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考研数学【线性代数基础box（数二）】

news 文章来源：https://blog.csdn.net/weixin_61943345/article/details/144409447 2024/12/29 23:01:50

本文是对数学二线性代数基础进行总结，一些及极其简单的被省略了，代数的概念稀碎，不如高数关联性高，所以本文仅供参考，做题请从中筛选！

本文为初稿，后面会根据刷题和自己的理解继续更新

第一章：行列式：

基本概念：

link:

求n阶行列式: $\sum _{j_{1}j_{2}...j_{n}} (-1)^{r(j_{1}j_{2}...j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}...a_{n j_{n}}$
余子式： $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ 是除去i行、j列的其余项组成的行列式
代数余子式： $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
按某行展开： $|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$ ,元素乘其代数余子式，然后相加

记：

行列互换值不变
若某行元素全为0，行列式为0
k*行列式=对行列式的一行都乘k倍
某行元素是两个数之和，可以拆成两个行列式之和
行列式两行互换，行列式变号
行列式中某行的k倍加到另一行，行列式不变

重要行列式：

link:

主对角线行列式：无论上下都是主对角线的乘积（这个概念对于分块矩阵也成立，称为拉普拉斯展开式）
副对角线行列式 $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}*$ 副对角线元素的乘积（分块阵： $(-1)^{mn}|A||B|$ ,AB为副对角线行列式乘积，m、n分别为A、B的阶数）
范德蒙德行列式：形如的行列式，其值为：

行列式计算：

link:

爪型行列式：利用斜爪消去竖爪或者横爪。然后展开
递推法：找规律，适用与宽对角类型的行列式行列式递推法1_哔哩哔哩_bilibili
抽象型行列式：性质、|AB|=|A||B|、将行列式拆分成两个行列式的乘积
余子式和代数余子式的线性组合：行列式按行（或按列）展开的“逆过程”。如：给|A|，和代数余子式的线性组合，把线性组合的系数换掉其按行展开的行，求出行列式就是代数余子式的和
求解n元非齐次方程组：克拉默法则：非齐次线性方程组的行列式（行列式不带等号右边的常数项），若不等于0，则方程组存在唯一解且解为 $x_{i}\frac{D_{i}}{D},i=1,2,3,...,n$ ， $D_{i}$ 是常数项（等号右边的值 $b_{i}$ ）替换第i列得到的行列式。

第二章：矩阵：

矩阵基本运算：

link：

不满足交换律 $AB\neq BA$
加法：每项相加；数乘：每项都乘
转置矩阵的性质： $(A^{T})^{T}=A,,,(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T},,,(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ $|kA|=k^{n}|A|,,,|A+B|\neq |A|+|B|,,,|AB|=|A||B|,,,|A^{T}|=|A|$ 相当重要

特殊矩阵：

link：

数量矩阵：k倍的单位矩阵
对称矩阵：满足条件 $A^{T}=A$ 的矩阵称为对称矩阵
反对称矩阵：满足条件 $A^{T}=-A$ ，对角线为0， $a_{ij}=-a_{ji}$
分块矩阵：比较特殊的就是分块矩阵的n次幂 $\begin{bmatrix} A & O\\ O & B \end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} A^{n} & O\\ O & B^{n} \end{bmatrix}$ 、求逆： $\begin{bmatrix} A & O\\ O & B \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A^{-1} & O\\ O & B^{-1} \end{bmatrix}$ 、 $\begin{bmatrix} O & A\\ B & O \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} O & B^{-1}\\ A^{-1} & O \end{bmatrix}$
正交矩阵： $A^{T}A=E<=>A^{T}=A^{-1}<=>$ A的行（列）向量是规范正交基（正交的长度为单位1的向量）。

