【蓝桥集训】第一天——前缀和

作者：指针不指南吗
专栏：Acwing 蓝桥集训每日一题

🐾输出的时候，注意数据类型🐾

1.截断数组

给定一个长度为 n 的数组 $a_1$,$a_2$,…,$a_n$。

现在，要将该数组从中间截断，得到三个非空子数组。

要求，三个子数组内各元素之和都相等。

请问，共有多少种不同的截断方法？

输入格式

第一行包含整数 n。

第二行包含 n个整数 $a_1$,$a_2$,…,$a_n$。

输出格式

输出一个整数，表示截断方法数量。

数据范围

前六个测试点满足 1≤n≤10。
所有测试点满足 1≤n≤$10^5$，−10000≤$a_i$≤10000。

输入样例1：

4
1 2 3 3

输出样例1：

1

输入样例2：

5
1 2 3 4 5

输出样例2：

0

输入样例3：

2
0 0

输出样例3：

0

• 思路

  • 分三个非空子数组且和相同，即每个子数组的和是s[n]/3；

  • 首先呢，枚举两个节点肯定不行，时间复杂度是 O($n^2$)，题里面的数量级太大了

  所以只能尝试枚举一个节点，再把剩下一个表示出来

  • 做法：枚举第二个节点 j ，随着 j 的增加，第一个节点满足 s[n]/3，也会增加，用cnt 存储 j 前面满足条件的第一个节点，当j 也满足条件时，把总的存在 ans 中

  • 注意：结果最大是100010的阶乘，远超int 类型，会爆，开long long

  ​ 考虑特殊请款，不够三个元素，s[n]%3!=0

• 代码实现

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;int s[100010];
  long long ans;int main()
  {int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){  //计算前缀和scanf("%d",&s[i]);s[i]+=s[i-1];}//考虑特殊情况if(s[n]%3!=0||n<3){cout<<0;return 0;}int cnt=0;for(int i=2;i<n;i++){if(s[i-1]==s[n]/3)  cnt++;  //第二个节点之前，满足条件可以成为第一个节点的个数if(s[i]==s[n]/3*2)  ans+=cnt;  //满足条件，成为第二个节点，加上第一个节点，类似于加法原理}printf("%lld",ans);  //注意数据类型时long longreturn 0;
  }
  

2.前缀和

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l个数到第 r个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n个整数，表示整数数列。

接下来 m行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

• 代码实现

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;int s[100010];int main()
  {int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>s[i];s[i]+=s[i-1];}while(m--){int a,b;cin>>a>>b;cout<<s[b]-s[a-1]<<endl;}return 0;
  }
  

3.子矩阵的和

输入一个 n行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2,表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 q行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

• 代码实现

#include<iostream>
using namespace std;const int N=1010;int s[N][N];int n,m,q;int main(){cin>>n>>m>>q;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){cin>>s[i][j];s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]+s[i-1][j-1];}while(q--){int x1,y1,x2,y2;cin>>x1>>y1>>x2>>y2;cout<<s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1];}return 0;
}

4.k倍区间

题目描述

给定一个长度为 N 的数列，1,2,⋯A1,A2,⋯A N，如果其中一段连续的子序列之和是 K 的倍数，我们就称这个区间 是 K 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K 倍区间吗？

输入描述

第一行包含两个整数 N 和 K(1≤N,K≤$10^5$ )。

以下 N 行每行包含一个整数 A i ( 1≤A i≤$10^5$ ).

输出描述

输出一个整数，代表 K 倍区间的数目。

示例

输入

5 2
1
2
3
4
5

输出

6

• 代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;
const LL N=100010;
LL s[N],cnt[N];int main()
{LL n,k,i,r,res=0;cin>>n>>k;for(i=1;i<=n;i++) cin>>s[i];  //前缀和for(i=1;i<=n;i++) s[i]+=s[i-1];//同余cnt[0]=1;  //包含它本身,初始化为1for(r=1;r<=n;r++) {LL u=s[r]%k; res+=cnt[u];cnt[u]++;}cout<<res<<endl;return 0;}