【算法】回溯算法专题② ——组合型回溯 + 剪枝 python

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前置知识

【算法】回溯算法专题① ——子集型回溯 python

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进入正题

组合https://leetcode.cn/problems/combinations/submissions/596357179/

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

示例 1：

输入：n = 4, k = 2
输出：
[ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4],]

示例 2：

输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]

提示：
1 <= n <= 20
1 <= k <= n

思路：

回溯思路（选或不选 / 枚举选哪个）
剪枝（选不满k个就停止递归）

code1：

class Solution:def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:ans = []path = []def dfs(i):# 剪枝if n - i + 1 + len(path) < k:  returnif len(path) == k:ans.append(path.copy())return# 不选dfs(i + 1)# 选path.append(i)dfs(i + 1)path.pop()dfs(1)return ans

code2：

class Solution:def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:ans = []path = []def dfs(i):# 剪枝if n - i + 1 + len(path) < k:returnif len(path) == k:ans.append(path.copy())return# 枚举选哪个    for j in range(i, n + 1):path.append(j)dfs(j + 1)path.pop()dfs(1)return ans

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小试牛刀

组合总和Ⅲ https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iii/description/

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合，且满足下列条件：
1.只使用数字1到9
2.每个数字 最多使用一次
返回 所有可能的有效组合的列表 。该列表不能包含相同的组合两次，组合可以以任何顺序返回。

示例 1:

输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]
解释:
1 + 2 + 4 = 7
没有其他符合的组合了。

示例 2:

输入: k = 3, n = 9
输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]
解释:
1 + 2 + 6 = 9
1 + 3 + 5 = 9
2 + 3 + 4 = 9
没有其他符合的组合了。

示例 3:

输入: k = 4, n = 1
输出: []
解释: 不存在有效的组合。
在[1,9]范围内使用4个不同的数字，我们可以得到的最小和是1+2+3+4 = 10，因为10 > 1，没有有效的组合。

提示:
2 <= k <= 9
1 <= n <= 60

思路：

与上题一样的思路
回溯 + 剪枝

题解1：

class Solution:def combinationSum3(self, k: int, n: int) -> List[List[int]]:ans = []path = []def dfs(i):# 剪枝if len(path) + 10 - i < k:returnif sum(path) > n:returnif len(path) == k and sum(path) == n:ans.append(path.copy())return# 选path.append(i)dfs(i + 1)path.pop()# 不选dfs(i + 1)dfs(1)return ans

题解2：

class Solution:def combinationSum3(self, k: int, n: int) -> List[List[int]]:ans = []path = []def dfs(i):# 剪枝if len(path) + 10 - i < k:returnif sum(path) > n:returnif len(path) == k and sum(path) == n:ans.append(path.copy())return# 枚举选哪个for j in range(i, 10):path.append(j)dfs(j + 1)path.pop()dfs(1)return ans

当然，我们可以在判断和是否为n时进行优化：
在dfs中传入target参数，每选一个数字 j 就把target减去 j

code：

class Solution:def combinationSum3(self, k: int, n: int) -> List[List[int]]:ans = []path = []def dfs(i, t):if len(path) + 10 - i < k:returnif t < 0:returnif len(path) == k and t == 0:ans.append(path.copy())returnfor j in range(i, 10):path.append(j)dfs(j + 1, t - j)path.pop()dfs(1, n)return ans

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实战演练

括号生成 https://leetcode.cn/problems/generate-parentheses/

数字 n 代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且 有效的 括号组合。

示例 1：

输入：n = 3
输出：[“((()))”,“(()())”,“(())()”,“()(())”,“()()()”]

示例 2：

输入：n = 1
输出：[“()”]

提示：
1 <= n <= 8

思路：

将选理解为填左括号, 不选理解为填右括号

题解：

class Solution:def generateParenthesis(self, n: int) -> List[str]:ans = []path = []def dfs(i, left, right):if i == 2 * n:ans.append("".join(path))return# 左括号数量不能超过nif left < n:path.append("(")dfs(i + 1, left + 1, right)path.pop()# 右括号数量不能超过左括号数量if right < left:path.append(")")dfs(i + 1, left, right + 1)path.pop()dfs(0, 0, 0)return ans

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总结

剪枝是一种优化技术，用于提前终止那些不可能找到解的搜索路径，从而提高算法效率。
而组合型回溯问题常常与剪枝相结合

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END
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