矩阵的逆

link：

本质：定义：AB=BA=E，则B为A的逆
可逆的充要条件是： $|A|\neq 0$
$(A^{-1})^{-1}=A$ ，可以把-1理解成负一次方： $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$ ，或者就是，把A做的变换反向变回去
重要性质： $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ 、 $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$ 、 $|A^{-1}|=|A|^{-1}=\frac{1}{|A|}$
求逆矩阵：定义法（AB=BA=E， $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ）、用伴随矩阵、初等变换求逆矩阵

伴随矩阵

link:

本质:定义:由A的代数余子式构成的矩阵
$AA^{*}=A^{*}A=|A|E$ 、 $|A^{*}|=|A|^{n-1}$ 、 $|A^{T}|^{*}=(A^{*})^{T}$ 、 $(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}$ $(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$ 、 $(A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A$
求逆矩阵的公式： $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}$
求伴随矩阵：定义法、用逆矩阵求伴随

初等矩阵：

link:

本质：对另一个矩阵进行初等变换，初等变换包括：数乘、互换、倍加
初等矩阵都可逆，逆矩阵也为初等矩阵（后面可以看一下初等变换逆前后对另一个矩阵的影响的变化）
可逆矩阵可表示为有限个初等矩阵的乘积。
对A作初等行变换，相当于左乘初等矩阵，列则是右。
初等变换求逆矩阵 $[A\vdots E]\rightarrow [E\vdots A^{-1}]$

矩阵方程：

$AX=B,X=A^{-1}B$ ,类似可自行推理

等价矩阵和等价标准型：

$PAQ=B$ ，P、Q为初等矩阵，也就是说，A通过初等变换可以变成B，则A和B等价。将其化为 $\begin{bmatrix} E_{r} & O\\ O& O \end{bmatrix}$ ,r为矩阵的秩。这个矩阵为等价标准型。
求可逆矩阵P：1、单个，把A化到B的过程每次行变换的矩阵相乘即可。2、求所有的可逆矩阵P：第四讲方程组求解再来看？？？？

矩阵的秩：

本质：定义：存在k阶子式子不为0，任意k+1阶子式全为0，矩阵的秩r(A)=k。
k是A的线性无关向量的个数；k个线性无关的向量，任意k+1个向量线性相关。
如何理解线性相关和线性无关：线性无关的向量撑起“整个空间”，线性相关的则是由这些线性无关向量表示，“躺平”在这个空间里。
重要式子： $0<r(A)<min{m,n}$ 、 $r(kA)=r(A)$ 、 $r(AB)\leq min ( r(A),r(B))$ 、 $r(A+B)\leq r(A)+r(B)$ 、 $r(A^{*})==\left\{\begin{matrix} n,&r(A)=n \\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)=n-1 \end{matrix}\right.$ 、 $r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$ 、 $A_{m*n}B_{n*s}=r(A)+r(B)\leq n$ 、 $r(A)=r(A^{T})=r(A^{T}A)=r(AA^{T})$

第三章：向量组：

link:

正交向量： $\alpha ^{T}\beta =0$ ,本质是垂直向量
向量的模： $||\alpha ||=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}$ ,二维向量为例好记
标准正交基：本质就是相互垂直的单位向量组
线性无关：向量组中的每个向量都是“基础”的，它们独立存在，没有多余的部分
线性相关：向量组中有一些向量是“多余的”，可以由其他向量通过线性组合得到（存在不全为0的数，使 $k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+...+k_{n} \alpha_{n}=0$ 成立，其中k为0的就是多余的向量）

