证明切平面过定点的曲面是锥面

证明：切平面过定点的曲面是锥面.

证明：

方法一：

设曲面$S:\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)$的切平面过定点$P_0$,其位置向量为${\mathbf{p}}_0.$则

$$\mathbf{r}(u,v)-{\mathbf{p}}_0=\lambda (u,v){\mathbf{r}}_u+\mu (u,v){\mathbf{r}}_v,$$

其中 $\lambda (u,v),\mu (u,v)$ 是光滑函数.从而，
$${\mathbf{r}}_u={\lambda }_u{\mathbf{r}}_u+\lambda {\mathbf{r}}_{uu}+{\mu }_u{\mathbf{r}}_v+\mu {\mathbf{r}}_{uv},{\mathbf{r}}_v={\lambda }_v{\mathbf{r}}_u+\lambda {\mathbf{r}}_{uv}+{\mu }_v{\mathbf{r}}_v+\mu {\mathbf{r}}_{vv}.$$
将以上两式与 n 作内积，有
$$\begin{gathered} \lambda L+\mu M=0, \\ \lambda M+\mu N=0. \end{gathered}$$
故
$$\begin{gathered} \lambda (LN-M^2)=0, \\ \mu (LN-M^2)=0. \end{gathered}$$
由于$\lambda (u,v),\mu (u,v)$只在一点同时为0，故$LN-M^2=0.$从而，Gauss 曲率$$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=0.$$
设$S$上的点$P$是非脐点，则在它的一个小邻域内，$S$无脐点.

对应于两个主方向量场，在更小的邻域内，$S$ 有正交参数，仍记为 $(u,v).$ (对应的参数曲线是正交曲率线)

而由$K=0$,此小邻域内每点都是严格抛物点(非平点), 只沿一个方向法曲率为 0. 故其中一族参数曲线是曲率线且是渐近线.

而沿着方向$\mathbf{r}(u,v)-{\mathbf{p}}_0$,法曲率

$$k_n(\mathbf{r}(u,v)-{\mathbf{p}}_0)=\frac{L{\lambda }^2+2M\lambda \mu +N{\mu }^2}{E{\lambda }^2+2F\lambda \mu +G{\mu }^2}=0.$$

因此，这族曲率渐近线的切方向都过同一定点$P_0.$由习题二 9 (1),它们必是一束直线.

现在设$S$上点$P$是脐点，则它是平点.若存在$P$的一个邻域，$S$上每点都是平点.则$S$在此邻域内是平面的一部分.若$P$不存在这样的邻域，则在$P$的附近脐点的轨迹至多是一些曲线，不能决定曲面的形状。
综上所述，曲面$S$上每点都在曲面上的一条直线上且所有这些直线过定点，

即$:S$ 是锥面.

方法二：

设曲面$S$的所有切平面过定点$P_0.$取曲面上任意点$P\ne P_0.$设点$P_0$与过点$P$法线张成的平面为$\Pi$,而曲面$S$与平面$\Pi$的相交曲线为$C.$对于$C$上任意一点$Q$,直线${\overline{P}}_{0}Q$在平面 II 中.

而由假设，$S$的切平面都过$P_0$,故在$Q$点附近曲线$C$只在直线${\overline{P}}_{0}Q$的一侧.,点$Q$是平面$\Pi$中曲线$C$的高度函数的极小值点，故直线${\overline{P}}_{0}Q$是曲线$C$在点$Q$的切线.因此，曲线$C$ 必是直线.因此$,S$ 由过定点的直线构成，是锥面.