【学习笔记】计算机图形学的几何数学基础知识

3D坐标系

左手系和右手系

点

x，y，z与w（齐次坐标）

矩阵

• 第一个下标表示行号，第二个下标表示列号。
• 矩阵乘法不满足交换律
• 矩阵乘法=矩阵合并
• 一个矩阵乘以它的逆矩阵=单位矩阵

变化矩阵

平移矩阵

缩放矩阵

除了可以缩放，
还可以利用缩放，在给定右手系的情况确定左手系，相互转换

旋转矩阵

3D空间中旋转物体，需要指定旋转轴和旋转角

向量

向量的加减法
归一化

点积的应用

• 求两个向量的夹角 （单位向量点积）
  • 是否正交
  • 是否同向
  • 是否平行相反
  • 是否在夹角范围内
• 向量大小
• 点到平面的距离

叉积的应用

生成一个正交于两个向量的向量
遵循右手定则

局部空间与世界空间

局部空间 local space：物体的坐标系，又名模型空间 model space 物体空间 object space

在世界空间中为对象定位及定向的矩阵称为模型矩阵，通常记为 M

视觉空间和合成相机

已知OpenGl相机的位置永远是原点，相机的方向永远是z轴负方向，相机的上方永远是y轴正方向。
那么想要将物体放到相机前方，需要将物体的坐标系转换到相机坐标系即可。

我们根据虚拟/期望的相机位置/欧拉角，来计算视图变换矩阵，将物体从世界坐标转换到相机坐标系。
将平移和旋转矩阵（相机从原点移动到期望位置）合并得到的矩阵称为视图变换矩阵（viewing transform），记作 V。

视图变换矩阵

模型-视图（Model-View，MV）矩阵：模型空间直接转换至相机空间（把M模型矩阵和V视图变换矩阵合并了）

投影矩阵

透视投影矩阵

参数：纵横比、视场、近剪裁平面（也称投影平面）、远剪裁平面

视场 Field Of View, FOV：是可视空间的纵向角度
横纵比 aspect ratio：远近剪裁平面的宽度与高度之比

正交投影矩阵

参数：
（a）从相机到投影平面的距离 znear；
（b）从相机到远剪裁平面的距离 zfar；
（c）L、R、T 和 B 的值，其中 L 和 R 分别是投影平面左、右边界的 x 坐标，T 和 B 分别是投影、平面上、下边界的 y 坐标。

LookAt矩阵

当你想要把相机放在某处并看向一个特定的位置时，就需要用到它。
参数

• 叉积计算
  • fwd相机正面
  • side相机侧面
  • up相机上面
• 相机位置
• 目标位置
  

构建矩阵变换的GLSL函数

GLSL