线性相关、线性无关

link：

判定线性相关的定理：

线性相关<=>向量组中，至少有一个向量可由其余的向量线性表示。（本质是存在非0的k），逆否命题：线性无关<=>向量中任何向量都不能由其余向量表示（本质不存在非0的k）
向量组a线性无关，a加一个向量 $\beta$ 后线性相关，则 $\beta$ 可由向量组a线性表示且唯一。（本质是引入了冗余向量）
大向量组b可由小a线性表示（大小体现在列），则向量组b线性相关。（本质：b 中所有向量实际上都“依赖”于 a）
m（m列）个n（行）维向量组线性相关<=>其所构成的齐次线性方程组=0，有非零解<=>构成的矩阵的秩<m（列数）（本质：把方程列出来化简之后就是线性相关的定义，若有非零解就是k不全为0；m-秩=自由度，存在自由度，使方程=0）等价就是：线性无关充要条件是齐次方程组只有零解
$\beta$ 可由向量组a表示<=>非齐次线性方程组= $\beta$ 有解<=>r([a, $\beta$ ])=r([a]) （本质： $\beta$ 在a的空间内，可由a表示）
如果向量组a一部分线性相关，则整个向量组线性相关，（小部分就能概括整个空间，则其余的都是多余向量）逆否命题：如果a向量无关，则任何一部分向量组都线性无关。
如果n维向量组a线性无关，则向量组添加m个分量得到的向量组(m+n)维也是线性无关。（添加的分量，是独立的信息，没有引入与原来a线性相关的冗余）逆否命题：a线性相关，去掉若干分类后也是线性相关。
总结：判断能不能线性表示，就看添加后是否多一维（秩），如果向量为撑起空间的向量，则不能被线性表示，如果向量不是撑起空间的向量，则可以被线性表示

记：

自由度：就是对秩展成的空间的约束

极大线性无关组

link:

本质：向量组中撑起空间的那几个向量的集合
求极大线性无关组用进行初等行变换，找出和矩阵秩相同的子矩阵就是（不唯一）
也就是说，求极大线性无关组可以作为空间的基向量，表示其他向量。那怎么表示其他向量呢：用矩阵乘法，基向量*倍数矩阵。

等价向量组：

link：

本质：两个向量组可以相互线性表示（同一个空间中的同一个子空间，只是使用的基向量不同），记为 $A\cong B$
等价向量组有传递性、对称性
若 $A\cong B$ <=>r(a)=r(B)=r(A,B)（三秩相同）

向量组的秩：

link:

三秩相等：r(A)=A的行秩=A的列秩
等价向量组=>秩相等
对A进行初等行变换后变为B，A、B的行向量是等价向量组
向量组A、B，若A中向的向量均可由B线性表示，则r(A)<=r(B)（A 的向量组实际上“依赖于” B 的向量组，说明 A 张成的子空间是 B 张成空间的子空间）
r(A+B)<=r(A,B)<=r(A)+r(B)

第四章：线性方程组：

齐次线性方程组：

r(A)=n，n为未知数的数量，此时有唯一0解，（此时，向量组为线性无关，只有x全为0的时候成立）
r(A)=r<n，有非零解（无穷多个），且有n-r个线性无关解（自由度）（基础空间r+约束(自由度)=总维度n，）。
求解方法：1、行变换化为行阶梯型矩阵（方便看秩）。2、找出一个秩为r的子矩阵，其余位置为自由变量（明确自由变量）。3、设基础解系个数为n-r。4、设解中自由变量的位置为任意值（方便解题就行，一般是0或1），然后用A的每非0行和基础解系相乘，求出基础解系所有项。5、k*基础解系然后相加即可。
基础解系的理解：秩组成了基本的空间，如三维，自由项就是在三维上开辟一个二维的子空间（通过原点的线性子空间），这个子空间由基础解系描述

非齐次线性方程组：

$AX=B,\begin{bmatrix} A \vdots B \end{bmatrix}$ 为A的增广矩阵。
$r(A)\neq r([A\vdots B])$ ,方程无解（说明增广矩阵引入了新的独立方向，B不在A的空间内）
$r(A)= r([A\vdots B])=n$ 方程有唯一解（B在A内，没有自由项，所以解空间被完全限制，只要一个）
$r(A)= r([A\vdots B])=r<n$ ,方程有无穷多解
基础解系的理解：与非齐次的相同，但其描述的是偏移的线性子空间，与一阶的通过原点的不同。
求解方法：1、求出齐次方程通解，2、求出特解（设一个特解，选出秩相同的子矩阵，令自由变量全为0，带入行求出其他值）3、解=通解+特解

