动态规划,这将是你见过最详细的讲解
文章目录
- 一、为什么要讲动态规划呢?
- 二、什么是动态规划
- 三、感受一下递归算法、备忘录算法、动态规划
- 递归算法
- 带备忘录的递归解法(自定向下)
- 自底向上的动态规划
- 四、动态规划的解题套路
- 1. 穷举分析
- 2. 确定边界
- 3. 确定最优子结构
- 4. 写出状态转移方程
我建议直接看下面的参考文章,因为大佬的讲解非常到位,我这里做的笔记肯定是没那么详细的,这里只是给我自己做个记录
看一遍就理解:动态规划详解
算法-动态规划 Dynamic Programming–从菜鸟到老鸟
一、为什么要讲动态规划呢?
我们刷leetcode的时候,经常会遇到动态规划类型题目。动态规划问题非常非常经典,也很有技巧性,一般大厂都非常喜欢问。学就要学一些回报最大的知识
二、什么是动态规划
动态规划(英语:Dynamic programming,简称 DP),是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的,通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
以上定义来自维基百科,看定义感觉还是有点抽象。简单来说,动态规划其实就是,给定一个问题,我们把它拆成一个个子问题,直到子问题可以直接解决。然后呢,把子问题答案保存起来,以减少重复计算。再根据子问题答案反推,得出原问题解的一种方法。
相信看到这里,我们可以知道动态规划也用到HashMap集合,如果还不会,请看我另一篇博客,让你秒懂Java集合框架
动态规划核心思想
动态规划最核心的思想,就在于拆分子问题,记住过往,减少重复计算。然而我认为记不记住过往不重要,重要的是不要重复计算子问题就行了。例如自顶向下就需要备忘录,自底向上就不需要备忘录了。
我们来看下,网上比较流行的一个例子
A : “1+1+1+1+1+1+1+1 =?”
A : “上面等式的值是多少”
B : 计算 “8”
A : 在上面等式的左边写上 “1+” 呢?
A : “此时等式的值为多少”
B : 很快得出答案 “9”
A : “你怎么这么快就知道答案了”
A : “只要在8的基础上加1就行了”
A : “所以你不用重新计算,因为你记住了第一个等式的值为8!动态规划算法也可以说是 ‘记住求过的解来节省时间’”
三、感受一下递归算法、备忘录算法、动态规划
leetcode原题:一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 10 级的台阶总共有多少种跳法。
有些小伙伴第一次见这个题的时候,可能会有点蒙圈,不知道怎么解决。其实可以试想:
要想跳到第10级台阶,要么是先跳到第9级,然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第8级,然后一次迈2级台阶上去。
同理,要想跳到第9级台阶,要么是先跳到第8级,然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第7级,然后一次迈2级台阶上去。
要想跳到第8级台阶,要么是先跳到第7级,然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第6级,然后一次迈2级台阶上去。
假设跳到第n级台阶的跳数我们定义为f(n),很显然就可以得出以下公式:
f(10) = f(9)+f(8)
f (9) = f(8) + f(7)
f (8) = f(7) + f(6)
…
f(3) = f(2) + f(1)
即通用公式为: f(n) = f(n-1) + f(n-2)
我们现在确定一下界限
通常设为为0和1,但是0代表还没有上阶梯,所以要从1开始。再根据公式f(n) = f(n-1) + f(n-2),可以知道界限需要设为1,2,并且f(1) = 1,f(2) = 2.
