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MATLAB 遗传算法

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本文目录

  • 遗传算法
  • MATLAB 实现遗传算法


遗传算法

遗传算法是一种模拟自然界生物进化机制的优化算法,它通过模拟自然选择、交叉和变异等操作来寻找问题的最优解。

遗传算法通常包括以下步骤:

  1. 定义问题的目标函数和约束条件,以及变量的编码方式
  2. 生成初始种群,即一组随机的可行解。
  3. 计算每个个体的适应度值,即目标函数的值。
  4. 选择操作,根据适应度值选择一部分个体进入下一代。
  5. 交叉操作,对选中的个体进行染色体的交换,产生新的个体。
  6. 变异操作,对某些个体的某些基因进行随机改变,增加种群的多样性。
  7. 重复3-6步,直到满足终止条件,如达到最大迭代次数或适应度值达到预设阈值。
  8. 输出最优解或最优解集

MATLAB 实现遗传算法

MATLAB 中的遗传算法函数为 ga,其基本语法为:

[x,fval] = ga(fun,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,intcon)

其中,fun 为目标函数,nvars 为变量个数,A 为不等式约束系数矩阵,b 为不等式约束右端项,Aeq 为等式约束系数矩阵,beq 为等式约束右端项,lb 为变量下界,ub 为变量上界,nonlcon 为非线性约束函数,intcon 为整数变量的下标。

该函数可以求解线性规划、整数规划、非线性规划、混合整数规划等各种优化问题。

例1

求解以下非线性规划问题:

min⁡f(x)=x12+x22+x32+8\begin{equation} \min \quad f(x)=x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+8 \end{equation} minf(x)=x12+x22+x32+8

s.t. {x12−x2+x32≥0x1+x22+x33≤20−x1−x22+2=0x2+2x32=3x1,x2,x3≥0\begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} x_{1}^2-x_{2}+x_{3}^2 \geq 0 \\ x_{1}+x_{2}^2+x_{3}^3 \leq 20 \\ -x_{1}-x_{2}^2+2 = 0 \\ x_{2}+2x_{3}^2 = 3 \\ x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}  s.t. x12x2+x320x1+x22+x3320x1x22+2=0x2+2x32=3x1,x2,x30

转换为标准形式:

min⁡f(x)=x12+x22+x32+8\begin{equation} \min \quad f(x)=x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+8 \end{equation} minf(x)=x12+x22+x32+8

s.t. {−x12+x2−x32≤0x1+x22+x33−20≤0x1+x22−2=0x2+2x32−3=0x1,x2,x3≥0\begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} -x_{1}^2+x_{2}-x_{3}^2 \leq 0 \\ x_{1}+x_{2}^2+x_{3}^3-20 \leq 0 \\ x_{1}+x_{2}^2-2 = 0 \\ x_{2}+2x_{3}^2-3 = 0 \\ x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}  s.t. x12+x2x320x1+x22+x33200x1+x222=0x2+2x323=0x1,x2,x30

定义目标函数:

function f = objfun(x)f = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 + 8;
end

定义非线性约束函数:

function [c,ceq] = nonlcon(x)c = [-x(1)^2 + x(2) - x(3)^2; x(1) + x(2)^2 + x(3)^3 - 20];ceq = [x(1) + x(2)^2 - 2; x(2) + 2*x(3)^2 - 3];
end

代码求解:

[x,fval] = ga(@objfun,3,[],[],[],[],[0,0,0],[],@nonlcon)

输出结果:

x =0.5516    1.2035    0.9477fval =10.6508

例2

求解以下整数规划问题:
max⁡Z=4x1+3y1+5y2\begin{equation} \max \quad Z=4x_{1}+3y_{1}+5y_{2} \end{equation} maxZ=4x1+3y1+5y2
s.t. {y1,y2are integers2x1+y1+3y2≤36x1+y1≥8x1+y2≥10x1+y1−y2=4x1,y1,y2≥0\begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} y_{1},y_{2} \text{ are integers} \\ 2 x_{1}+y_{1}+3y_{2} \leq 36 \\ x_{1}+y_{1} \geq 8 \\ x_{1}+y_{2} \geq 10 \\ x_{1}+y_{1}-y_{2} = 4 \\ x_{1}, y_{1}, y_{2} \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}  s.t. y1,y2 are integers2x1+y1+3y236x1+y18x1+y210x1+y1y2=4x1,y1,y20

转换为标准形式:

min⁡−Z=−4x1−3y1−5y2\begin{equation} \min \quad -Z=-4x_{1}-3y_{1}-5y_{2} \end{equation} minZ=4x13y15y2
s.t. {y1,y2are integers2x1+y1+3y2≤36−x1−y1≤−8−x1−y2≤−10x1+y1−y2=4x1,y1,y2≥0\begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} y_{1},y_{2} \text{ are integers} \\ 2x_{1}+y_{1}+3y_{2} \leq 36 \\ -x_{1}-y_{1} \leq -8 \\ -x_{1}-y_{2} \leq -10 \\ x_{1}+y_{1}-y_{2} = 4 \\ x_{1}, y_{1}, y_{2} \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}  s.t. y1,y2 are integers2x1+y1+3y236x1y18x1y210x1+y1y2=4x1,y1,y20

代码求解:

fun = @(x) -4*x(1) - 3*x(2) - 5*x(3);
A = [2, 1, 3; -1, -1, 0; -1, 0, -1];
b = [36; -8; -10];
Aeq = [1, 1, -1];
beq = 4;
lb = [0, 0, 0];
ub = [];
intcon = [2, 3];
[x,fval] = ga(fun,3,A,b,Aeq,beq,lb,ub,[],intcon);
fval = -fval;

输出结果:

x =4.0000    7.0000    7.0000fval =72.0000

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