公共解：

A与B的公共解： $\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix}x=0$ ，其实就是求通解的公共部分

同解方程组：

A与B有完全相同的解
$r(A)=r(B)=r(\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix})$ （三秩相同）

第五章：特征值与特征向量

矩阵的特征值和特征向量：

link：

本质：矩阵A对这个特殊的向量的变换就是λ，而这个特殊的向量就是特征向量
$(\lambda E-A)\xi =0$ ， $\lambda$ 为特征值<=>方程有非零解<=>所以 $|\lambda E-A|=0$ （这个叫做特征方程，可求出 $\lambda$ 的n个解）。（求这个 $\lambda$ 需要做多项式除法）
若 $\lambda_{1} \lambda_{2}... \lambda_{n}$ 为A的n个特征值， $|A|=\lambda_{1} \lambda_{2}... \lambda_{n}$ ， $tr(A)=\lambda_{1}+ \lambda_{2}+...+\lambda_{n}$
$\xi$ 是A的属于 $\lambda _{0}$ 的特征向量<=> $\xi$ 是 $(\lambda E-A)x =0$ 的解
k重特征值 $\lambda _{0}$ 至多只有k个线性无关的特征向量（k重特征值，是A对多个不同的k个特征向量有相同的作用效果）（特征值的“重数”表示矩阵 A 对某些方向（特征向量）的作用是重复的，但这些方向独立的最大数量（几何自由度）由重数 k 限制）其实跟没说一样，就是说当k个重复特征值的时候，仍可以有k个线性无关向量，只是提供一个上限，提示一下比k少的可以有。
若n个特征向量是A的属于不同特征值的特征向量，则这n个特征向量线性无关（线性相关的特征向量，A的特征值一定相同，而线性无关的可以相同也可以不同）
若 $\xi _{1},\xi _{2}$ 为A的属于同一（不同）特征值 $\lambda$ 的特征向量，则 $k_{1}\xi _{1}+k_{2}\xi _{2}$ 仍是（不是）A的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量（线性子空间的任意线性组合仍然属于这个子空间）
常规矩阵的特征值和特征向量

相似矩阵：

link:

$P^{-1}AP=B$ ,则AB相似记为A~B，这个相似有传递性
相似矩阵的必要性：|A|=|B|、r(A)=r(B)、tr(A)=tr(B)、 $\lambda _{A}=\lambda _{B}$ 、 $r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)$ 、A，B的各阶主子式之和分别相等
A~B则 $f(A)\sim f(B)$ 、 $A^{-1}\sim B^{-1},f(A^{-1})\sim f(B^{-1})$ 、 $A^{*}\sim B^{*}$ 。以上结论A到B的手段与其变化后A到B的手段相同； $A^{T}\sim B^{T}$ 。
若A~C，B~D则 $\begin{bmatrix} A &O \\ O&B \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} C &O \\ O&D \end{bmatrix}$
如何求相似：定义、传递性、必要性反正不相似

相似对角化：

本质： $P^{-1}AP=\Lambda$ , $\Lambda$ 为对角矩阵，则A可相似对角化， $\Lambda$ 是A的相似标准型
可相似对角化的充要条件：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。（A对应每个k重特征值都有k个线性无关的特征向量）
可相似对角化的充分条件：n阶矩阵有n个不同的特征值；n阶矩阵为实对称矩阵（满秩）
计算：
求可逆阵P：1、求特征值，2、求特征向量，3、把向量按列排就是P
由特征值、特征向量反推A： $A=P\Lambda P^{-1}$

实对称矩阵的相似对角化：

link:

对称阵A的不同特征值的特征向量相互正交
利用 $P^{T}=P^{-1}$ 的性质推出： $Q^{T}AQ=Q^{-1}AQ=\begin{bmatrix} \lambda _{1}& & \\ & \lambda _{2}...& \\ & & \lambda _{n} \end{bmatrix}$
求实对称矩阵的相似对角化的基本步骤是：1、求特征值，2、求特征向量，3、将特征向量正交化（why:因为要求正交矩阵Q），4、按列排就是Q
施密特正交化公式（将非正交积化为正交积）：