递归算法
class Solution {public int numWays(int n) {if(n == 1){return 1;}if(n == 2){return 2;}return numWays(n-1) + numWays(n-2);}
}
去leetcode提交一下,发现有问题,超出时间限制了
为什么超时了呢?递归耗时在哪里呢?先画出递归树看看:
我们先来看看这个递归的时间复杂度吧:
递归时间复杂度 = 解决一个子问题时间*子问题个数
一个子问题时间 = f(n-1)+f(n-2),也就是一个加法的操作,所以复杂度是 O(1);
问题个数 = 递归树节点的总数,递归树的总节点 = 2n-1,所以是复杂度O(2n)。
因此,青蛙跳阶,递归解法的时间复杂度 = O(1) * O(2^n) = O(2^n),就是指数级别的,爆炸增长的,如果n比较大的话,超时很正常的了。
既然存在大量重复计算,那么我们可以先把计算好的答案存下来,即造一个备忘录,等到下次需要的话,先去备忘录查一下,如果有,就直接取就好了,备忘录没有才开始计算,那就可以省去重新重复计算的耗时啦!这就是带备忘录的解法。
带备忘录的递归解法(自定向下)
一般使用一个数组或者一个哈希map充当这个备忘录。
第一步,f(10)= f(9) + f(8),f(9) 和f(8)都需要计算出来,然后再加到备忘录中,如下:
第二步, f(9) = f(8)+ f(7),f(8)= f(7)+ f(6), 因为 f(8) 已经在备忘录中啦,所以可以省掉,f(7),f(6)都需要计算出来,加到备忘录中~
第三步, f(8) = f(7)+ f(6),发现f(8),f(7),f(6)全部都在备忘录上了,所以都可以剪掉。
所以呢,用了备忘录递归算法,递归树变成光秃秃的树干咯,如下:
带备忘录的递归算法,子问题个数=树节点数=n,解决一个子问题还是O(1),所以带备忘录的递归算法的时间复杂度是O(n)。接下来呢,我们用带备忘录的递归算法去撸代码,解决这个青蛙跳阶问题的超时问题咯~,代码如下:
public class Solution {//使用哈希map,充当备忘录的作用Map<Integer, Integer> tempMap = new HashMap();public int numWays(int n) {// n = 0 也算1种if (n == 0) {return 1;}if (n <= 2) {return n;}//先判断有没计算过,即看看备忘录有没有if (tempMap.containsKey(n)) {//备忘录有,即计算过,直接返回return tempMap.get(n);} else {// 备忘录没有,即没有计算过,执行递归计算,并且把结果保存到备忘录map中,对1000000007取余(这个是leetcode题目规定的)tempMap.put(n, (numWays(n - 1) + numWays(n - 2)) % 1000000007);return tempMap.get(n);}}
}
自底向上的动态规划
动态规划跟带备忘录的递归解法基本思想是一致的,都是减少重复计算,时间复杂度也都是差不多。但是呢:
带备忘录的递归,是从f(10)往f(1)方向延伸求解的,所以也称为自顶向下的解法。
动态规划从较小问题的解,由交叠性质,逐步决策出较大问题的解,它是从f(1)往f(10)方向,往上推求解,所以称为自底向上的解法。
动态规划有几个典型特征,最优子结构、状态转移方程、边界、重叠子问题,在青蛙跳阶问题中:
- f(n-1)和f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构
- f(n)= f(n-1)+f(n-2)就称为状态转移方程
- f(1) = 1, f(2) = 2 就是边界啦
- 比如f(10)= f(9)+f(8),f(9) = f(8) + f(7) ,f(8)就是重叠子问题。
public class Solution {public int numWays(int n) {if (n<= 1) {return 1;}if (n == 2) {return 2;}int a = 1;int b = 2;int temp = 0;for (int i = 3; i <= n; i++) {temp = (a + b)% 1000000007;a = b;b = temp;}return temp;}}
四、动态规划的解题套路
什么样的问题可以考虑使用动态规划解决呢?
如果一个问题,可以把所有可能的答案穷举出来,并且穷举出来后,发现存在重叠子问题,就可以考虑使用动态规划。
比如一些求最值的场景,如最长递增子序列、最小编辑距离、背包问题、凑零钱问题等等,都是动态规划的经典应用场景。
动态规划的解题思路:
- 穷举分析,即做树状图找规律
- 确定边界
- 去欸的那个最优子结构
- 写出状态转移方程
1. 穷举分析
当台阶数是1的时候,有一种跳法,f(1) =1
当只有2级台阶时,有两种跳法,第一种是直接跳两级,第二种是先跳一级,然后再跳一级。即f(2) = 2;
当台阶是3级时,想跳到第3级台阶,要么是先跳到第2级,然后再跳1级台阶上去,要么是先跳到第 1级,然后一次迈 2 级台阶上去。所以f(3) = f(2) + f(1) =3
当台阶是4级时,想跳到第3级台阶,要么是先跳到第3级,然后再跳1级台阶上去,要么是先跳到第 2级,然后一次迈 2 级台阶上去。所以f(4) = f(3) + f(2) =5
当台阶是5级时…
2. 确定边界
通过穷举分析,我们发现,当台阶数是1的时候或者2的时候,可以明确知道青蛙跳法。f(1) =1,f(2) = 2,当台阶n>=3时,已经呈现出规律f(3) = f(2) + f(1) =3,因此f(1) =1,f(2) = 2就是青蛙跳阶的边界。
3. 确定最优子结构
n>=3时,已经呈现出规律 f(n) = f(n-1) + f(n-2) ,因此,f(n-1)和f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构。什么是最优子结构?有这么一个解释:
4. 写出状态转移方程
通过前面3步,穷举分析,确定边界,最优子结构,我们就可以得出状态转移方程啦
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