呢？怎么保证你分到的一定不小于另两个人各自分到的？显然你至少要分到蛋糕的三分之一。因为一旦你分到的小于三分之一，另两人分到的和就会大于三分之二，其中必有一人分到的大于三分之一。

二、三角形分类

找出三角形后，就可以让学生对这4个三角形进行分类，这样才能导出等腰三角形的概念。

因为4个三角形中有3个等腰三角形，就像黑夜中的萤火虫，那样的鲜明，那样的出众，所以学生会很容易发现有的三角形有两条边相等。

这是他们自己发现的概念。

三、等腰三角形的特征

让学生对比找到的等腰三角形与非等腰三角形，猜猜他们有什么不一样？

这时候可能就会有人猜到它们有两个角也相等。

然后就可以尝试证明这个结论。

因为此时已学过全等三角形，要证明并不难。

于是，学生就可以自己导出等腰三角形的性质，这种自己做出东西来的感觉是被告知完全不能比的。

四、三角形坐姿

好看的皮囊千篇一律，有趣的灵魂万里挑一。

虽然同为等腰三角形，咱们找到的这三位长像却不一样。

如果再调整一下它们的坐姿呢。

像前面的三个不同视角（顶角朝上、顶角朝右、顶角朝下）放置等腰三角形，可以为等腰三角形的辨析提供了较好的变式训练。

顶角未必在上，底角也未必在下。

五、为什么是11

最后一个问题，你可曾想过这道题目为什么要把周长设为11？

这其实是因为它是既能构成等腰三角形、又能构成非等腰三角形的最小周长。

你可以试式11以下的周长会不会找出两类三角形。