第六章：二次型：

二次型的定义：

link:

本质：就是个二元齐次多项式f(x)，写成的形式，用矩阵A表示。A为f(x)的二次型矩阵。

合同变换：

link:

本质：把x换成y，把一个二次型（ $f(x)=x^{T}Ax$ ）通过线性变换化为另一个二次型( $g(x)=y^{T}By$ )，A和B的关系 .若存在可逆矩阵C使 $C^{T}AC=B$ 。则 $A\simeq B$ 。（从表达式A表示，到表达式B表示（换系））
合同必等价、对称矩阵合同也是对称矩阵
合同标准型：没有交叉项，只有平方项
规范型：把标准型的系数都化为1,0,-1
定理：1、任何实对称矩阵A(任何二次型)，必存在可逆矩阵C，使得： $C^{T}AC=\Lambda$ （对角阵，且为规范型）2、扩展到正交变换Q， $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$ 。
惯性定理：正系数（正惯性指数）和负系数（负惯性指数）的个数是不变的。合同变换下的不变量就是惯性指数
秩r=正惯性指数+负惯性指数
合同的充要条件：有相同的正负惯性指数；
在对称条件下，相似一定合同
合同和相似的区别：？？
配方法化二次型：1、把二次型化成 $(x_{1}+x_{2}+..)^{2}+...(x_{a}+x_{b}+...)^{2}$ 的形式，2、令y1,y2,y3等于平方项内的x的和，3、解出x=y1+...，也就是x=Cy，4、然后换元带入，把二次型变为y的标准型，5、求出|C|不为0则可以做可逆线性变换。

正定二次型：

正定二次型<=> $x^{T}Ax>0$ <=>正惯性指数p=n<=>存在可逆矩阵D， $A=D^{T}D$ <=>A=E<=>A的特征值全部>0<=>A的全部顺序主子式均大于0
顺序主子式：看图
二次型正定的必要条件：系数都大于0；|A|>0

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论文速读|Transforming and Combining Rewards for Aligning Large Language Models 论文信息： 简介： 本文探讨了如何使大型语言模型（LLMs）与人类偏好对齐。传统的对齐方法是先从偏好数据中学习一个奖励模型，然后使用这…...

编程日记 2024/12/14 11:39:00

蓝桥杯我来了

最近蓝桥杯报名快要截止了，我们学校开始收费了，我们学校没有校赛，一旦报名缴费就是省赛，虽然一早就在官网上报名了，但是一直在纠结，和家人沟通，和朋友交流，其实只是想寻求外界的支持…...

编程日记 2024/12/14 11:35:57

Vue3+TypeScript+AntVX6实现Web组态（从技术层面与实现层面进行分析）内含实际案例教学

摘要用Vue3+TypeScript+AntVX6实现Web组态（从技术层面与实现层面进行分析），包含画布创建、节点设计、拖拽实现（实际案例）、节点连线、交互功能，后续文章持续更新。注：本文章可以根据目录进行导航文档支持 AntVX6使用文档 https://x6.antv.antgroup.com/tutorial…...

编程日记 2024/12/14 11:33:54

【LeetCode】每日一题 2024_12_13 K 次乘运算后的最终数组 I（暴力）

前言每天和你一起刷 LeetCode 每日一题~ 小聊两句 1、今天是 12.13 南京大屠杀国家公祭日。铭记历史，勿忘国耻。 2、今天早上去看了 TGA 年度游戏颁奖，小机器人拿下了年度最佳游戏，所有人都震惊了，大伙纷纷问到，谁…...

编程日记 2024/12/14 11:31:48

Plant simulation、Flexsim、Automod、Emulate3D、VisuaComponent仿真软件对比

软件名称物流系统仿真工业布局仿真动画效果数据分析优化虚拟现实/混合现实二次开发虚拟电控和PLC调试软件行业内特殊功能Emulate3D1.物流设备模块完备，功能灵活设置，涵盖各种设备形态和运作方式 2.唯一将摩擦力、重力、阻力等物理属性融入到物流运动中&…...

编程日记 2024/12/14 11:29:46

深度学习day4|用pytorch实现猴痘病识别

🍨 本文为🔗365天深度学习训练营中的学习记录博客🍖 原作者：K同学啊 🍺要求： 训练过程中保存效果最好的模型参数。加载最佳模型参数识别本地的一张图片。调整网络结构使测试集accuracy到达88%&#x…...

编程日记 2024/12/14 11:22:36

开家做网站公司有哪些/真正免费的网站建站平台有哪些

在bash脚本中,当t “ hello.txt”都${t %%.txt}和${t％.txt}返回“ hello”${t ## *.}也是一样,${t#*.}返回“ txt”.它们之间有区别吗？它们如何工作？解决方法:简而言之,%%尽可能多地去除,％尽可能少地去除.# t"hello.world.tx…...

编程日记 2024/12/29 22:46:01

网站短信接口怎么做/网络搜索引擎优化

描述：网络探索工具和安全性/端口扫描程序。 Nmap（“网络映射器”）是用于网络探索和安全审核的开源工具。它旨在快速扫描大型网络，尽管它可以对单个主机正常运行。 Nmap以新颖的方式使用原始IP数据包来确定网络上可用的主机，这些主机提供的服务（应用程序名称和版本）…...

编程日记 2024/12/29 21:51:31

建设网站电话/环球资源网官方网站

NFS forvCloud Director配置NFS使用Windows Server 2008R2搭建打开服务器管理器，选择角色-添加角色-勾选文件服务点击下一步，勾选网络文件系统服务点击下一步，选择安装，点击关闭并完成。创建一个文件夹，此文件夹将用于…...

编程日记 2024/12/29 21:14:02

wordpress字体更改/在线域名ip查询

我有以下問題。我想為tabbuton禁用狀態添加特殊映像，但它不工作。這就是我在選擇器中所做的。<?xml version"1.0" encoding"utf-8"?>這與單個"獨立"按鈕的選擇器完全相同，但它不工作，即使按鈕啟用&a…...

编程日记 2024/12/29 18:41:34

如何快速建设推广网站/网站建设优化推广

介绍我不会告诉你怎么在自己的电脑上去构建、安装一个定制化的 Linux 内核，这样的资料太多了，它们会对你有帮助。本文会告诉你当你在内核源码路径里敲下make 时会发生什么。当我刚刚开始学习内核代码时，Makefile 是我打开的第一个文件&#x…...

编程日记 2024/12/29 17:02:43

北京网站建设模板下载/百度权重5的网站能卖多少钱

上一节:不知道你们上节课的代码，有没有好好研究，真的很有趣，你也可以举一反三。今天我们就来学"元组"。元组与列表相似，不同的是元组的内容是不能改变的。他们格式也不一样，列表使用"[]" &#xf…...

编程日记 2024/12/29 15:40:57

第一章：行列式：

基本概念：

重要行列式：

行列式计算：

第二章：矩阵：

矩阵基本运算：

特殊矩阵：

矩阵的逆

伴随矩阵

初等矩阵：

矩阵方程：

等价矩阵和等价标准型：

矩阵的秩：

第三章：向量组：

线性相关、线性无关

极大线性无关组

等价向量组：

向量组的秩：

第四章：线性方程组：

齐次线性方程组：

非齐次线性方程组：

公共解：

同解方程组：

第五章：特征值与特征向量

矩阵的特征值和特征向量：

相似矩阵：

相似对角化：

实对称矩阵的相似对角化：

第六章：二次型：

二次型的定义：

合同变换：

正定二次型：

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